Les equations

En mathématiques, une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs valeurs inconnues, souvent représentées par des lettres comme $x$, $y$, etc. Le but est de trouver la valeur de cette (ou ces) inconnue(s) pour que l'égalité soit vraie.

Une équation est composée de deux parties, appelées membres, séparées par le signe égal (=).

• Membre de gauche : L'expression mathématique située avant le signe égal.
• Membre de droite : L'expression mathématique située après le signe égal.

Exemple : Dans l'équation $2x + 5 = 11$:

• $2x + 5$ est le membre de gauche.
• $11$ est le membre de droite.
• $x$ est l'inconnue.

• Inconnue (ou variable) : La lettre (le plus souvent $x$) dont on cherche la valeur.
• Solution d'une équation : C'est la valeur numérique que doit prendre l'inconnue pour que l'égalité soit vraie. Une équation peut avoir une seule solution, plusieurs solutions, ou aucune solution.
• Résoudre une équation : C'est trouver toutes les solutions de cette équation.

Exemple : Si l'équation est $x + 3 = 7$, la solution est $x=4$ car $4+3=7$.

Pour vérifier si un nombre donné est une solution d'une équation, il faut :

1. Remplacer l'inconnue par ce nombre dans les deux membres de l'équation.
2. Calculer la valeur de chaque membre séparément.
3. Vérifier l'égalité : Si les deux membres donnent le même résultat, alors le nombre est une solution. Sinon, il ne l'est pas.

Exemple : L'équation est $3x - 2 = 10$. Testons si $x=4$ est une solution.

• Membre de gauche : $3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$.
• Membre de droite : $10$. Les deux membres sont égaux ($10 = 10$). Donc, $x=4$ est une solution de l'équation.

Testons si $x=3$ est une solution :

• Membre de gauche : $3 \times 3 - 2 = 9 - 2 = 7$.
• Membre de droite : $10$. Les deux membres ne sont pas égaux ($7 \neq 10$). Donc, $x=3$ n'est pas une solution.

La règle fondamentale est : On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation sans changer ses solutions. Le but est d'isoler l'inconnue ($x$) d'un côté de l'équation.

Exemple : Résoudre $x - 7 = 12$ Pour isoler $x$, il faut "annuler" le $-7$. L'opération inverse de la soustraction est l'addition. $x - 7 \mathbf{+ 7} = 12 \mathbf{+ 7}$ $x = 19$

Vérification : $19 - 7 = 12$. C'est correct.

Exemple : Résoudre $x + 3 = 8$ Pour isoler $x$, il faut "annuler" le $+3$. L'opération inverse est la soustraction. $x + 3 \mathbf{- 3} = 8 \mathbf{- 3}$ $x = 5$

Vérification : $5 + 3 = 8$. C'est correct.

La règle est : On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par un même nombre non nul sans changer ses solutions. Attention : On ne peut jamais diviser par zéro !

Exemple : Résoudre $4x = 20$ Pour isoler $x$, il faut "annuler" la multiplication par $4$. L'opération inverse est la division. $\frac{4x}{\mathbf{4}} = \frac{20}{\mathbf{4}}$ $x = 5$

Vérification : $4 \times 5 = 20$. C'est correct.

Exemple : Résoudre $\frac{x}{3} = 7$ Pour isoler $x$, il faut "annuler" la division par $3$. L'opération inverse est la multiplication. $\frac{x}{3} \mathbf{\times 3} = 7 \mathbf{\times 3}$ $x = 21$

Vérification : $\frac{21}{3} = 7$. C'est correct.

La résolution d'équations repose sur le principe des opérations inverses :

• L'addition est l'opération inverse de la soustraction (et vice versa).
• La multiplication est l'opération inverse de la division (et vice versa).

Pour isoler l'inconnue, on applique l'opération inverse à ce qui "entoure" l'inconnue, en l'appliquant des deux côtés de l'égalité.

Pour résoudre une équation de la forme $x + a = b$, il faut soustraire $a$ des deux membres : $x + a - a = b - a$ $x = b - a$

Exemple : $x + 9 = 2$ $x + 9 - 9 = 2 - 9$ $x = -7$ Vérification : $-7 + 9 = 2$.

Pour résoudre une équation de la forme $ax = b$ (où $a \neq 0$), il faut diviser les deux membres par $a$ : $\frac{ax}{a} = \frac{b}{a}$ $x = \frac{b}{a}$

Exemple : $5x = 35$ $\frac{5x}{5} = \frac{35}{5}$ $x = 7$ Vérification : $5 \times 7 = 35$.

Exemple avec un nombre décimal : $2x = 9$ $\frac{2x}{2} = \frac{9}{2}$ $x = 4,5$

C'est le type d'équation le plus courant en 4ème. La résolution se fait en deux étapes :

1. Isoler le terme en $ax$ : On additionne ou soustrait $b$ des deux membres. $ax + b - b = c - b$ $ax = c - b$
2. Isoler $x$ : On divise les deux membres par $a$. $x = \frac{c - b}{a}$

Exemple : $3x + 4 = 19$

1. Isoler $3x$ : $3x + 4 - 4 = 19 - 4$ $3x = 15$
2. Isoler $x$ : $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ $x = 5$ Vérification : $3 \times 5 + 4 = 15 + 4 = 19$. C'est correct.

Avant de résoudre une équation, il est souvent nécessaire de simplifier les expressions.

• Développer : Utiliser la distributivité pour supprimer les parenthèses. $k(a+b) = ka + kb$ $k(a-b) = ka - kb$
• Réduire : Regrouper les termes semblables (les $x$ ensemble, les nombres constants ensemble).

Exemple : Résoudre $2(x + 3) = 14$

1. Développer le membre de gauche : $2 \times x + 2 \times 3 = 14$ $2x + 6 = 14$
2. Résoudre l'équation de type $ax + b = c$ : $2x + 6 - 6 = 14 - 6$ $2x = 8$ $\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$ $x = 4$

Lorsque l'inconnue apparaît des deux côtés de l'égalité, il faut :

1. Regrouper tous les termes en $x$ dans un seul membre (souvent le membre de gauche).
2. Regrouper tous les termes constants (les nombres) dans l'autre membre (souvent le membre de droite).
3. Résoudre l'équation obtenue.

Exemple : $5x - 3 = 2x + 9$

1. Regrouper les $x$ à gauche (en soustrayant $2x$ des deux côtés) : $5x - 3 \mathbf{- 2x} = 2x + 9 \mathbf{- 2x}$ $3x - 3 = 9$
2. Regrouper les constantes à droite (en ajoutant $3$ des deux côtés) : $3x - 3 \mathbf{+ 3} = 9 \mathbf{+ 3}$ $3x = 12$
3. Résoudre : $\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$ $x = 4$ Vérification : $5 \times 4 - 3 = 20 - 3 = 17$ et $2 \times 4 + 9 = 8 + 9 = 17$. Correct.

Pour résoudre des équations impliquant des fractions, la méthode la plus courante est de :

1. Mettre toutes les fractions au même dénominateur commun (si nécessaire).
2. Multiplier tous les termes de l'équation par ce dénominateur commun pour éliminer les fractions.
3. Résoudre l'équation simplifiée.

Exemple : $\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$

1. Le dénominateur commun de $2, 3, 6$ est $6$. $\frac{3x}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
2. Multiplier tous les termes par $6$ : $6 \times \left(\frac{3x}{6}\right) + 6 \times \left(\frac{2}{6}\right) = 6 \times \left(\frac{5}{6}\right)$ $3x + 2 = 5$
3. Résoudre : $3x = 5 - 2$ $3x = 3$ $x = 1$ Vérification : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. Correct.

1. Comprendre l'énoncé : Lire attentivement le problème. Identifier ce qui est connu et ce qui est cherché.
2. Choisir l'inconnue : Désigner par une lettre (souvent $x$) la quantité que l'on cherche à déterminer. C'est l'étape la plus importante.
3. Traduire le problème en équation : Écrire l'égalité mathématique qui représente la situation décrite dans l'énoncé. Cela demande de transformer les phrases en expressions algébriques.

1. Résoudre l'équation : Utiliser les méthodes vues précédemment pour trouver la valeur de l'inconnue.
2. Vérifier la cohérence : Est-ce que la solution trouvée a du sens dans le contexte du problème (par exemple, une longueur ne peut pas être négative) ?
3. Rédiger la phrase réponse : Formuler clairement la réponse au problème posé, en utilisant des mots.

Problème d'âge : "Mon père a 40 ans et j'ai 10 ans. Dans combien d'années l'âge de mon père sera-t-il le triple du mien ?"

1. Inconnue : Soit $x$ le nombre d'années à partir de maintenant.
2. Mise en équation :
   • Dans $x$ années, mon père aura $40 + x$ ans.
   • Dans $x$ années, j'aurai $10 + x$ ans.
   • L'âge du père sera le triple de mon âge : $40 + x = 3(10 + x)$
3. Résolution : $40 + x = 30 + 3x$ $40 - 30 = 3x - x$ $10 = 2x$ $x = 5$
4. Vérification et réponse : Dans 5 ans, le père aura $40+5=45$ ans et l'enfant $10+5=15$ ans. $45 = 3 \times 15$. C'est correct. Réponse : Dans 5 ans, l'âge du père sera le triple de celui de son enfant.

Problème de partage : "Trois amis se partagent 100 bonbons. Le deuxième en a 5 de plus que le premier, et le troisième en a le double du premier. Combien de bonbons a chacun ?"

1. Inconnue : Soit $x$ le nombre de bonbons du premier ami.
2. Mise en équation :
   • Premier ami : $x$ bonbons
   • Deuxième ami : $x + 5$ bonbons
   • Troisième ami : $2x$ bonbons
   • Total : $x + (x + 5) + 2x = 100$
3. Résolution : $4x + 5 = 100$ $4x = 95$ $x = \frac{95}{4} = 23,75$
4. Vérification et réponse : Un nombre de bonbons ne peut pas être décimal. Le problème tel qu'il est posé n'a pas de solution entière. Cela peut arriver, il faut alors revoir l'énoncé ou la formulation. (Si on avait eu 101 bonbons : $4x+5=101 \Rightarrow 4x=96 \Rightarrow x=24$. Alors 1er: 24, 2ème: 29, 3ème: 48. Total: $24+29+48=101$.)