Les calculs numériques

Les nombres relatifs sont les nombres positifs, négatifs et zéro.

Règle des signes pour l'addition :

• Pour additionner deux nombres de même signe : on additionne leurs distances à zéro et on garde leur signe commun.
  • Ex: $(-3) + (-5) = -8$
  • Ex: $(+7) + (+2) = +9$
• Pour additionner deux nombres de signes différents : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
  • Ex: $(-10) + (+4) = -6$
  • Ex: $(+12) + (-5) = +7$

Transformer une soustraction en addition : Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. $a - b = a + (-b)$

• Ex: $7 - (-3) = 7 + (+3) = 10$
• Ex: $-5 - 2 = -5 + (-2) = -7$

Calculs avec parenthèses : Lorsqu'il y a des parenthèses, on effectue les opérations à l'intérieur en premier, ou on peut les supprimer en respectant les règles :

• Si un signe '+' précède une parenthèse, on peut supprimer le '+' et les parenthèses sans changer les signes à l'intérieur.
  • Ex: $5 + (-2 + 3) = 5 - 2 + 3 = 6$
• Si un signe '-' précède une parenthèse, on supprime le '-' et les parenthèses en changeant le signe de CHAQUE terme à l'intérieur.
  • Ex: $5 - (-2 + 3) = 5 + 2 - 3 = 4$

Règle des signes pour la multiplication :

• $(+) \times (+) = (+)$
• $(-) \times (-) = (+)$
• $(+) \times (-) = (-)$
• $(-) \times (+) = (-)$ En bref : même signe $\rightarrow$ positif ; signes différents $\rightarrow$ négatif.
• Ex: $(-4) \times (-3) = 12$
• Ex: $6 \times (-2) = -12$

Règle des signes pour la division : La règle est la même que pour la multiplication.

• $(+) \div (+) = (+)$
• $(-) \div (-) = (+)$
• $(+) \div (-) = (-)$
• $(-) \div (+) = (-)$
• Ex: $(-15) \div 3 = -5$
• Ex: $20 \div (-4) = -5$
• Ex: $(-18) \div (-6) = 3$

Produit de plusieurs nombres relatifs : Pour un produit de plusieurs nombres relatifs, le signe du résultat dépend du nombre de facteurs négatifs :

• S'il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif.
• S'il y a un nombre impair de facteurs négatifs, le produit est négatif.
• Ex: $(-1) \times 2 \times (-3) \times (-4)$ Il y a 3 facteurs négatifs (impair), donc le résultat est négatif. $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$, donc le résultat est $-24$.

Ordre des opérations (PEMDAS/PEDMAS) : Pour calculer une expression numérique, on respecte toujours l'ordre suivant :

1. Parenthèses (ou crochets)
2. Exposants (ou puissances)
3. Multiplications et Divisions (de gauche à droite)
4. Additions et Soustractions (de gauche à droite) Un moyen mnémotechnique en français : "Parenthèses, Exposants, Multiplication Division, Addition Soustraction".

Calculs avec des parenthèses imbriquées : On commence toujours par les parenthèses les plus intérieures.

• Ex: $5 \times [12 - (3 + 4)]$ $= 5 \times [12 - 7]$ $= 5 \times 5 = 25$

Simplification d'expressions : Il s'agit d'appliquer les règles de priorité pour obtenir un résultat unique.

• Ex: $10 - 2 \times 3 + 8 \div 4$ $= 10 - 6 + 2$ (Multiplications et divisions d'abord) $= 4 + 2$ (Additions et soustractions de gauche à droite) $= 6$

Une fraction est un nombre de la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur ($b \neq 0$).

Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 (ils sont premiers entre eux). Pour la rendre irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).

• Ex: $\frac{12}{18}$. PGCD(12, 18) = 6. $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$. La fraction $\frac{2}{3}$ est irréductible.

Mise au même dénominateur : Pour comparer, additionner ou soustraire des fractions, il est souvent nécessaire de les ramener au même dénominateur (un multiple commun aux dénominateurs, idéalement le Plus Petit Commun Multiple - PPCM).

• Ex: Mettre $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{5}$ au même dénominateur. PPCM(3, 5) = 15. $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}$ $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}$

Comparaison de fractions :

• Si elles ont le même dénominateur : la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
  • Ex: $\frac{5}{7} < \frac{6}{7}$
• Si elles ont le même numérateur (et sont positives) : la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
  • Ex: $\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$
• Si elles n'ont ni le même numérateur ni le même dénominateur : on les met au même dénominateur pour les comparer.
  • Ex: Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$. Dénominateur commun 12. $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ et $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Puisque $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, alors $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent impérativement avoir le même dénominateur.

Réduction au même dénominateur : C'est la première étape si les dénominateurs sont différents (voir section précédente).

Addition de fractions : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

• Ex: $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3+2}{8} = \frac{5}{8}$
• Ex: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

Soustraction de fractions : $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

• Ex: $\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7-3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ (simplification !)
• Ex: $\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{8-5}{10} = \frac{3}{10}$

Multiplication de numérateurs et dénominateurs : Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pas besoin de même dénominateur ! $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

• Ex: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$
• Ex: $3 \times \frac{2}{7} = \frac{3}{1} \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{1 \times 7} = \frac{6}{7}$ Il est souvent plus facile de simplifier avant de multiplier, si possible.
• Ex: $\frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{2 \times 9}{3 \times 4} = \frac{2 \times 3 \times 3}{3 \times 2 \times 2} = \frac{3}{2}$

Inverse d'une fraction : L'inverse de la fraction $\frac{a}{b}$ (où $a \neq 0$ et $b \neq 0$) est la fraction $\frac{b}{a}$. Le produit d'une fraction par son inverse est toujours 1.

• Ex: L'inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$.
• Ex: L'inverse de $5$ (ou $\frac{5}{1}$) est $\frac{1}{5}$.

Division par une fraction : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

• Ex: $\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{14}{15}$
• Ex: $\frac{4}{5} \div 2 = \frac{4}{5} \div \frac{2}{1} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Priorités opératoires avec les fractions : Les mêmes règles de priorités (PEMDAS) s'appliquent aux calculs avec des fractions.

1. Parenthèses
2. Puissances
3. Multiplications et divisions (de gauche à droite)
4. Additions et soustractions (de gauche à droite)

Expressions complexes : Il faut décomposer le calcul étape par étape en respectant les priorités.

• Ex: Calculer $A = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{5}$ $A = \frac{1}{2} + \frac{3 \times 2}{4 \times 5}$ (Multiplication en premier) $A = \frac{1}{2} + \frac{6}{20}$ $A = \frac{1}{2} + \frac{3}{10}$ (Simplification de la deuxième fraction) $A = \frac{5}{10} + \frac{3}{10}$ (Mise au même dénominateur) $A = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ (Simplification finale)

Résolution de problèmes : Les fractions sont essentielles pour exprimer des proportions.

• Ex: Un jardinier plante des légumes sur $\frac{1}{3}$ de son jardin et des fleurs sur $\frac{2}{5}$ du reste. Quelle fraction du jardin est couverte de fleurs ? Le "reste" est $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ du jardin. Les fleurs couvrent $\frac{2}{5}$ de ce reste, soit $\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$ du jardin.

Définition de $a^n$ : Pour un nombre $a$ et un entier naturel $n$ non nul, la puissance $n$-ième de $a$ (notée $a^n$) est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$. $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ fois) $a$ est la base, $n$ est l'exposant.

• Ex: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
• Ex: $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$

Cas particuliers ($a^0, a^1$) :

• Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1. $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).
  • Ex: $5^0 = 1$; $(-7)^0 = 1$. (La valeur $0^0$ est indéfinie ou 1 selon le contexte).
• Tout nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même. $a^1 = a$.
  • Ex: $9^1 = 9$; $(-4)^1 = -4$.

Calcul de puissances de nombres relatifs :

• Base positive : Le résultat est toujours positif.
  • Ex: $2^4 = 16$
• Base négative :
  • Si l'exposant est pair, le résultat est positif.
    • Ex: $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$
  • Si l'exposant est impair, le résultat est négatif.
    • Ex: $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$
• Attention à la notation : $-a^n$ n'est pas $(-a)^n$.
  • Ex: $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$. Alors que $(-3)^2 = 9$.

Ces propriétés sont essentielles pour simplifier les calculs avec les puissances.

Produit de puissances de même base : Pour multiplier des puissances ayant la même base, on additionne les exposants. $a^m \times a^n = a^{m+n}$

• Ex: $2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$
• Ex: $x^2 \times x^7 = x^{2+7} = x^9$

Quotient de puissances de même base : Pour diviser des puissances ayant la même base, on soustrait les exposants. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (avec $a \neq 0$)

• Ex: $\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$
• Ex: $\frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}$ (introduction des exposants négatifs !)

Puissance d'une puissance : Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants. $(a^m)^n = a^{m \times n}$

• Ex: $( (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}$
• Ex: $(10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = 10^6$

Autres propriétés utiles :

• $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
• $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (avec $b \neq 0$)
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (avec $a \neq 0$)
  • Ex: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Puissances de 10 positives et négatives : Les puissances de 10 sont très utilisées en sciences.

• $10^n = 1 \underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}}$
  • Ex: $10^3 = 1000$
  • Ex: $10^0 = 1$
• $10^{-n} = \frac{1}{10^n} = \underbrace{0,0\dots0}_{n \text{ zéros}}1$
  • Ex: $10^{-1} = 0,1$
  • Ex: $10^{-2} = 0,01$

Écriture scientifique d'un nombre : Un nombre est écrit en écriture scientifique s'il est de la forme $a \times 10^n$, où :

• $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le |a| < 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule).
• $n$ est un entier relatif. L'écriture scientifique permet de manipuler très grands et très petits nombres plus facilement.
• Ex: $5400000 = 5,4 \times 10^6$
• Ex: $0,000000123 = 1,23 \times 10^{-7}$
• Ex: $-456,7 = -4,567 \times 10^2$

Opérations avec l'écriture scientifique :

• Multiplication et division : On multiplie/divise les parties décimales et les puissances de 10 séparément.
  • Ex: $(2 \times 10^3) \times (3 \times 10^4) = (2 \times 3) \times (10^3 \times 10^4) = 6 \times 10^7$
  • Ex: $(6 \times 10^5) \div (2 \times 10^2) = (6 \div 2) \times (10^5 \div 10^2) = 3 \times 10^3$
• Addition et soustraction : Il faut que les puissances de 10 soient les mêmes. Si ce n'est pas le cas, on ajuste l'une des écritures.
  • Ex: $(2 \times 10^3) + (3 \times 10^2) = (2 \times 10^3) + (0,3 \times 10^3) = (2 + 0,3) \times 10^3 = 2,3 \times 10^3$

Le calcul littéral utilise des lettres (variables) pour représenter des nombres.

Variable et expression littérale :

• Une variable est une lettre (souvent $x, y, a, b$) qui désigne un nombre dont la valeur peut changer.
• Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs variables.
  • Ex: $2x + 5$, $3a^2 - b$, $(x+y)(x-y)$

Substitution d'une valeur : Remplacer les variables par des nombres pour calculer la valeur numérique de l'expression.

• Ex: Soit l'expression $E = 3x - 7$. Si $x=4$, $E = 3 \times 4 - 7 = 12 - 7 = 5$. Si $x=-2$, $E = 3 \times (-2) - 7 = -6 - 7 = -13$.

Simplification d'expressions : Réduire une expression littérale consiste à regrouper les termes de même nature.

• Termes de même nature : ont la même partie littérale (même variable avec le même exposant).
  • Ex: $5x + 3y - 2x + y^2 + 8y$ On regroupe les $x$, les $y$, etc. $= (5x - 2x) + (3y + 8y) + y^2$ $= 3x + 11y + y^2$ On ne peut additionner ou soustraire que les termes de même famille.

La distributivité est une propriété qui relie la multiplication à l'addition (ou la soustraction).

Développement d'une expression : Multiplier un nombre par une somme (ou une différence) revient à multiplier ce nombre par chaque terme de la somme (ou de la différence). $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ $k \times (a - b) = k \times a - k \times b$

• Ex: $3(x + 5) = 3 \times x + 3 \times 5 = 3x + 15$
• Ex: $-2(y - 4) = -2 \times y - (-2) \times 4 = -2y + 8$
• Ex: $x(x + 7) = x \times x + x \times 7 = x^2 + 7x$

Factorisation d'une expression : C'est l'opération inverse du développement. On "met en facteur" un terme commun. $k \times a + k \times b = k \times (a + b)$

• Ex: $5x + 10 = 5 \times x + 5 \times 2 = 5(x + 2)$
• Ex: $3x^2 - 6x = 3x \times x - 3x \times 2 = 3x(x - 2)$

Application aux calculs numériques : La distributivité peut simplifier certains calculs.

• Ex: $17 \times 102 = 17 \times (100 + 2) = 17 \times 100 + 17 \times 2 = 1700 + 34 = 1734$
• Ex: $25 \times 98 = 25 \times (100 - 2) = 25 \times 100 - 25 \times 2 = 2500 - 50 = 2450$

Développement de $(a+b)(c+d)$ : Pour multiplier deux sommes, on multiplie chaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde somme. $(a+b)(c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

• Ex: $(x+3)(x+5) = x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5$ $= x^2 + 5x + 3x + 15$ $= x^2 + 8x + 15$

Réduction d'expressions : Après avoir développé, il faut réduire l'expression en regroupant les termes de même nature.

• Ex: $(2x-1)(x+4) = 2x \times x + 2x \times 4 - 1 \times x - 1 \times 4$ $= 2x^2 + 8x - x - 4$ $= 2x^2 + 7x - 4$

Erreurs courantes :

• Oublier de multiplier un terme.
• Erreurs de signe, surtout avec les nombres négatifs.
  • Ex: $(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$ (attention au $(-2) \times (-3) = +6$)

Définition de la racine carrée : La racine carrée d'un nombre réel positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif $x$ tel que $x^2 = a$.

• Ex: $\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$.
• Ex: $\sqrt{0} = 0$ car $0^2 = 0$. Attention : $\sqrt{a}$ est toujours positif par définition. La solution de $x^2 = a$ est $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$.

Racine carrée d'un carré parfait : Un carré parfait est un nombre qui est le carré d'un entier.

• Ex: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, \dots$ La racine carrée d'un carré parfait est un entier.
• Ex: $\sqrt{81} = 9$.

Conditions d'existence : La racine carrée d'un nombre $a$ n'est définie que si $a \ge 0$. On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif dans l'ensemble des nombres réels.

• Ex: $\sqrt{-4}$ n'existe pas.

Produit de racines carrées : $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ (pour $a \ge 0, b \ge 0$)

• Ex: $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$
• Ex: $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}$

Quotient de racines carrées : $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (pour $a \ge 0, b > 0$)

• Ex: $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$
• Ex: $\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4}$

Simplification de racines carrées : Consiste à écrire $\sqrt{a}$ sous la forme $b\sqrt{c}$ où $c$ est le plus petit entier possible. Pour cela, on cherche le plus grand carré parfait qui divise $a$.

• Ex: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
• Ex: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
• Ex: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ (remarque: $\sqrt{72} = \sqrt{9 \times 8} = 3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \times 2} = 3 \times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. La première méthode est plus rapide si on trouve le plus grand carré parfait.)

Addition et soustraction de racines : On ne peut additionner ou soustraire des racines carrées que si elles ont la même partie sous le radical (même "famille"). C'est comme le calcul littéral.

• Ex: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
• Ex: $7\sqrt{3} - \sqrt{3} = (7-1)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
• Ex: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ (il faut d'abord simplifier !)
• Ex: $\sqrt{5} + \sqrt{20} = \sqrt{5} + \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Développement avec racines : On utilise la distributivité, comme avec le calcul littéral.

• Ex: $\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{2} \times \sqrt{3} + \sqrt{2} \times \sqrt{2} = \sqrt{6} + \sqrt{4} = \sqrt{6} + 2$
• Ex: $(1 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 1 \times 2 - 1 \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times 2 - \sqrt{3} \times \sqrt{3}$ $= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3$ $= (2 - 3) + (-\sqrt{3} + 2\sqrt{3})$ $= -1 + \sqrt{3}$

Résolution de problèmes : Les racines carrées apparaissent souvent en géométrie.

• Ex: Calculer la longueur de la diagonale d'un carré de côté 5 cm. Par le théorème de Pythagore : $d^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. $d = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ cm.

Traduction d'énoncés : Il faut savoir traduire une situation concrète en opérations avec des nombres relatifs.

• "Gagner 10 €" $\rightarrow +10$
• "Perdre 5 €" $\rightarrow -5$
• "Une température qui baisse de 3°C" $\rightarrow -3$

Mise en équation simple :

• Ex: La température est de $-5$°C le matin et elle monte de $8$°C l'après-midi. Quelle est la température finale ? Calcul : $-5 + 8 = 3$. La température finale est de $3$°C.
• Ex: Un sous-marin est à $-120$ mètres. Il descend de $50$ mètres, puis remonte de $30$ mètres. Quelle est sa nouvelle profondeur ? Calcul : $-120 - 50 + 30 = -170 + 30 = -140$. Sa profondeur est de $-140$ mètres.

Vérification des résultats : Toujours vérifier si le résultat est cohérent avec le contexte du problème.

Calcul de proportions : Les fractions représentent des parts d'un tout.

• Ex: Dans une classe de 28 élèves, $\frac{3}{4}$ sont des filles. Combien y a-t-il de filles ? Nombre de filles = $\frac{3}{4} \times 28 = 3 \times \frac{28}{4} = 3 \times 7 = 21$. Il y a 21 filles.

Augmentations et réductions en pourcentage : Un pourcentage est une fraction sur 100.

• Augmenter de $p\%$ : multiplier par $(1 + \frac{p}{100})$.
• Réduire de $p\%$ : multiplier par $(1 - \frac{p}{100})$.
• Ex: Le prix d'un article de 50 € augmente de 10%. Quel est le nouveau prix ? Nouveau prix = $50 \times (1 + \frac{10}{100}) = 50 \times (1 + 0,1) = 50 \times 1,1 = 55$ €.

Partages et répartitions :

• Ex: Un héritage de 120 000 € est partagé. Le premier héritier reçoit $\frac{1}{3}$, le deuxième $\frac{1}{4}$. Quelle part reste-t-il pour le troisième ? Part des deux premiers = $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$. Part restante = $1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$. Le troisième reçoit $\frac{5}{12} \times 120000 = 5 \times 10000 = 50000$ €.

Grandeurs physiques (distances, masses) : Pour exprimer des grandeurs très grandes ou très petites en sciences.

• Ex: La distance Terre-Soleil est d'environ $1,5 \times 10^{11}$ mètres.
• Ex: La masse d'un atome d'hydrogène est d'environ $1,67 \times 10^{-27}$ kg.

Calculs d'ordres de grandeur : L'écriture scientifique permet d'estimer rapidement l'ordre de grandeur d'un résultat.

• Ex: Si la population mondiale est d'environ $8 \times 10^9$ personnes et que chaque personne consomme en moyenne $2 \times 10^3$ litres d'eau par an, la consommation totale est d'environ : $(8 \times 10^9) \times (2 \times 10^3) = 16 \times 10^{12} = 1,6 \times 10^{13}$ litres par an.

Comparaison de nombres très grands/petits : Plus l'exposant de 10 est grand, plus le nombre est grand.

• Ex: Comparer $3,2 \times 10^5$ et $9,8 \times 10^4$. $3,2 \times 10^5 = 32 \times 10^4$. Puisque $32 > 9,8$, alors $3,2 \times 10^5 > 9,8 \times 10^4$.

Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. $c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow c = \sqrt{a^2 + b^2}$ Ce théorème est la principale source de racines carrées en géométrie 4ème.

Calcul de longueurs :

• Ex: Un triangle rectangle a des côtés de 3 cm et 4 cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ? $h = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ cm.

Aires et volumes : Bien que moins directes, des racines carrées peuvent apparaître dans des calculs d'aires ou de volumes de figures complexes, notamment si des longueurs sont exprimées avec des racines.

• Ex: L'aire d'un carré de côté $\sqrt{7}$ cm est $(\sqrt{7})^2 = 7$ cm$^2$.
• Ex: Le volume d'un cube de côté $2\sqrt{3}$ cm est $(2\sqrt{3})^3 = 2^3 \times (\sqrt{3})^3 = 8 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 8 \times 3 \times \sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ cm$^3$.