L'image formée par une lentille

Une lentille mince est un milieu transparent, généralement en verre ou en plastique, délimité par deux surfaces, dont au moins une est sphérique. Elle est dite "mince" si son épaisseur est négligeable par rapport à son rayon de courbure ou à sa distance focale.

Il existe deux types principaux de lentilles minces :

• Lentille convergente :

  • Plus épaisse au centre qu'aux bords.
  • Les rayons lumineux parallèles à l'axe optique et traversant la lentille convergent en un point appelé foyer image.
  • Symbole : une double flèche avec les pointes vers l'extérieur (ou l'intérieur si l'on représente les bords).

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• Lentille divergente :

  • Plus mince au centre qu'aux bords.
  • Les rayons lumineux parallèles à l'axe optique et traversant la lentille divergent comme s'ils provenaient d'un point appelé foyer image virtuel.
  • Symbole : une double flèche avec les pointes vers l'intérieur (ou l'extérieur si l'on représente les bords).

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Le centre optique (O) est le point central de la lentille. Un rayon lumineux passant par O n'est pas dévié. L'axe optique est l'axe de symétrie de la lentille, passant par son centre optique (O) et perpendiculaire à la lentille.

Pour caractériser une lentille, on utilise plusieurs grandeurs :

• Foyer objet (F) : C'est le point sur l'axe optique tel que les rayons lumineux issus de F (ou se dirigeant vers F pour une lentille divergente) ressortent de la lentille parallèles à l'axe optique.
• Foyer image (F') : C'est le point sur l'axe optique où convergent les rayons lumineux incidents parallèles à l'axe optique (pour une lentille convergente), ou d'où semblent provenir ces rayons après traversée de la lentille (pour une lentille divergente).
  • Pour une lentille convergente, F est avant la lentille et F' est après la lentille.
  • Pour une lentille divergente, F est après la lentille et F' est avant la lentille.
• Distance focale (f') : C'est la distance algébrique entre le centre optique O et le foyer image F'. On la note $f' = \overline{OF'}$.
  • Pour une lentille convergente, $f' > 0$.
  • Pour une lentille divergente, $f' < 0$.
  • La distance focale objet est $f = \overline{OF} = -f'$.
• Vergence (C) : C'est l'inverse de la distance focale exprimée en mètres. Elle s'exprime en dioptries ($\delta$). $C = \frac{1}{f'}$
  • Une lentille convergente a une vergence positive.
  • Une lentille divergente a une vergence négative.
  • Plus la vergence est élevée (en valeur absolue), plus la lentille est "puissante" (elle dévie fortement les rayons).

Pour décrire les positions et tailles des objets et images de manière cohérente, on utilise des conventions de signe strictes, dites conventions de Descartes :

1. Sens de propagation de la lumière : La lumière se propage toujours de gauche à droite. C'est le sens positif pour les mesures de distances le long de l'axe optique.
2. Origine des mesures : L'origine des mesures est toujours le centre optique (O) de la lentille.
3. Distances algébriques :
   • Toute distance mesurée dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite) est positive.
   • Toute distance mesurée dans le sens inverse de propagation de la lumière (de droite à gauche) est négative.
   • Exemples :
     • $\overline{OA}$ : position de l'objet A par rapport à O. Si l'objet est à gauche de O, $\overline{OA} < 0$.
     • $\overline{OA'}$ : position de l'image A' par rapport à O. Si l'image est à droite de O, $\overline{OA'} > 0$.
     • $\overline{OF'}$ : distance focale. Si F' est à droite de O (lentille convergente), $\overline{OF'} > 0$.
4. Hauteurs algébriques :
   • Toute hauteur mesurée vers le haut (perpendiculairement à l'axe optique) est positive.
   • Toute hauteur mesurée vers le bas est négative.
   • Exemples :
     • $\overline{AB}$ : taille de l'objet. Si l'objet est droit, $\overline{AB} > 0$.
     • $\overline{A'B'}$ : taille de l'image. Si l'image est inversée, $\overline{A'B'} < 0$.

Ces conventions sont cruciales pour l'application correcte des formules de conjugaison et de grandissement.

Pour un point objet B non situé sur l'axe optique (A est sa projection sur l'axe), on peut tracer trois rayons principaux :

1. Rayon passant par le centre optique (O) : Ce rayon traverse la lentille sans être dévié.
2. Rayon parallèle à l'axe optique : Ce rayon, après avoir traversé la lentille, passe par le foyer image F'.
3. Rayon passant par le foyer objet (F) : Ce rayon, après avoir traversé la lentille, ressort parallèle à l'axe optique.

Le point d'intersection de ces rayons après la lentille (ou leurs prolongements) donne l'image B' du point objet B. L'image A' du point A est la projection de B' sur l'axe optique.

Pour construire l'image A'B' d'un objet AB (perpendiculaire à l'axe optique) par une lentille convergente :

1. Dessinez l'axe optique, la lentille (symbolisée par une double flèche) et placez le centre optique O.
2. Placez les foyers F et F' symétriquement par rapport à O, à une distance $f'$.
3. Dessinez l'objet AB (avec A sur l'axe optique, B au-dessus).
4. Tracez au moins deux des trois rayons particuliers à partir du point B :
   • Rayon 1 : De B vers O, non dévié.
   • Rayon 2 : De B parallèle à l'axe optique, puis passant par F'.
   • Rayon 3 : De B passant par F, puis parallèle à l'axe optique.
5. L'intersection de ces rayons après la lentille donne le point B'.
6. Projetez B' sur l'axe optique pour trouver A'.

L'image A'B' peut être :

• Réelle : Si elle est formée par l'intersection réelle des rayons lumineux. Une image réelle peut être recueillie sur un écran. Elle est toujours inversée par rapport à l'objet.
• Virtuelle : Si elle est formée par l'intersection des prolongements des rayons lumineux. Une image virtuelle ne peut pas être recueillie sur un écran. Elle est toujours droite par rapport à l'objet.

La nature, la taille et la position de l'image A'B' dépendent de la position de l'objet AB par rapport à la lentille et ses foyers. Soit $f'$ la distance focale de la lentille.

Le grandissement ($\gamma$) est le rapport de la taille de l'image sur la taille de l'objet. Il permet de quantifier la modification de taille et l'orientation de l'image.

La relation de conjugaison relie la position de l'objet, la position de l'image et la distance focale de la lentille. Elle est donnée par la formule de Descartes, en utilisant les conventions de signe :

$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF'}} = C$

Où :

• $\overline{OA'}$ est la position de l'image A' par rapport au centre optique O.
• $\overline{OA}$ est la position de l'objet A par rapport au centre optique O.
• $\overline{OF'}$ est la distance focale de la lentille.
• $C$ est la vergence de la lentille.

Il est crucial de bien utiliser les distances algébriques avec leurs signes. Par exemple, si l'objet est placé à 20 cm à gauche de la lentille, $\overline{OA} = -20 \text{ cm}$.

Le grandissement transversal ($\gamma$) est un rapport qui indique de combien l'image est agrandie ou réduite par rapport à l'objet, et si elle est droite ou inversée.

$\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$

Où :

• $\overline{A'B'}$ est la taille algébrique de l'image.
• $\overline{AB}$ est la taille algébrique de l'objet.
• $\overline{OA'}$ est la position de l'image.
• $\overline{OA}$ est la position de l'objet.

Interprétation du signe de $\gamma$ :

• Si $\gamma > 0$, l'image est droite (même sens que l'objet). C'est le cas des images virtuelles.
• Si $\gamma < 0$, l'image est inversée (sens opposé à l'objet). C'est le cas des images réelles.

Interprétation de la valeur absolue de $\gamma$ :

• Si $|\gamma| > 1$, l'image est agrandie par rapport à l'objet.
• Si $|\gamma| < 1$, l'image est réduite par rapport à l'objet.
• Si $|\gamma| = 1$, l'image est de la même taille que l'objet.

Ces formules sont fondamentales pour résoudre des problèmes d'optique :

• Détermination de la position de l'image : Si l'on connaît $\overline{OA}$ et $f'$, on peut calculer $\overline{OA'}$.
  • Exemple : Lentille convergente $f' = 10 \text{ cm}$. Objet à $\overline{OA} = -30 \text{ cm}$. $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. Donc $\overline{OA'} = +15 \text{ cm}$. L'image est réelle, à 15 cm à droite de la lentille.
• Détermination de la taille de l'image : Une fois $\overline{OA'}$ calculé, on peut trouver $\gamma$ et ensuite $\overline{A'B'}$.
  • Exemple (suite) : Objet $\overline{AB} = +2 \text{ cm}$. $\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{15}{-30} = -0,5$. $\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -0,5 \times 2 = -1 \text{ cm}$. L'image est inversée ($\gamma < 0$), réduite ($|\gamma| < 1$) et mesure 1 cm.
• Vérification des constructions graphiques : Les calculs permettent de confirmer la précision des tracés.
• Calcul de la vergence : Si $f'$ est donné en mètres, $C = 1/f'$.

• Forme : Plus minces au centre qu'aux bords.
• Foyer image F' virtuel : Les rayons parallèles à l'axe optique, après avoir traversé la lentille, divergent comme s'ils provenaient d'un point F' situé avant la lentille. Ce foyer F' est virtuel, car il n'est pas traversé réellement par les rayons lumineux.
• Distance focale négative : Par convention, la distance focale $\overline{OF'}$ est négative. $f' < 0$.
• Vergence négative : Puisque $C = 1/f'$, la vergence d'une lentille divergente est négative.
• Rayons divergents : Les lentilles divergentes "dispersent" la lumière.

Comme pour les lentilles convergentes, on utilise des rayons particuliers :

1. Rayon passant par le centre optique (O) : Ce rayon n'est pas dévié.
2. Rayon parallèle à l'axe optique : Ce rayon, après avoir traversé la lentille, diverge comme s'il provenait du foyer image F' (situé avant la lentille).
3. Rayon dirigé vers le foyer objet (F) : Ce rayon (qui sans la lentille passerait par F, situé après la lentille), après avoir traversé la lentille, ressort parallèle à l'axe optique.

L'image B' est l'intersection des rayons émergents (ou de leurs prolongements).

Contrairement aux lentilles convergentes qui peuvent former des images réelles ou virtuelles, les lentilles divergentes ont une particularité :

Pour un objet réel (placé à gauche de la lentille) :

• L'image est toujours virtuelle : Elle se forme du même côté de la lentille que l'objet, par l'intersection des prolongements des rayons émergents.
• L'image est toujours droite : Elle a la même orientation que l'objet ($\gamma > 0$).
• L'image est toujours plus petite que l'objet : Elle est toujours réduite ($|\gamma| < 1$).
• L'image est toujours située entre le foyer image F' et le centre optique O.

Les lentilles divergentes sont souvent utilisées pour corriger la myopie ou pour réduire la taille d'un faisceau lumineux.

L'œil est un système optique complexe comparable à un appareil photo. Le cristallin (lentille convergente à focale variable) et la cornée jouent le rôle de lentille, formant une image réelle et inversée sur la rétine (qui agit comme un écran).

• Accommodation : L'œil adapte la vergence de son cristallin pour former une image nette sur la rétine, que l'objet soit proche ou lointain. Le point le plus proche vu net est le punctum proximum (PP), le plus éloigné est le punctum remotum (PR).
• Myopie : L'œil est "trop convergent" ou trop long. L'image d'un objet lointain se forme avant la rétine. Le PR est à une distance finie.
  • Correction : Lentille divergente pour "reculer" l'image sur la rétine.
• Hypermétropie : L'œil est "pas assez convergent" ou trop court. L'image d'un objet lointain se formerait derrière la rétine. Le PP est trop éloigné.
  • Correction : Lentille convergente pour "avancer" l'image sur la rétine.
• Presbytie : Perte d'accommodation avec l'âge (le cristallin devient moins souple). Le PP s'éloigne.
  • Correction : Lentilles convergentes (souvent des verres progressifs).

Une loupe est une lentille convergente de courte distance focale ($f'$ faible).

• Principe de fonctionnement : Pour obtenir une image agrandie et droite, l'objet est placé entre le foyer objet F et le centre optique O de la loupe.
• Image : L'image formée est virtuelle, droite et agrandie. Elle est observée à travers la loupe.
• Grossissement : Le grandissement d'une loupe est caractérisé par son grossissement commercial $G_c = \frac{0,25}{f'}$ (où $f'$ est en mètres). Plus $f'$ est petit, plus le grossissement est important.
• Utilisations : Lecture de petits caractères, horlogerie, joaillerie, botanique.

Un appareil photographique est un instrument optique qui permet de former une image réelle et nette d'un objet sur un capteur ou un film sensible.

• Objectif : C'est le cœur de l'appareil, composé d'un ensemble de lentilles convergentes (pour minimiser les aberrations). Il agit comme une lentille convergente unique.
• Capteur (ou film) : Il joue le rôle de la rétine, enregistrant l'image lumineuse.
• Réglage de la mise au point : Il consiste à ajuster la distance entre l'objectif et le capteur (ou à modifier la distance focale effective de l'objectif) pour que l'image de l'objet observé se forme exactement sur le capteur.
• Diaphragme : C'est une ouverture réglable qui contrôle la quantité de lumière entrant dans l'appareil et influe sur la profondeur de champ. Un diaphragme plus fermé (petite ouverture) augmente la profondeur de champ (plus d'éléments sont nets, de près comme de loin).