Mouvement et interactions

En physique, un système est l'objet ou l'ensemble d'objets dont on étudie le mouvement. Tout ce qui n'appartient pas au système est considéré comme l'extérieur. Le choix du système est la première étape de toute analyse.

Le référentiel est un objet (ou un ensemble d'objets) par rapport auquel on étudie le mouvement du système. Il est associé à une origine et à un système d'axes. Le mouvement d'un objet est toujours relatif au référentiel choisi. Par exemple, une personne assise dans un train est immobile par rapport au train, mais en mouvement par rapport au quai.

Il existe plusieurs référentiels usuels :

• Le référentiel terrestre : lié à la Terre, utilisé pour les mouvements à l'échelle humaine (voiture, ballon, etc.). Son origine est un point fixe à la surface de la Terre.
• Le référentiel géocentrique : son origine est le centre de la Terre et ses axes sont dirigés vers des étoiles lointaines considérées comme fixes. Il est adapté pour l'étude du mouvement des satellites terrestres ou de la Lune.
• Le référentiel héliocentrique (ou de Copernic) : son origine est le centre du Soleil et ses axes sont dirigés vers des étoiles lointaines. Il est utilisé pour l'étude du mouvement des planètes autour du Soleil.

Pour localiser un point M dans l'espace à un instant donné, on utilise son vecteur position $\vec{OM}$. Dans un repère cartésien $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, le vecteur position a pour coordonnées $(x, y, z)$ : $\vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$ Les coordonnées $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$ sont les fonctions horaires du mouvement.

La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par le point M au cours du temps. C'est la ligne décrite par le mobile dans le référentiel choisi. Elle peut être rectiligne, circulaire, parabolique, etc.

La vitesse moyenne entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est le rapport de la distance parcourue à la durée du parcours : $v_{moy} = \frac{\Delta d}{\Delta t} = \frac{d(t_2) - d(t_1)}{t_2 - t_1}$ Cependant, pour décrire le mouvement avec précision à chaque instant, on utilise le vecteur vitesse instantanée. Il est défini comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \begin{pmatrix} dx/dt \\ dy/dt \\ dz/dt \end{pmatrix}$ Ses caractéristiques sont :

• Direction : tangente à la trajectoire au point considéré.
• Sens : celui du mouvement.
• Valeur (norme) : la vitesse instantanée, exprimée en mètres par seconde (m/s). $v = ||\vec{v}|| = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2}$

Le vecteur accélération décrit la variation du vecteur vitesse au cours du temps. C'est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} = \begin{pmatrix} dv_x/dt \\ dv_y/dt \\ dv_z/dt \end{pmatrix}$

• Si le vecteur vitesse change de direction et/ou de norme (valeur), alors il y a accélération.
• L'unité de l'accélération est le mètre par seconde carrée (m/s²).
• Si la vitesse augmente, le vecteur accélération a une composante dans le sens du mouvement. Si la vitesse diminue, il a une composante opposée.
• Un mouvement rectiligne uniforme a une accélération nulle. Un mouvement circulaire uniforme a une accélération non nulle (centripète) car la direction de la vitesse change.

Énoncé : "Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme dans lequel il se trouve, à moins que des forces exercées sur lui ne le contraignent à changer d'état." En d'autres termes, si la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur un corps est nulle ($\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$), alors son vecteur vitesse est constant ($\vec{v} = \vec{constante}$). Cela signifie que soit le corps est au repos, soit il est en mouvement rectiligne uniforme (MRU).

Ce principe n'est valable que dans les référentiels galiléens. Un référentiel galiléen est un référentiel où le principe d'inertie est vérifié.

• Le référentiel héliocentrique est considéré comme galiléen.
• Le référentiel géocentrique est considéré comme galiléen pour la plupart des études.
• Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pour les expériences de courte durée et à petite échelle. Cependant, pour des durées plus longues ou des phénomènes à grande échelle (comme la météorologie), il ne l'est pas (force de Coriolis).

Exemples :

• Un livre posé sur une table reste immobile si aucune force ne le met en mouvement.
• Une sonde spatiale, loin de toute influence gravitationnelle, poursuit son chemin en ligne droite à vitesse constante.

Énoncé : "Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur un système est égale au produit de la masse du système par le vecteur accélération de son centre d'inertie." $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}$ Où :

• $\sum \vec{F}_{ext}$ est la somme vectorielle des forces extérieures en Newtons (N).
• $m$ est la masse inertielle du système en kilogrammes (kg). La masse inertielle représente la résistance d'un corps à changer son état de mouvement.
• $\vec{a}$ est le vecteur accélération du centre d'inertie du système en mètres par seconde carrée (m/s²).

Cette loi est cruciale car elle lie directement les forces aux variations du mouvement. Elle permet de calculer l'accélération d'un corps connaissant les forces qui s'y appliquent, ou inversement de déterminer les forces connaissant le mouvement. Si l'accélération est nulle, on retrouve la première loi de Newton.

Application aux mouvements simples :

• Chute libre : $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{P} = m\vec{g}$. Donc $m\vec{g} = m\vec{a}$, ce qui implique $\vec{a} = \vec{g}$. Tous les corps en chute libre ont la même accélération (en l'absence de frottements).
• Mouvement sur un plan horizontal avec frottements : La force de frottement s'oppose au mouvement.

Énoncé : "Si un corps A exerce une force $\vec{F}_{A/B}$ sur un corps B, alors le corps B exerce simultanément sur le corps A une force $\vec{F}_{B/A}$ telle que ces deux forces ont la même direction, la même valeur, mais des sens opposés." $\vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A}$ Ces forces sont appelées paires d'actions-réactions. Elles ont les caractéristiques suivantes :

• Elles s'appliquent à des corps différents.
• Elles sont de même nature (par exemple, deux forces gravitationnelles, ou deux forces de contact).
• Elles sont simultanées.
• Elles ont la même direction et la même intensité, mais des sens opposés.

Exemples concrets :

• Quand vous poussez un mur (action), le mur vous pousse en retour avec une force égale et opposée (réaction).
• La Terre attire la Lune (gravitation). La Lune attire aussi la Terre avec une force de même intensité et de sens opposé.
• Un nageur pousse l'eau vers l'arrière (action), l'eau pousse le nageur vers l'avant (réaction), le propulsant.

La loi de la gravitation universelle décrit l'attraction mutuelle entre deux corps massifs. Deux corps ponctuels A et B de masses $m_A$ et $m_B$, séparés par une distance $r$, s'attirent mutuellement avec des forces : $F = G \frac{m_A m_B}{r^2}$ Où :

• $F$ est l'intensité de la force gravitationnelle en Newtons (N).
• $G$ est la constante de gravitation universelle, $G \approx 6,67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.
• $m_A$ et $m_B$ sont les masses des corps en kilogrammes (kg).
• $r$ est la distance entre les centres de masse des corps en mètres (m).

Cette force est toujours attractive et s'applique aux corps célestes (mouvement des planètes, satellites) mais aussi à l'échelle terrestre, bien que son intensité soit très faible pour des objets de masse courante.

Le poids $\vec{P}$ d'un corps est la force d'attraction gravitationnelle exercée par un astre (comme la Terre) sur ce corps. C'est une force qui s'exerce à distance, modélisée par : $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ Où :

• $m$ est la masse du corps (en kg). La masse est une grandeur intrinsèque au corps qui représente la quantité de matière et son inertie. Elle ne dépend pas du lieu.
• $\vec{g}$ est le vecteur champ de pesanteur (en N/kg ou m/s²). Sa valeur $g$ dépend du lieu (altitude, latitude). Sur Terre, $g \approx 9,81 \text{ N/kg}$.

La masse est une grandeur scalaire qui mesure la quantité de matière d'un objet et son inertie. Elle est invariante. Le poids est une force vectorielle, dépendant de la masse et du champ de pesanteur local. Un astronaute a la même masse sur Terre et sur la Lune, mais son poids est six fois plus faible sur la Lune.

• Tension d'un fil ($\vec{T}$) : C'est une force exercée par un fil (ou une corde, une chaîne...) sur un objet qu'il retient ou tire. Elle est toujours dirigée le long du fil et tend à empêcher le fil de s'allonger. La tension est généralement modélisée comme étant de même intensité sur toute la longueur d'un fil inextensible et de masse négligeable.

• Forces de frottement ($\vec{f}$) : Elles s'opposent au mouvement ou à la tendance au mouvement d'un corps.

  • Frottements fluides : S'exercent lorsqu'un corps se déplace dans un fluide (air, eau). Leur intensité dépend de la vitesse du corps, de sa forme et des propriétés du fluide. Souvent modélisés par $f = k \cdot v$ ou $f = k \cdot v^2$.
  • Frottements solides : S'exercent entre deux surfaces solides en contact qui glissent ou tentent de glisser l'une sur l'autre.
    • Frottements statiques : S'opposent au démarrage du mouvement.
    • Frottements cinétiques : S'opposent au mouvement une fois qu'il est initié. Leur intensité est souvent proportionnelle à la force normale exercée par le support ($f = \mu \cdot R_N$, où $\mu$ est le coefficient de frottement).

Lorsqu'un objet est en contact avec une surface, cette surface exerce une force sur l'objet qui l'empêche de s'enfoncer ou de la traverser. C'est la force de réaction du support $\vec{R}$. Cette force peut être décomposée en deux composantes :

• La composante normale $\vec{R}_N$ (ou $\vec{N}$) : Perpendiculaire à la surface de contact. Elle s'oppose à la pénétration de l'objet dans le support.
• La composante tangentielle $\vec{f}$ : Parallèle à la surface de contact. C'est la force de frottement si l'objet glisse ou a tendance à glisser.

Donc, $\vec{R} = \vec{R}_N + \vec{f}$. Dans le cas d'un plan horizontal sans frottements, $\vec{R}$ est purement normale et a une intensité égale au poids de l'objet. Sur un plan incliné, la réaction normale est perpendiculaire au plan, et sa valeur est $R_N = P \cos\alpha$, où $\alpha$ est l'angle d'inclinaison du plan.

Avant d'appliquer la deuxième loi de Newton, il est essentiel de réaliser un bilan des forces :

1. Identifier le système étudié.
2. Choisir un référentiel adapté et le préciser (ex: référentiel terrestre supposé galiléen).
3. Représenter toutes les forces extérieures s'exerçant sur le système à l'aide d'un schéma clair, en les appliquant au centre d'inertie du système. Les forces usuelles à considérer sont le poids, la réaction du support, les tensions, les frottements, la poussée d'Archimède, etc.
4. Établir un système de coordonnées (cartésien le plus souvent) pour projeter les forces.

Un mouvement est rectiligne uniforme si la trajectoire est une droite et la vitesse est constante en valeur et en direction.

• Vitesse constante : $\vec{v} = \text{constante}$.
• Accélération nulle : $\vec{a} = \vec{0}$.
• D'après la deuxième loi de Newton ($\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}$), si $\vec{a} = \vec{0}$, alors la somme vectorielle des forces extérieures est nulle ($\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$). Les forces sont dites compensées.
• L'équation horaire de la position est : $x(t) = v_0 t + x_0$.

Exemple : Un palet glissant sans frottement sur une table horizontale. Le poids et la réaction de la table se compensent ($\vec{P} + \vec{R} = \vec{0}$), donc le palet conserve sa vitesse.

Un mouvement est rectiligne uniformément varié si la trajectoire est une droite et l'accélération est constante en valeur et en direction (mais non nulle).

• Accélération constante non nulle : $\vec{a} = \text{constante} \neq \vec{0}$.
• D'après la deuxième loi de Newton, cela implique que la somme des forces extérieures est une constante non nulle.
• Les équations horaires du mouvement sont :
  • Vitesse : $v(t) = at + v_0$
  • Position : $x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + x_0$
  • Une relation utile indépendante du temps (relation de Torricelli) : $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$

Un corps est en chute libre s'il n'est soumis qu'à la seule force de son poids.

• Dans ce cas, $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{P}$.
• En appliquant la deuxième loi de Newton : $\vec{P} = m\vec{a}$, soit $m\vec{g} = m\vec{a}$.
• Donc, l'accélération du corps en chute libre est $\vec{a} = \vec{g}$.
• C'est un MRUV avec $a=g$ (si le mouvement est vertical) ou un mouvement parabolique si la vitesse initiale n'est pas verticale.

Influence de l'air : Dans l'air, un objet est également soumis aux frottements de l'air et à la poussée d'Archimède. Si ces forces sont négligeables devant le poids, on peut considérer le mouvement comme une chute libre. Pour des objets légers ou des vitesses élevées, ces forces deviennent importantes et le mouvement n'est plus une chute libre stricte.

Le travail d'une force $\vec{F}$ lors d'un déplacement $\vec{AB}$ est une grandeur scalaire qui mesure l'énergie transférée par cette force au système. $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\alpha$ Où :

• $F$ est l'intensité de la force.

• $AB$ est la distance parcourue.

• $\alpha$ est l'angle entre le vecteur force $\vec{F}$ et le vecteur déplacement $\vec{AB}$.

• L'unité du travail est le Joule (J).

• Travail moteur ($W > 0$) : La force favorise le mouvement. L'angle $\alpha$ est aigu ($0 \le \alpha < 90^\circ$).

• Travail résistant ($W < 0$) : La force s'oppose au mouvement. L'angle $\alpha$ est obtus ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$).

• Travail nul ($W = 0$) : La force est perpendiculaire au déplacement ($\alpha = 90^\circ$). Exemple : le travail de la réaction normale d'un support sur un plan horizontal est nul.

Le travail du poids : Pour un corps de masse $m$ se déplaçant entre une altitude $z_A$ et une altitude $z_B$ : $W_{AB}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$ Le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi, seulement des altitudes de départ et d'arrivée. C'est une force conservative.

L'énergie cinétique $E_c$ est l'énergie qu'un corps possède du fait de son mouvement. $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ Où :

• $m$ est la masse du corps en kg.
• $v$ est la vitesse du corps en m/s.
• L'énergie cinétique est exprimée en Joules (J).

Le théorème de l'énergie cinétique est un principe fondamental qui relie le travail des forces à la variation de l'énergie cinétique. "La variation d'énergie cinétique d'un système est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures s'exerçant sur ce système entre deux instants." $\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{ext})$ Ce théorème est très utile pour étudier les mouvements sans passer par l'accélération, surtout lorsque les forces ne sont pas constantes.

L'énergie potentielle de pesanteur $E_p$ est l'énergie qu'un corps possède du fait de sa position dans un champ de pesanteur. $E_p = mgh$ Où :

• $m$ est la masse du corps en kg.
• $g$ est l'intensité du champ de pesanteur en N/kg.
• $h$ est l'altitude du centre d'inertie du corps par rapport à un niveau de référence choisi arbitrairement (où $E_p = 0$).
• L'énergie potentielle est exprimée en Joules (J).

La variation d'énergie potentielle entre deux points A et B est liée au travail du poids : $\Delta E_p = E_{pB} - E_{pA} = mg(h_B - h_A) = -W_{AB}(\vec{P})$ C'est la variation de l'énergie potentielle qui a un sens physique, pas sa valeur absolue, car elle dépend du choix du niveau de référence.

L'énergie mécanique $E_m$ d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle. $E_m = E_c + E_p$ L'énergie mécanique est exprimée en Joules (J).

Conservation de l'énergie mécanique : Si un système n'est soumis qu'à des forces conservatives (comme le poids, la force de rappel d'un ressort), alors son énergie mécanique se conserve. $E_m = \text{constante} \implies \Delta E_m = 0$ Cela signifie que $E_{cA} + E_{pA} = E_{cB} + E_{pB}$. Il y a alors une conversion de l'énergie cinétique en énergie potentielle et vice-versa.

Cas des forces non conservatives : Si des forces non conservatives (comme les frottements, les forces de propulsion) agissent sur le système, l'énergie mécanique n'est plus conservée. La variation de l'énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives : $\Delta E_m = \sum W_{nc}$ Les frottements sont des forces non conservatives qui dissipent l'énergie mécanique sous forme de chaleur.

Ce chapitre fournit les outils essentiels pour analyser le mouvement et les interactions. La maîtrise de ces concepts est cruciale pour aborder des études plus complexes en physique.