La mécanique du solide

En mécanique, un solide est un corps dont les points matériels gardent des distances relatives invariables au cours du temps. En d'autres termes, il ne se déforme pas. C'est une simplification essentielle pour l'étude.

• Solide indéformable : C'est le modèle de base. On considère que la distance entre deux points quelconques du solide reste constante, quelles que soient les forces appliquées. C'est une approximation, car dans la réalité, tous les corps se déforment plus ou moins.
• Modélisation ponctuelle : Pour des études simples (par exemple, la trajectoire d'un ballon de football), on peut parfois réduire le solide à un point unique, souvent son centre de masse. Cette simplification est valable si les dimensions du solide sont négligeables par rapport aux distances parcourues ou si le solide n'effectue qu'un mouvement de translation.
• Modélisation volumique : Dans la plupart des cas, il faut considérer le volume du solide et la répartition de sa masse. C'est le cas pour l'étude des rotations ou des efforts internes.
• Repère d'étude : Pour décrire le mouvement ou la position d'un solide, on a besoin d'un référentiel. Un référentiel est un corps de référence par rapport auquel on étudie le mouvement. Il est attaché à un repère (un système d'axes, par exemple $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$) et une horloge. Le choix du repère est crucial et doit être adapté au problème (par exemple, un repère lié au sol pour étudier la chute d'un objet).

La cinématique est la science qui étudie le mouvement sans se soucier des causes de ce mouvement (les forces). Pour cela, on utilise des grandeurs spécifiques.

• Position : La position d'un point $M$ dans l'espace est donnée par son vecteur position $\vec{OM}$ (où $O$ est l'origine du repère). Ses coordonnées dépendent du temps : $M(x(t), y(t), z(t))$.
• Vitesse : La vitesse d'un point $M$ est la dérivée de son vecteur position par rapport au temps. Elle indique la rapidité et la direction du mouvement. $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \end{pmatrix}$ L'unité de la vitesse est le mètre par seconde ($m \cdot s^{-1}$).
• Accélération : L'accélération d'un point $M$ est la dérivée de son vecteur vitesse par rapport au temps. Elle décrit la variation de la vitesse (changement de direction ou de norme). $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} = \begin{pmatrix} \frac{d^2x}{dt^2} \\ \frac{d^2y}{dt^2} \\ \frac{d^2z}{dt^2} \end{pmatrix}$ L'unité de l'accélération est le mètre par seconde carrée ($m \cdot s^{-2}$).
• Référentiel : Comme mentionné précédemment, toutes ces grandeurs sont définies par rapport à un référentiel donné. Un référentiel est constitué d'un corps de référence par rapport auquel on définit un repère et une horloge. Les référentiels les plus courants sont le référentiel terrestre (lié à la Terre), le référentiel géocentrique (lié au centre de la Terre, axes dirigés vers des étoiles lointaines fixes) et le référentiel héliocentrique (lié au centre du Soleil).

Un solide peut effectuer différents types de mouvements, ou une combinaison de ceux-ci.

• Translation rectiligne : Tous les points du solide décrivent des trajectoires rectilignes parallèles. La direction du solide ne change pas. Exemple : Un wagon de train sur une voie droite.
• Translation curviligne : Tous les points du solide décrivent des trajectoires courbes parallèles. La direction du solide ne change pas. Exemple : La cabine d'une grande roue (elle se déplace en cercle, mais ne tourne pas sur elle-même).
• Rotation autour d'un axe fixe : Tous les points du solide décrivent des cercles centrés sur l'axe de rotation. L'axe de rotation est fixe dans le référentiel d'étude. Exemple : Une porte qui s'ouvre, une roue qui tourne.
• Mouvement plan sur plan : C'est un mouvement plus complexe où tous les points du solide restent dans un même plan. Ce mouvement peut être décomposé en une translation et une rotation. Exemple : Le mouvement d'une roue de voiture qui roule sans glisser sur une route plane. Ce type de mouvement est très fréquent dans les mécanismes.

Lors d'un mouvement de translation, la trajectoire du solide est celle de n'importe lequel de ses points. On peut donc se contenter d'étudier le mouvement d'un seul point du solide (par exemple, son centre de masse).

• Vecteur position : $\vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$
• Vecteur vitesse : $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = v_x(t)\vec{i} + v_y(t)\vec{j} + v_z(t)\vec{k}$ où $v_x = \frac{dx}{dt}$, $v_y = \frac{dy}{dt}$, $v_z = \frac{dz}{dt}$.
• Vecteur accélération : $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = a_x(t)\vec{i} + a_y(t)\vec{j} + a_z(t)\vec{k}$ où $a_x = \frac{dv_x}{dt}$, $a_y = \frac{dv_y}{dt}$, $a_z = \frac{dv_z}{dt}$.
• Équations horaires : Ce sont les expressions de $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ (ou $v_x(t)$, $v_y(t)$, $v_z(t)$) en fonction du temps. Pour un mouvement rectiligne uniformément varié (accélération constante) :
  • $v(t) = v_0 + at$
  • $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ où $x_0$ et $v_0$ sont la position et la vitesse initiales.

Pour un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, il est plus pratique d'utiliser des grandeurs angulaires.

• Angle de rotation : L'angle $\theta(t)$ mesure la position angulaire du solide par rapport à une direction de référence. L'unité est le radian (rad).
• Vitesse angulaire : La vitesse angulaire $\omega(t)$ (oméga) est la dérivée de l'angle de rotation par rapport au temps. Elle représente la rapidité de rotation. $\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}$ L'unité est le radian par seconde ($rad \cdot s^{-1}$).
• Accélération angulaire : L'accélération angulaire $\alpha(t)$ (alpha) est la dérivée de la vitesse angulaire par rapport au temps. Elle décrit la variation de la vitesse de rotation. $\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$ L'unité est le radian par seconde carrée ($rad \cdot s^{-2}$).
• Relation vitesse linéaire/angulaire : Pour un point $M$ situé à une distance $R$ de l'axe de rotation, sa vitesse linéaire $v$ est liée à la vitesse angulaire $\omega$ par la relation : $v = R \omega$ Attention, cette relation est valable pour la norme de la vitesse. Le vecteur vitesse $\vec{v}$ est tangent à la trajectoire circulaire du point, tandis que le vecteur vitesse angulaire $\vec{\omega}$ est porté par l'axe de rotation.

Il est souvent nécessaire d'étudier le mouvement d'un point par rapport à plusieurs référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres. C'est la composition des mouvements.

• Changement de référentiel : On utilise la formule de composition des vitesses pour relier la vitesse d'un point dans un référentiel "absolu" (fixe) à sa vitesse dans un référentiel "relatif" (en mouvement).
• Vitesse relative ($\vec{v}_{M/R_r}$) : C'est la vitesse du point $M$ par rapport au référentiel mobile $R_r$.
• Vitesse d'entraînement ($\vec{v}_{e}(M)$) : C'est la vitesse qu'aurait le point $M$ s'il était fixe par rapport au référentiel mobile $R_r$, mais que ce référentiel se déplaçait par rapport au référentiel fixe $R_a$.
• Vitesse absolue ($\vec{v}_{M/R_a}$) : C'est la vitesse du point $M$ par rapport au référentiel fixe $R_a$. La relation de composition des vitesses est : $\vec{v}_{M/R_a} = \vec{v}_{M/R_r} + \vec{v}_{e}(M)$ Cette formule est fondamentale pour l'étude des mécanismes complexes. Par exemple, pour un passager marchant dans un train en mouvement : sa vitesse par rapport au sol est la somme de sa vitesse par rapport au train et de la vitesse du train par rapport au sol.

Une force est une action mécanique capable de modifier l'état de mouvement ou de déformer un corps. Elle est modélisée par un vecteur.

Les caractéristiques d'une force sont :

• Point d'application : C'est le point où la force est appliquée sur le solide. Pour une force répartie (comme le poids), on utilise le centre de gravité.
• Direction : La droite le long de laquelle la force agit.
• Sens : L'orientation de la force le long de sa direction (par exemple, vers le haut, vers le bas).
• Intensité (norme) : La valeur numérique de la force, exprimée en Newtons (N). Elle représente l' "intensité" de l'action.

On distingue plusieurs types d'actions mécaniques :

• Actions à distance : Elles s'exercent sans contact direct entre les corps.
  • Gravité (Poids) : Force d'attraction exercée par la Terre (ou un autre corps céleste) sur un objet. Elle est toujours dirigée vers le centre de la Terre. $P = m \cdot g$, où $m$ est la masse et $g$ l'accélération de la pesanteur ($\approx 9.81 \, m \cdot s^{-2}$).
  • Électromagnétisme : Forces entre charges électriques ou aimants.
• Actions de contact : Elles nécessitent un contact direct entre les corps.
  • Pression : Force exercée perpendiculairement à une surface par un fluide (liquide ou gaz) ou par un solide.
  • Frottement : Force qui s'oppose au mouvement ou à la tendance au mouvement entre deux surfaces en contact. Elle est parallèle à la surface de contact. On distingue le frottement statique (avant le mouvement) et cinétique (pendant le mouvement).
  • Tension : Force exercée par un câble, une corde, ou une barre étirée. Elle est dirigée le long de l'élément.
  • Réaction d'appui : Force exercée par une surface sur un objet qu'elle soutient. Elle est souvent décomposée en une composante normale (perpendiculaire à la surface) et une composante tangentielle (frottement).
• Actions intérieures/extérieures :
  • Actions extérieures : Forces exercées sur le solide par son environnement. Elles peuvent modifier le mouvement du solide.
  • Actions intérieures : Forces exercées entre les différentes parties d'un même solide. Elles ne peuvent pas modifier le mouvement global du solide, mais peuvent causer sa déformation ou sa rupture.
• Principe des actions réciproques (Troisième loi de Newton) : Si un corps A exerce une force $\vec{F}_{A \to B}$ sur un corps B, alors le corps B exerce simultanément une force $\vec{F}_{B \to A}$ sur le corps A, telle que : $\vec{F}_{A \to B} = - \vec{F}_{B \to A}$ Ces deux forces ont même intensité, même direction, mais des sens opposés, et sont appliquées sur des corps différents.

Pour l'étude, on représente les forces à l'aide de vecteurs.

• Vecteur force : C'est la représentation graphique et mathématique d'une force, avec ses 4 caractéristiques.
• Torseur des actions mécaniques (introduction) : Pour un ensemble de forces agissant sur un solide, on peut les regrouper en un outil mathématique appelé torseur. Un torseur est composé de deux vecteurs :
  • Le vecteur résultante $\vec{R} = \sum \vec{F}_i$ (somme de toutes les forces).
  • Le vecteur moment résultant $\vec{M}_A = \sum \vec{M}_A(\vec{F}_i)$ (somme des moments de toutes les forces par rapport à un point $A$). Le torseur permet de caractériser complètement l'action mécanique d'un ensemble de forces sur un solide.
• Centre de gravité (G) : C'est le point d'application du poids d'un solide. C'est aussi le centre de masse du solide.
• Poids : Force d'attraction gravitationnelle. Pour un solide de masse $m$, le poids $\vec{P}$ est orienté vers le bas et a pour norme $P = mg$.

Un solide est en équilibre si son mouvement ne change pas, c'est-à-dire s'il est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.

• Principe fondamental de la statique (PFS) : Pour qu'un solide soit en équilibre, il faut que la somme vectorielle de toutes les forces extérieures qui s'exercent sur lui soit nulle, ET que la somme vectorielle de tous les moments de ces forces par rapport à n'importe quel point soit nulle.
  1. Somme des forces nulle : La résultante des forces extérieures est nulle. $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$ Cela signifie que le centre de masse du solide n'accélère pas.
  2. Somme des moments nulle : Le moment résultant des forces extérieures par rapport à un point quelconque est nul. $\sum \vec{M}_A(\vec{F}_{ext}) = \vec{0}$ Cela signifie que le solide ne tourne pas (ou ne change pas sa vitesse de rotation).
• Isolément du solide : La première étape pour appliquer le PFS est d'isoler le solide que l'on étudie. Cela consiste à le "séparer" mentalement de son environnement et à identifier toutes les forces extérieures qui agissent sur lui. On réalise un diagramme des forces (ou bilan des actions mécaniques).

Le PFS est un outil puissant pour analyser des structures simples.

• Poutre en appui : Une poutre reposant sur deux supports est un exemple classique. On calcule les forces de réaction d'appui exercées par les supports en équilibrant le poids de la poutre et d'éventuelles charges, ainsi que les moments correspondants.
• Levier : Un levier permet de démultiplier une force. L'équilibre d'un levier dépend de la somme des moments des forces appliquées par rapport au point d'appui (pivot).
• Treuil : Un treuil utilise le principe du moment pour soulever de lourdes charges avec une force relativement faible appliquée à une manivelle.
• Systèmes articulés : Des assemblages de solides connectés par des pivots (articulations). Pour résoudre ces problèmes, on isole chaque solide du système et on applique le PFS à chacun d'eux, en tenant compte des forces d'action-réaction aux articulations.

Le moment d'une force est la capacité de cette force à faire tourner un solide autour d'un point ou d'un axe.

• Définition du moment : Le moment d'une force $\vec{F}$ par rapport à un point $A$ est un vecteur $\vec{M}_A(\vec{F})$ défini par : $\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{AP} \times \vec{F}$ où $\vec{AP}$ est le vecteur allant du point $A$ (point de référence) au point d'application $P$ de la force $\vec{F}$. Le symbole "$\times$" représente le produit vectoriel. L'unité du moment est le Newton-mètre ($N \cdot m$).
• Bras de levier : Pour un moment agissant dans un plan, sa norme peut être calculée comme le produit de l'intensité de la force par la longueur du bras de levier $d$. Le bras de levier est la distance perpendiculaire entre le point de référence $A$ et la ligne d'action de la force. $M = F \cdot d$ C'est une notion très intuitive : plus le bras de levier est grand, plus la force est efficace pour provoquer une rotation (ex: clé à molette longue).
• Calcul du moment : En 2D, on peut attribuer un signe positif ou négatif au moment selon le sens de rotation qu'il tend à produire (par convention, positif pour un sens anti-horaire).
• Point de référence du moment : Le moment d'une force dépend du point par rapport auquel il est calculé. Pour le PFS, on peut choisir n'importe quel point, mais un choix judicieux (par exemple, un point où plusieurs forces inconnues s'appliquent) peut simplifier les calculs.

Le PFD est la loi fondamentale qui relie les forces agissant sur un solide à la modification de son mouvement.

• Seconde loi de Newton : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de sa masse par son accélération. $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G$ où $m$ est la masse du solide et $\vec{a}_G$ est l'accélération de son centre de masse $G$. Cette loi est le pilier de la dynamique.
• Masse inertielle : La masse $m$ est une mesure de l'inertie du corps, c'est-à-dire sa résistance à tout changement de son état de mouvement. Plus la masse est grande, plus il faut une force importante pour provoquer une accélération donnée.
• Quantité de mouvement : Le vecteur quantité de mouvement d'un solide est défini par $\vec{p} = m \cdot \vec{v}_G$. Le PFD peut aussi s'écrire : $\sum \vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ C'est-à-dire que la somme des forces est égale à la dérivée de la quantité de mouvement par rapport au temps.
• Relation force-accélération : Le PFD montre directement qu'une force nette produit une accélération. Si $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$, alors $\vec{a}_G = \vec{0}$, ce qui correspond à l'équilibre statique ou à un mouvement rectiligne uniforme (première loi de Newton).

Le PFD permet d'analyser une grande variété de situations.

• Chute libre : Mouvement d'un corps sous la seule influence de la pesanteur (on néglige les frottements de l'air). L'accélération est alors $\vec{a} = \vec{g}$.
• Mouvement sur plan incliné : On décompose le poids en deux composantes : une perpendiculaire au plan (équilibrée par la réaction normale) et une parallèle au plan (qui tend à faire glisser le corps). On applique le PFD le long du plan.
  • Forces de frottement : Si le corps glisse, une force de frottement cinétique $f_c = \mu_c N$ s'oppose au mouvement (où $\mu_c$ est le coefficient de frottement cinétique et $N$ la réaction normale). Si le corps ne glisse pas, une force de frottement statique $f_s \le \mu_s N$ s'oppose à la tendance au mouvement.
• Réactions d'appui : Le PFD permet de calculer les forces exercées par les supports ou les surfaces sur le solide en mouvement, en plus des forces de contact.

Ces concepts sont très utiles pour analyser les mouvements sans avoir besoin de calculer directement les accélérations, surtout lorsque les forces varient.

• Définition de l'énergie cinétique : L'énergie cinétique $E_c$ d'un solide en translation est l'énergie qu'il possède en raison de son mouvement. Elle est donnée par : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ où $m$ est la masse du solide et $v$ est la norme de sa vitesse. L'unité est le Joule (J).
• Travail d'une force constante : Le travail $W_{AB}(\vec{F})$ d'une force constante $\vec{F}$ lors d'un déplacement $\vec{AB}$ est défini par le produit scalaire : $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos(\alpha)$ où $\alpha$ est l'angle entre le vecteur force et le vecteur déplacement. Le travail est positif si la force favorise le mouvement, négatif si elle s'y oppose, et nul si la force est perpendiculaire au déplacement. L'unité est le Joule (J).
• Théorème de l'énergie cinétique : La variation de l'énergie cinétique d'un solide entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures qui s'appliquent à ce solide pendant cet intervalle de temps. $\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{ext})$ Ce théorème est très puissant car il permet de relier les forces et les déplacements sans passer par les accélérations.
• Puissance : La puissance $P$ d'une force est la rapidité avec laquelle cette force fournit ou absorbe de l'énergie (travail). $P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}$ où $\vec{v}$ est le vecteur vitesse du point d'application de la force. L'unité est le Watt (W).