Les nombres

Un nombre entier naturel est un nombre qui sert à compter des quantités entières. Ils sont positifs ou nuls. Exemples : 0, 1, 2, 3, 10, 100, etc.

Ils peuvent être représentés sur une droite graduée :

<---!---!---!---!---!---!---!---!---!---------------->
    0   1   2   3   4   5   6   7   8

Chaque point correspond à un nombre entier naturel. Les nombres entiers naturels sont toujours positifs ou nuls.

Dans la vie quotidienne, ils nous servent à :

• Compter le nombre d'élèves dans une classe.
• Indiquer un âge.
• Donner un numéro de téléphone.

Avec les nombres entiers naturels, on peut effectuer les opérations suivantes :

• Addition (+) : $5 + 3 = 8$
• Soustraction (-) : $7 - 2 = 5$ (attention, le résultat doit être positif pour un entier naturel)
• Multiplication (x ou $\cdot$) : $4 \times 6 = 24$
• Division euclidienne : C'est une division avec un quotient entier et un reste. $17 \div 5 = 3$ reste $2$, car $17 = 5 \times 3 + 2$.

Les priorités des opérations sont cruciales :

1. Parenthèses
2. Exposants (nous verrons plus tard)
3. Multiplication et Division (de gauche à droite)
4. Addition et Soustraction (de gauche à droite) Un moyen mnémotechnique : "PEMDAS" ou "Please Excuse My Dear Aunt Sally" (en anglais). Exemple : $10 + 2 \times 3 = 10 + 6 = 16$ (multiplication avant addition). Exemple : $(10 + 2) \times 3 = 12 \times 3 = 36$ (parenthèses d'abord).

Les critères de divisibilité permettent de savoir si un nombre est divisible par un autre sans faire la division.

• Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6, 8 (c'est un nombre pair). Exemple : 48 est divisible par 2.
• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemple : 123 ($1+2+3=6$) est divisible par 3.
• Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5. Exemple : 75 est divisible par 5.
• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple : 459 ($4+5+9=18$) est divisible par 9.
• Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0. Exemple : 200 est divisible par 10.

Un nombre impair est un nombre qui n'est pas divisible par 2 (il se termine par 1, 3, 5, 7, 9). Les multiples d'un nombre sont les résultats de sa multiplication par un entier. Les diviseurs d'un nombre sont les nombres qui le divisent sans laisser de reste. Exemple : Les multiples de 4 sont 4, 8, 12... Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Il est composé d'une partie entière (avant la virgule) et d'une partie décimale (après la virgule). Exemples : 3,14 ; 0,5 ; 12,00. Un nombre entier est aussi un nombre décimal (ex: $5 = 5,0$).

Écriture fractionnaire et décimale : Un nombre décimal peut toujours être écrit sous forme de fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Exemple : $3,14 = \frac{314}{100}$ ; $0,5 = \frac{5}{10}$.

La valeur de position des chiffres est essentielle :

Pour comparer des nombres décimaux :

1. On compare d'abord les parties entières. Le plus grand est celui qui a la plus grande partie entière. Exemple : $15,2 > 12,9$.
2. Si les parties entières sont égales, on compare les chiffres après la virgule, position par position, de gauche à droite. On peut ajouter des zéros à la fin de la partie décimale pour faciliter la comparaison. Exemple : $5,34$ et $5,309$. On compare les centièmes : $4 > 0$, donc $5,34 > 5,309$.

Pour ranger des nombres décimaux par ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant (du plus grand au plus petit), on utilise la méthode de comparaison. Exemple : Ranger 2,5 ; 2,05 ; 2,55 par ordre croissant : 2,05 < 2,5 < 2,55.

L'encadrement consiste à situer un nombre entre deux autres. Exemple : $2 < 2,5 < 3$ (encadrement à l'unité). La troncature d'un nombre décimal à un certain rang consiste à "couper" le nombre après ce rang. Exemple : La troncature de 3,14159 à deux chiffres après la virgule est 3,14.

• Addition et soustraction de décimaux : On aligne les virgules et on effectue l'opération comme avec des entiers.

    12,3
  +  4,56
  ------
    16,86
  

• Multiplication de décimaux : On multiplie les nombres sans tenir compte des virgules, puis on place la virgule dans le résultat en comptant le nombre total de chiffres après la virgule dans les facteurs. Exemple : $2,5 \times 1,2$ $25 \times 12 = 300$. Il y a un chiffre après la virgule dans 2,5 et un dans 1,2, donc 2 chiffres au total. Résultat : $3,00 = 3$.

• Division d'un décimal par un entier : On pose la division normalement. Lorsque l'on passe la virgule du dividende, on place la virgule au quotient. Exemple : $7,5 \div 3 = 2,5$.

Les nombres relatifs incluent les nombres positifs (avec un signe + ou sans signe) et les nombres négatifs (avec un signe -). Exemples : +5 (ou 5), -3, 0, -1,5, +2,7. Zéro est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif.

Représentation sur une droite graduée :

<---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!--->
   -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5

L'origine est le point 0. Le sens positif est généralement vers la droite. L'opposé d'un nombre relatif est le nombre qui a la même distance à zéro mais le signe opposé. Exemple : L'opposé de 3 est -3. L'opposé de -1,5 est 1,5.

Pour comparer des nombres relatifs :

• Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif. Exemple : $2 > -5$.
• Parmi deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro. Exemple : $5 > 2$.
• Parmi deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro. Exemple : $-2 > -5$ (car -2 est plus proche de 0 que -5).

La distance à zéro d'un nombre relatif est sa valeur sans son signe. C'est toujours un nombre positif. Exemple : La distance à zéro de -7 est 7. La distance à zéro de 7 est 7.

• Addition de nombres relatifs :

  • Même signe : On additionne les distances à zéro et on garde le signe commun. Exemple : $(-3) + (-2) = -5$. Exemple : $(+3) + (+2) = +5$.
  • Signes différents : On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. Exemple : $(-5) + (+2) = -3$. Exemple : $(+5) + (-2) = +3$.

• Soustraction de nombres relatifs : Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Exemple : $A - B = A + (-B)$. Exemple : $(+5) - (+2) = (+5) + (-2) = +3$. Exemple : $(-5) - (-2) = (-5) + (+2) = -3$.

• Produit de nombres relatifs :

  • Même signe : Le produit est positif. Exemple : $(-3) \times (-2) = +6$. Exemple : $(+3) \times (+2) = +6$.
  • Signes différents : Le produit est négatif. Exemple : $(-3) \times (+2) = -6$. Exemple : $(+3) \times (-2) = -6$. La règle des signes est la même pour la division.

Une fraction est une manière d'exprimer une partie d'un tout ou un quotient. Elle s'écrit $\frac{a}{b}$.

• Numérateur ($a$) : Le nombre du haut, indique le nombre de parts prises.
• Dénominateur ($b$) : Le nombre du bas, indique le nombre total de parts égales dans le tout. Il ne peut jamais être égal à zéro.

La fraction comme partage : Si on coupe un gâteau en 4 parts égales et qu'on en mange 3, on a mangé $\frac{3}{4}$ du gâteau. La fraction comme quotient : $\frac{a}{b}$ est le résultat de la division de $a$ par $b$. Exemple : $\frac{1}{2} = 0,5$.

Pour obtenir des fractions égales, on peut multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul. Exemple : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$. $\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$.

Simplifier une fraction signifie trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. On divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD). Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée. Exemple : $\frac{12}{18}$. PGCD(12, 18) = 6. Donc $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$. $\frac{2}{3}$ est une fraction irréductible.

Pour comparer des fractions :

1. Si elles ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Exemple : $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$.
2. Si elles n'ont pas le même dénominateur, il faut les mettre au même dénominateur en trouvant un multiple commun (idéalement le plus petit commun multiple, PPCM) des dénominateurs. Exemple : Comparer $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{5}$. PPCM(3, 5) = 15. $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}$. $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}$. Comme $\frac{6}{15} > \frac{5}{15}$, alors $\frac{2}{5} > \frac{1}{3}$.

Pour ranger des fractions, on utilise la même méthode de mise au même dénominateur.

• Addition et soustraction de fractions :

  • Même dénominateur : On additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun. Exemple : $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$.
  • Dénominateurs différents : On commence par les mettre au même dénominateur. Exemple : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

• Multiplication de fractions : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Exemple : $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$. Pas besoin de même dénominateur pour la multiplication !

• Division de fractions : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L'inverse de $\frac{c}{d}$ est $\frac{d}{c}$. Exemple : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$. Exemple : $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Une puissance d'un nombre entier est une multiplication répétée du même nombre. On note $a^n$, où $a$ est la base et $n$ est l'exposant. $a^n = a \times a \times ... \times a$ ($n$ fois). Exemple : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

Exposant positif : $a^n$ avec $n > 0$. Exposant négatif : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (pour $a \ne 0$). Exemple : $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Cas particuliers :

• Tout nombre (sauf 0) à la puissance 0 est égal à 1. Exemple : $5^0 = 1$.
• Tout nombre à la puissance 1 est égal à lui-même. Exemple : $7^1 = 7$.

• Produit de puissances de même base : $a^m \times a^n = a^{m+n}$. Exemple : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.
• Quotient de puissances de même base : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (pour $a \ne 0$). Exemple : $\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3$.
• Puissance d'une puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$. Exemple : $( (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$. Ces règles simplifient considérablement les calculs avec les grands nombres.

Les puissances de 10 sont très utilisées, notamment en sciences.

• $10^n = 1$ suivi de $n$ zéros. Exemple : $10^3 = 1000$.
• $10^{-n} = 0,$ suivi de ($n-1$) zéros, puis un 1. Exemple : $10^{-3} = 0,001$.

L'écriture scientifique permet d'exprimer des nombres très grands ou très petits de manière concise. Un nombre en écriture scientifique s'écrit sous la forme $a \times 10^n$, où $1 \le a < 10$ et $n$ est un entier relatif. Exemple : La vitesse de la lumière est d'environ $300\,000\,000$ m/s, soit $3 \times 10^8$ m/s. Exemple : La taille d'une bactérie est d'environ $0,000\,001$ m, soit $1 \times 10^{-6}$ m.

Le carré d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même. Exemple : Le carré de 5 est $5^2 = 5 \times 5 = 25$.

La racine carrée d'un nombre positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif qui, élevé au carré, donne $a$. Exemple : $\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$. La racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs. $\sqrt{0} = 0$.

Nombres dont la racine carrée est un entier : Ce sont les carrés parfaits. Exemples : $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{25}=5$, etc.

• Simplification de racines carrées : On cherche à faire apparaître un carré parfait sous la racine. Exemple : $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
• Produit de racines carrées : $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ (pour $a, b \ge 0$). Exemple : $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$.
• Quotient de racines carrées : $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (pour $a \ge 0, b > 0$). Exemple : $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

La calculatrice est souvent nécessaire pour obtenir une valeur approchée des racines carrées non entières. Exemple : $\sqrt{2} \approx 1,414$.

Les racines carrées ont de nombreuses applications :

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, si $c$ est l'hypoténuse et $a, b$ les autres côtés, alors $c^2 = a^2 + b^2$. Donc $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Exemple : Si les côtés d'un triangle rectangle mesurent 3 cm et 4 cm, l'hypoténuse mesure $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ cm.
• Calcul d'aires et de volumes :
  • Le côté d'un carré d'aire $A$ est $\sqrt{A}$.
  • Le rayon d'un cercle d'aire $A$ est $\sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
• Problèmes concrets impliquant des distances, des dimensions, etc.