Comment représenter graphiquement des fonctions simples et les interpréter ?

En mathématiques, une fonction est un outil qui décrit une relation entre deux quantités. Imagine une machine : tu lui donnes un nombre en entrée, et elle te renvoie un seul nombre en sortie. C'est ça, une fonction !

Plus précisément :

• Une fonction $f$ associe à chaque valeur de la variable indépendante (souvent notée $x$) une unique valeur de la variable dépendante (souvent notée $y$ ou $f(x)$).
• L'ensemble de toutes les valeurs que $x$ peut prendre s'appelle l'ensemble de définition de la fonction. Par exemple, pour la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$, $x$ ne peut pas être égal à 0, donc son ensemble de définition est $\mathbb{R}^*$ (tous les nombres réels sauf 0).
• Si $y = f(x)$, on dit que $y$ est l'image de $x$ par la fonction $f$. Et on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$. Attention, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun !

Exemple : Soit la fonction $f(x) = 2x + 1$.

• Si $x=3$, alors $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$. Ici, 7 est l'image de 3.
• Si $y=5$, on cherche $x$ tel que $2x+1=5$. Donc $2x=4$, et $x=2$. Ici, 2 est l'antécédent de 5.

Pour "voir" une fonction, nous utilisons un repère cartésien. C'est un système de coordonnées qui permet de localiser chaque point dans un plan.

Un repère cartésien est composé de :

• L'axe des abscisses : C'est l'axe horizontal, souvent noté $(Ox)$. Il représente les valeurs de la variable indépendante $x$.
• L'axe des ordonnées : C'est l'axe vertical, souvent noté $(Oy)$. Il représente les valeurs de la variable dépendante $y$ ou $f(x)$.
• L'origine du repère : C'est le point où les deux axes se coupent. Ses coordonnées sont $(0;0)$.

Chaque point du plan est identifié par ses coordonnées $(x;y)$. La première valeur (x) est l'abscisse du point, la seconde (y) est son ordonnée.

Placer un point $M(x;y)$ dans un repère est une compétence essentielle :

1. Méthode de placement :

   • Tu te déplaces horizontalement le long de l'axe des abscisses jusqu'à la valeur $x$.
   • À partir de ce point, tu te déplaces verticalement, parallèlement à l'axe des ordonnées, jusqu'à la valeur $y$.
   • L'endroit où tu arrives est le point $M$.

2. Lecture des coordonnées : Pour trouver les coordonnées d'un point $P$ déjà placé :

   • Trace une ligne verticale depuis $P$ jusqu'à l'axe des abscisses. La valeur lue est l'abscisse $x$.
   • Trace une ligne horizontale depuis $P$ jusqu'à l'axe des ordonnées. La valeur lue est l'ordonnée $y$.
   • Les coordonnées de $P$ sont $(x;y)$.

3. Erreurs courantes :

   • Inverser l'ordre des coordonnées : toujours $(x;y)$, jamais $(y;x)$.
   • Se tromper de sens : les nombres positifs sont à droite pour $x$ et en haut pour $y$. Les nombres négatifs sont à gauche pour $x$ et en bas pour $y$.

Exercice : Place les points suivants dans un repère : $A(2;3)$, $B(-1;4)$, $C(0;-2)$, $D(3;0)$.

Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre réel non nul.

• Sa représentation graphique est toujours une droite qui passe par l'origine du repère $(0;0)$.
• Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur ou la pente de la droite. Il indique l'inclinaison de la droite.
  • Si $a > 0$, la droite "monte" (la fonction est croissante).
  • Si $a < 0$, la droite "descend" (la fonction est décroissante).
  • Si $a = 0$, la fonction est $f(x)=0$, c'est l'axe des abscisses.

Tracé de la droite :

1. On sait que la droite passe par l'origine $(0;0)$.
2. On calcule un deuxième point. Par exemple, si $x=1$, alors $y=a \times 1 = a$. Donc le point $(1;a)$ est sur la droite.
3. On relie ces deux points pour tracer la droite.

Exemple : $f(x) = 2x$.

• Passe par $(0;0)$.
• Si $x=1$, $f(1)=2$. Le point $(1;2)$ est sur la droite.
• Trace la droite passant par $(0;0)$ et $(1;2)$.

Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

• Sa représentation graphique est une droite.
• Le nombre $a$ est le coefficient directeur (pente), comme pour la fonction linéaire. Il détermine l'inclinaison de la droite.
• Le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de $y$ lorsque $x=0$, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Ce point est $(0;b)$.

Note : Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b=0$.

Tracé de la droite :

1. Place le point de l'ordonnée à l'origine : $(0;b)$.
2. Calcule un deuxième point. Choisis une valeur de $x$ (par exemple $x=1$ ou $x=2$) et calcule l'image $y$. Place ce point.
3. Relie les deux points pour tracer la droite.

Exemple : $f(x) = -3x + 2$.

• L'ordonnée à l'origine est $b=2$. La droite passe par $(0;2)$.
• Si $x=1$, $f(1) = -3 \times 1 + 2 = -1$. Le point $(1;-1)$ est sur la droite.
• Trace la droite passant par $(0;2)$ et $(1;-1)$.

Comprendre la signification de $a$ et $b$ est crucial pour interpréter la droite :

• Signification de la pente ($a$) :

  • Indique la variation de $y$ pour une augmentation d'une unité de $x$.
  • Si $a=2$, cela signifie que chaque fois que $x$ augmente de 1, $y$ augmente de 2.
  • Si $a=-0.5$, cela signifie que chaque fois que $x$ augmente de 1, $y$ diminue de 0.5.
  • Plus la valeur absolue de $a$ est grande, plus la droite est "pentue" (plus elle monte ou descend rapidement).
  • Si $a=0$, la fonction est $f(x)=b$. C'est une droite horizontale.

• Signification de l'ordonnée à l'origine ($b$) :

  • Représente la valeur de la fonction lorsque la variable indépendante $x$ est nulle.
  • C'est le "point de départ" ou la valeur initiale dans de nombreux contextes.
  • Graphiquement, c'est le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

Cas particuliers :

• Cas $a=0$: $f(x) = b$. La droite est horizontale, parallèle à l'axe des abscisses.
• Cas $b=0$: $f(x) = ax$. La droite passe par l'origine.

Exemples concrets :

• Coût de production : Si le coût de production d'un produit est $C(q) = 5q + 100$, où $q$ est la quantité produite.
  • $a=5$ : Le coût de production augmente de 5€ par unité produite (coût marginal).
  • $b=100$ : Il y a un coût fixe de 100€ même si aucune unité n'est produite (loyer, machines, etc.).
• Salaire fixe + commission : Un vendeur gagne 1200€ de salaire fixe plus 10% des ventes. $S(v) = 0.10v + 1200$.
  • $a=0.10$ : Pour chaque euro de vente, le salaire augmente de 0.10€.
  • $b=1200$ : Le salaire de base est de 1200€ même sans vente.

La fonction carrée est la forme la plus simple d'une fonction du second degré : $f(x) = x^2$.

• Définition et propriétés :
  • Pour tout $x$ réel, $x^2 \ge 0$. La courbe est toujours au-dessus de l'axe des abscisses (sauf en $x=0$).
  • $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. La fonction est paire, ce qui signifie que sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • Elle est décroissante sur $(-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty)$.
• Sommet de la parabole : Le point le plus bas (ou le plus haut) de la parabole est appelé le sommet. Pour $y=x^2$, le sommet est l'origine du repère $(0;0)$.
• Tracé de la courbe :
  1. Crée un tableau de valeurs (en incluant des valeurs négatives et positives pour $x$ pour montrer la symétrie).
  2. Place les points correspondants dans un repère.
  3. Relie les points par une courbe douce et symétrique.

La forme générale d'une fonction du second degré est $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \ne 0$.

• Influence du coefficient 'a' :
  • Si $a > 0$, la parabole est "ouverte vers le haut" (forme de $\cup$). Le sommet est un minimum.
  • Si $a < 0$, la parabole est "ouverte vers le bas" (forme de $\cap$). Le sommet est un maximum.
  • Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est "étroite". Plus $|a|$ est petit, plus elle est "large".
• Calcul des coordonnées du sommet : Le sommet $S$ de la parabole a pour coordonnées $(x_S; y_S)$.
  • $x_S = -\frac{b}{2a}$
  • $y_S = f(x_S)$ (il suffit de remplacer $x_S$ dans l'expression de la fonction).
• Tracé de la parabole :
  1. Détermine le sens d'ouverture (selon le signe de $a$).
  2. Calcule les coordonnées du sommet $S$. C'est un point clé.
  3. Calcule quelques autres points, en particulier des points symétriques par rapport à l'axe de symétrie (la droite verticale $x = x_S$).
  4. Trace la courbe en reliant les points de manière douce et symétrique.

Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Ici $a=1$, $b=-4$, $c=3$.

• $a=1 > 0$, donc la parabole s'ouvre vers le haut.
• $x_S = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$.
• $y_S = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
• Le sommet est $S(2;-1)$.

• Intersection avec l'axe des ordonnées ($Oy$) :

  • C'est le point où $x=0$.
  • Pour une fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$, l'ordonnée est $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$.
  • Le point d'intersection est toujours $(0;c)$.

• Intersection avec l'axe des abscisses ($Ox$) :

  • Ce sont les points où $y=0$, c'est-à-dire les solutions de l'équation $f(x) = 0$. On les appelle les racines de la fonction.
  • Pour résoudre $ax^2 + bx + c = 0$, on utilise le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
    • Si $\Delta > 0$ : Il y a deux solutions distinctes $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. La parabole coupe l'axe $Ox$ en deux points.
    • Si $\Delta = 0$ : Il y a une seule solution (double) $x_0 = -\frac{b}{2a}$. La parabole "touche" l'axe $Ox$ en un seul point (le sommet est sur l'axe).
    • Si $\Delta < 0$ : Il n'y a pas de solution réelle. La parabole ne coupe pas l'axe $Ox$.

• Interprétation graphique : La position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses nous indique les signes de la fonction. Si $a>0$ et $\Delta<0$, la parabole est entièrement au-dessus de l'axe $Ox$, donc $f(x) > 0$ pour tout $x$.

La fonction inverse est $f(x) = \frac{1}{x}$.

• Définition et propriétés :
  • L'ensemble de définition est $\mathbb{R}^*$ (tous les réels sauf 0), car la division par zéro est impossible.
  • $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$. La fonction est impaire, ce qui signifie que sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère $(0;0)$.
  • Elle est décroissante sur $(-\infty; 0)$ et décroissante sur $(0; +\infty)$.
• Asymptotes : La courbe de la fonction inverse s'approche de deux droites sans jamais les toucher. Ces droites sont appelées asymptotes.
  • Asymptote verticale : l'axe des ordonnées ($x=0$). Quand $x$ s'approche de 0, $y$ tend vers $\pm \infty$.
  • Asymptote horizontale : l'axe des abscisses ($y=0$). Quand $x$ tend vers $\pm \infty$, $y$ tend vers 0.
• Tracé de l'hyperbole : La courbe de la fonction inverse est une hyperbole. Elle a deux branches séparées par les asymptotes.
  1. Crée un tableau de valeurs en prenant des $x$ positifs et négatifs (mais pas 0!), et des valeurs proches de 0 et éloignées de 0.
  2. Place les points et trace les deux branches de l'hyperbole, en faisant attention aux asymptotes.

La fonction racine carrée est $f(x) = \sqrt{x}$.

• Définition et propriétés :
  • L'ensemble de définition est $[0; +\infty)$ (tous les réels positifs ou nuls), car la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les nombres réels.
  • La fonction est toujours croissante.
  • La courbe démarre au point $(0;0)$.
• Tracé de la courbe :
  1. Crée un tableau de valeurs en choisissant des $x$ pour lesquels la racine carrée est facile à calculer (ex: 0, 1, 4, 9).
  2. Place les points et relie-les par une courbe qui part de $(0;0)$ et s'étend vers la droite en montant doucement.

Applications simples :

• Fonction inverse : Modélise des situations où une quantité est inversement proportionnelle à une autre (ex: temps pour parcourir une distance en fonction de la vitesse).
• Fonction racine carrée : Apparaît dans des formules de géométrie (ex: calcul de la distance) ou en physique.

• Lecture d'images ($f(x)$) : Pour trouver l'image d'un nombre $x_0$ par $f$ :
  1. Place-toi sur l'axe des abscisses à la valeur $x_0$.
  2. Monte (ou descends) verticalement jusqu'à rencontrer la courbe de la fonction.
  3. À partir de ce point sur la courbe, va horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées. La valeur lue est $f(x_0)$.
• Lecture d'antécédents ($x$) : Pour trouver les antécédents d'un nombre $y_0$ par $f$ :
  1. Place-toi sur l'axe des ordonnées à la valeur $y_0$.
  2. Va horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe de la fonction.
  3. À partir de chaque point d'intersection sur la courbe, descends (ou montes) verticalement jusqu'à l'axe des abscisses. Les valeurs lues sont les antécédents de $y_0$.
  • Attention : un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou aucun, selon la fonction et la valeur de $y_0$.

Précision de la lecture : La lecture graphique est souvent approximative. Pour des valeurs exactes, il faut passer par le calcul.

La résolution graphique d'équations consiste à trouver les points d'intersection de courbes.

• Équation $f(x) = k$ :

  1. Trace la courbe de la fonction $f(x)$.
  2. Trace la droite horizontale d'équation $y=k$ (une droite parallèle à l'axe des abscisses passant par $y=k$).
  3. Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe de $f$ et la droite $y=k$.

• Équation $f(x) = g(x)$ :

  1. Trace la courbe de la fonction $f(x)$.
  2. Trace la courbe de la fonction $g(x)$.
  3. Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection entre les deux courbes.

La résolution graphique d'inéquations consiste à identifier des zones du graphique.

• Inéquation $f(x) > k$ :

  1. Trace la courbe de $f(x)$ et la droite $y=k$.
  2. Repère la (les) portion(s) de la courbe de $f(x)$ qui est (sont) au-dessus de la droite $y=k$.
  3. Les solutions sont les intervalles d'abscisses correspondant à ces portions.
  • Pour une inégalité stricte ($>$ ou $<$), les bornes des intervalles sont exclues (parenthèses).
  • Pour une inégalité large ($\ge$ ou $\le$), les bornes des intervalles sont incluses (crochets).

• Inéquation $f(x) < g(x)$ :

  1. Trace les courbes de $f(x)$ et $g(x)$.
  2. Repère la (les) portion(s) de la courbe de $f(x)$ qui est (sont) en-dessous de la courbe de $g(x)$.
  3. Les solutions sont les intervalles d'abscisses correspondant à ces portions.

Déterminer le signe d'une fonction $f(x)$ signifie savoir pour quelles valeurs de $x$ la fonction est positive ($f(x)>0$), négative ($f(x)<0$) ou nulle ($f(x)=0$).

• Graphiquement :

  • $f(x) > 0$ correspond aux parties de la courbe situées au-dessus de l'axe des abscisses ($Ox$).
  • $f(x) < 0$ correspond aux parties de la courbe situées en-dessous de l'axe des abscisses ($Ox$).
  • $f(x) = 0$ correspond aux points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses (les racines).

• Tableau de signes : Une fois les racines identifiées, on peut construire un tableau de signes pour résumer le comportement de la fonction.

Exemple : Si une parabole coupe l'axe $Ox$ en $x=1$ et $x=3$ et qu'elle est ouverte vers le haut ($a>0$).

• $f(x) > 0$ pour $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$
• $f(x) < 0$ pour $x \in (1; 3)$
• $f(x) = 0$ pour $x = 1$ et $x = 3$