La translation

Une transformation géométrique est une opération qui modifie la position ou l'orientation d'une figure dans le plan, ou les deux à la fois. C'est comme si on "transformait" la figure.

Les transformations géométriques permettent de passer d'une figure à une autre.

Quelques exemples de transformations que vous connaissez peut-être :

• La symétrie axiale (pliage le long d'un axe)
• La symétrie centrale (rotation de 180° autour d'un point)
• La rotation (tourner autour d'un point)

Ces transformations ont une propriété importante : elles conservent les propriétés des figures, comme les longueurs, les angles et les aires.

La translation est une transformation géométrique très spécifique. C'est un mouvement de glissement de tous les points d'une figure. Pensez à un ascenseur qui monte ou descend, ou à un train qui avance sur ses rails : ils effectuent un mouvement de translation.

Ce qui est crucial avec la translation, c'est qu'il n'y a ni rotation, ni retournement, ni déformation. La figure garde la même orientation et la même taille.

Pour bien comprendre la translation, il faut connaître quelques termes spécifiques :

• Image d'un point : Si on translate un point A, le point obtenu après la translation est appelé l'image de A. On le note souvent A'.
• Vecteur de translation : C'est l'élément clé qui définit la translation. Il indique la direction, le sens et la longueur du déplacement de tous les points de la figure. On le représente par une flèche.
• Objet initial : C'est la figure de départ avant la translation.
• Objet translaté : C'est la figure obtenue après la translation, l'image de l'objet initial.

Un vecteur est un segment orienté. Il est défini par :

1. Sa direction (la droite sur laquelle il se situe ou toute droite parallèle).
2. Son sens (de son point de départ vers son point d'arrivée).
3. Sa longueur (la distance entre son point de départ et son point d'arrivée).

Un vecteur est comme une instruction de déplacement : "Avance de tant, dans telle direction, et dans tel sens." On peut aussi le voir par ses composantes : un déplacement horizontal et un déplacement vertical.

Ces trois éléments sont essentiels pour caractériser une translation :

• Direction : C'est la droite le long de laquelle le déplacement s'effectue. Par exemple, "horizontalement", "verticalement", "selon une droite inclinée à 45°".
• Sens : Indique dans quelle "partie" de la direction le mouvement se fait. Par exemple, "vers la droite", "vers le haut", "vers le bas à gauche".
• Longueur : C'est la distance parcourue par chaque point. Tous les points de la figure se déplacent de la même longueur.

Un vecteur est souvent représenté par une flèche. Si un point A est translaté en B, on peut représenter le vecteur de translation par la flèche allant de A vers B, notée $\vec{AB}$.

Sur un quadrillage, un vecteur est facile à tracer :

• On part d'un point.
• On compte le nombre de carreaux horizontalement (à droite ou à gauche) et verticalement (en haut ou en bas).
• On dessine la flèche.

Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Un vecteur peut être représenté par n'importe quelle flèche ayant les mêmes caractéristiques.

Pour translater un point A par un vecteur $\vec{u}$ (ou $\vec{AB}$), on construit le point A' tel que le quadrilatère ABA'B' (si $\vec{u} = \vec{BB'}$) soit un parallélogramme. En pratique :

1. Tracez une droite parallèle à la direction du vecteur $\vec{u}$ passant par A.
2. Reportez la longueur du vecteur $\vec{u}$ sur cette droite, dans le sens indiqué.
3. Le point d'arrivée est A'.

Autre méthode :

• Du point A, tracez une ligne de la même direction et du même sens que le vecteur.
• Avec un compas, reportez la longueur du vecteur sur cette ligne. Le point obtenu est A'.
• Ou bien, si le vecteur est $\vec{MN}$, tracez la parallèle à (MN) passant par A, et la parallèle à (AM) passant par N. L'intersection est A'. Le quadrilatère AMNA' est un parallélogramme.

• Translation d'un segment : Pour translater un segment [AB], il suffit de translater ses deux extrémités, A et B, pour obtenir A' et B'. L'image du segment [AB] est alors le segment [A'B'].
  • Propriété importante : L'image d'un segment par translation est un segment qui lui est parallèle et de même longueur.
• Translation d'une droite : L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle. On peut la construire en translatant deux points quelconques de la droite d'origine, ou un seul point et en traçant la parallèle.

• Polygones : Pour translater un polygone (triangle, carré, etc.), on translate chacun de ses sommets. On relie ensuite les images des sommets dans le même ordre pour obtenir l'image du polygone.
  • Exemple : Pour un triangle ABC, on translate A en A', B en B', C en C'. Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC.
• Cercles : Pour translater un cercle, il suffit de translater son centre O en O'. L'image du cercle est un cercle de centre O' et de même rayon que le cercle initial.

La translation conserve la forme et les dimensions de la figure.

• Papier quadrillé : Très utile pour visualiser le déplacement horizontal et vertical du vecteur. Pour translater un point $(x,y)$ par un vecteur $(dx,dy)$, l'image sera $(x+dx, y+dy)$.
• Règle et équerre : Permettent de tracer des droites parallèles et perpendiculaires pour reporter les directions et les longueurs avec précision.
• Compas : Essentiel pour reporter les longueurs.

La translation est une isométrie. Cela signifie qu'elle conserve toutes les mesures :

• Conservation des longueurs : La distance entre deux points est la même que la distance entre leurs images. Si AB = 5 cm, alors A'B' = 5 cm.
• Conservation des angles : La mesure d'un angle reste inchangée après translation. Si un angle $\widehat{ABC}$ mesure 60°, alors $\widehat{A'B'C'}$ mesure aussi 60°.

• Conservation de l'alignement : Si trois points A, B, C sont alignés, alors leurs images A', B', C' sont également alignées.
• Conservation du parallélisme :
  • L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
  • L'image d'un segment est un segment qui lui est parallèle.

• L'aire d'une figure : L'aire d'une figure ne change pas après une translation. Si une figure a une aire de 10 cm², son image aura aussi une aire de 10 cm².
• La translation ne déforme pas la figure, elle la déplace simplement. C'est très utile pour les calculs d'aires ou pour des démonstrations en géométrie.

Rappel : un point dans le plan est repéré par ses coordonnées (x ; y).

• x est l'abscisse (déplacement horizontal).
• y est l'ordonnée (déplacement vertical).
• L'origine du repère est le point (0 ; 0).

Un vecteur de translation peut aussi être défini par ses coordonnées. Si le vecteur $\vec{u}$ déplace un point de $dx$ unités horizontalement et de $dy$ unités verticalement, on le note $\vec{u} (dx ; dy)$.

• $dx$ est le déplacement horizontal (positif vers la droite, négatif vers la gauche).
• $dy$ est le déplacement vertical (positif vers le haut, négatif vers le bas).

Si un point M a pour coordonnées $(x ; y)$ et qu'il est translaté par un vecteur $\vec{u} (dx ; dy)$, alors son image M' aura pour coordonnées $(x' ; y')$ :

$x' = x + dx$ $y' = y + dy$

C'est une formule très importante ! Les nouvelles coordonnées sont la somme des coordonnées du point de départ et des coordonnées du vecteur.

Exemple numérique : Soit le point A(2 ; 3) et le vecteur $\vec{u} (4 ; -1)$. L'image A' aura pour coordonnées : $x' = 2 + 4 = 6$ $y' = 3 + (-1) = 2$ Donc A'(6 ; 2).

Vous pouvez vérifier graphiquement sur un quadrillage.

Pour reconnaître une translation :

• Cherchez des figures qui sont exactement les mêmes, mais décalées.
• Vérifiez que toutes les parties de la figure ont bougé de la même manière (même direction, même sens, même longueur).
• Attention à ne pas confondre avec une rotation ou une symétrie !

On retrouve des translations dans les pavages (carreaux de sol), les frises (motifs répétés sur une bande), et de nombreux motifs décoratifs.

Les propriétés de la translation sont très utiles pour les démonstrations :

• Si on translate un triangle, on sait que son image aura les mêmes longueurs de côtés et les mêmes angles.
• Si on translate une droite, on obtient une droite parallèle.
• La translation peut aider à prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme (si $\vec{AB} = \vec{DC}$, alors ABCD est un parallélogramme).

• Motifs répétitifs : De nombreux motifs artistiques, en particulier dans l'art islamique ou les arts décoratifs, utilisent la translation pour créer des frises ou des rosaces.
• Architecture : Les colonnes identiques d'un temple grec, les fenêtres répétées sur une façade d'immeuble sont des exemples de translation dans le design architectural.
• Design : La répétition d'un motif par translation est une technique courante pour créer des textures ou des fonds d'écran.