Les nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$, où $a$ est un nombre entier relatif ($a \in \mathbb{Z}$) et $b$ est un nombre entier relatif non nul ($b \in \mathbb{Z}^*$). En d'autres termes, un nombre rationnel est le résultat d'une division d'un entier par un autre entier (différent de zéro).

La forme $\frac{a}{b}$ est appelée fraction ou écriture fractionnaire.

Exemples de nombres rationnels :

• $\frac{3}{4}$ (3 est un entier, 4 est un entier non nul)
• $- \frac{5}{2}$ (-5 est un entier, 2 est un entier non nul)
• $7$ (peut s'écrire $\frac{7}{1}$)
• $0,5$ (peut s'écrire $\frac{1}{2}$ ou $\frac{5}{10}$)
• $0$ (peut s'écrire $\frac{0}{1}$)

Exemples de nombres non rationnels (irrationnels) :

• $\sqrt{2}$ (environ 1,41421356... ; sa partie décimale est infinie et non périodique)
• $\pi$ (environ 3,14159265... ; sa partie décimale est infinie et non périodique)

Tous les nombres que nous avons étudiés jusqu'à présent (entiers naturels, entiers relatifs, nombres décimaux) peuvent être considérés comme des nombres rationnels.

• Nombres entiers relatifs ($\mathbb{Z}$) : Un nombre entier $k$ peut toujours s'écrire sous la forme $\frac{k}{1}$.
  • Exemples : $5 = \frac{5}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$
• Nombres décimaux ($\mathbb{D}$) : Un nombre décimal $d$ peut toujours s'écrire sous la forme $\frac{d \times 10^n}{10^n}$, où $n$ est le nombre de chiffres après la virgule.
  • Exemples : $0,7 = \frac{7}{10}$, $2,45 = \frac{245}{100}$

L'ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$. Nous avons la hiérarchie des ensembles de nombres suivante : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$

• $\mathbb{N}$ : Nombres entiers naturels (0, 1, 2, ...)
• $\mathbb{Z}$ : Nombres entiers relatifs (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
• $\mathbb{D}$ : Nombres décimaux (nombres à virgule avec un nombre fini de chiffres après la virgule)
• $\mathbb{Q}$ : Nombres rationnels (toutes les fractions d'entiers)

Pour représenter un nombre rationnel $\frac{a}{b}$ sur une droite graduée :

1. Divisez l'unité (l'espace entre deux entiers consécutifs) en $b$ parts égales.
2. Comptez $a$ de ces parts à partir de l'origine (0). Si $a$ est positif, allez vers la droite ; si $a$ est négatif, allez vers la gauche.

Exemple : Placer $\frac{3}{4}$ et $-\frac{1}{2}$ sur une droite graduée. Pour $\frac{3}{4}$, on divise l'unité en 4 et on prend 3 parts. Pour $-\frac{1}{2}$, on divise l'unité en 2 et on prend 1 part vers la gauche.

Les nombres rationnels sont "denses" sur la droite graduée : entre deux nombres rationnels, on peut toujours en trouver un autre.

Deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ sont égales si $a \times d = b \times c$. Plus simplement, on peut obtenir une fraction égale en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul. $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ (avec $k \neq 0$) $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$ (avec $k \neq 0$)

Simplifier une fraction signifie la transformer en une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. On divise le numérateur et le dénominateur par leurs diviseurs communs. Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée car le numérateur et le dénominateur n'ont pas d'autres diviseurs communs que 1 (ils sont premiers entre eux).

Exemple : $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$. La fraction $\frac{2}{3}$ est irréductible.

Pour comparer ou additionner des fractions, il est souvent nécessaire de les ramener au même dénominateur. On cherche un multiple commun aux dénominateurs. Le plus simple est de trouver le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des dénominateurs.

Méthode :

1. Décomposer chaque dénominateur en produit de facteurs premiers.
2. Le PPCM est le produit des facteurs premiers communs et non communs, pris avec leur puissance la plus élevée.
3. Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le facteur nécessaire pour obtenir le PPCM comme nouveau dénominateur.

Exemple : Réduire $\frac{1}{4}$ et $\frac{5}{6}$ au même dénominateur. Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, ... Multiples de 6 : 6, 12, 18, ... Le PPCM de 4 et 6 est 12. $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$ $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$

Pour comparer deux nombres rationnels :

1. S'ils ont le même dénominateur : Comparez les numérateurs. La fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande.
   • Exemple : $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$ car $5 > 3$.
2. S'ils ont des dénominateurs différents :
   • Méthode 1 : Réduisez les fractions au même dénominateur (souvent le PPCM), puis comparez les numérateurs.
     • Exemple : Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$. PPCM(3,4) = 12. $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ et $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Comme $8 < 9$, alors $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, donc $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.
   • Méthode 2 : Comparez-les à 1.
     • Si une fraction est inférieure à 1 (numérateur < dénominateur) et l'autre supérieure à 1 (numérateur > dénominateur), la comparaison est facile.
     • Exemple : $\frac{2}{3} < 1$ et $\frac{5}{4} > 1$, donc $\frac{2}{3} < \frac{5}{4}$.
   • Méthode 3 : Transformez les fractions en nombres décimaux (si la division est exacte ou si une approximation suffit).
     • Exemple : $\frac{3}{5} = 0,6$ et $\frac{1}{2} = 0,5$. Comme $0,6 > 0,5$, alors $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$.
   • Méthode 4 : Produit en croix. Comparez $a \times d$ et $b \times c$. Si $a \times d > b \times c$, alors $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.
     • Exemple : Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$. $2 \times 4 = 8$ et $3 \times 3 = 9$. Comme $8 < 9$, alors $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Soyez attentif aux signes négatifs ! Un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif. Exemple : $-\frac{1}{2} < \frac{1}{3}$.

Pour ranger des nombres rationnels (par ordre croissant ou décroissant) :

1. Assurez-vous que tous les nombres sont sous forme de fraction (simplifiée si possible).
2. Réduisez toutes les fractions au même dénominateur (le PPCM est recommandé).
3. Rangez les fractions en comparant leurs numérateurs.

Exemple : Ranger par ordre croissant : $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{3}$. PPCM(2, 4, 3) = 12. $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ En comparant les numérateurs (6, 9, 8), on obtient $6 < 8 < 9$. Donc, $\frac{6}{12} < \frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, ce qui donne $\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

L'encadrement d'un nombre rationnel consiste à le placer entre deux autres nombres. Exemple : $0 < \frac{1}{2} < 1$.

Pour additionner ou soustraire des fractions qui ont le même dénominateur :

1. On additionne (ou soustrait) les numérateurs.
2. On garde le dénominateur commun.
3. On simplifie le résultat si possible.

Règle : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ et $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

Exemples :

• $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3+1}{5} = \frac{4}{5}$
• $\frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7-2}{9} = \frac{5}{9}$
• $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Pour additionner ou soustraire des fractions qui ont des dénominateurs différents :

1. Mettre les fractions au même dénominateur commun (le PPCM est souvent le plus efficace).
2. Appliquer la règle d'addition/soustraction des fractions de même dénominateur.
3. Simplifier le résultat si possible.

Exemples :

• $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
  • PPCM(2,3) = 6
  • $\frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$
• $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$
  • PPCM(6,4) = 12
  • $\frac{5 \times 2}{6 \times 2} - \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10-3}{12} = \frac{7}{12}$

N'oubliez pas que les nombres entiers et décimaux peuvent être écrits comme des fractions pour faciliter le calcul. Exemple : $2 + \frac{1}{3} = \frac{2}{1} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Les règles de priorité opératoire s'appliquent également aux nombres rationnels :

1. Calculs entre parenthèses en premier.
2. Ensuite, les additions et soustractions s'effectuent de gauche à droite.

Exemple : Calculer $A = \frac{1}{2} + \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \right)$

1. Calculer la parenthèse : $\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$
2. Ajouter le résultat : $A = \frac{1}{2} + \frac{5}{12} = \frac{6}{12} + \frac{5}{12} = \frac{11}{12}$

Pour multiplier deux nombres rationnels (fractions) :

1. On multiplie les numérateurs entre eux.
2. On multiplie les dénominateurs entre eux.
3. On simplifie le résultat si possible (il est souvent plus facile de simplifier avant de multiplier).

Règle : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

Exemples :

• $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$
• $\frac{3}{4} \times \frac{2}{9}$
  • Option 1 (multiplier puis simplifier) : $\frac{3 \times 2}{4 \times 9} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
  • Option 2 (simplifier avant) : $\frac{3}{4} \times \frac{2}{9} = \frac{3 \times 2}{2 \times 2 \times 3 \times 3} = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$ (on simplifie un 3 au numérateur et au dénominateur, et un 2 au numérateur et au dénominateur).

Pour multiplier un nombre entier par une fraction : Le nombre entier est considéré comme une fraction avec un dénominateur de 1. Exemple : $5 \times \frac{2}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{2}{7} = \frac{10}{7}$

L'inverse d'un nombre $x$ est le nombre $y$ tel que $x \times y = 1$. On le note $\frac{1}{x}$. Pour une fraction $\frac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$), son inverse est $\frac{b}{a}$.

Exemples :

• L'inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$.
• L'inverse de $5$ (qui est $\frac{5}{1}$) est $\frac{1}{5}$.
• L'inverse de $-\frac{1}{4}$ est $-4$.

Attention : Le nombre 0 n'a pas d'inverse, car la division par zéro est impossible.

Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.

Règle : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ (avec $c \neq 0$)

Exemples :

• $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
• $\frac{5}{6} \div 2 = \frac{5}{6} \div \frac{2}{1} = \frac{5}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{5 \times 1}{6 \times 2} = \frac{5}{12}$

Les règles de priorité opératoire s'appliquent de la même manière :

1. Calculs entre parenthèses.
2. Multiplications et divisions, de gauche à droite.
3. Additions et soustractions, de gauche à droite.

Exemple : Calculer $B = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}$

1. Effectuer la multiplication : $\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
2. Effectuer l'addition : $B = \frac{2}{3} + \frac{2}{5}$
   • PPCM(3,5) = 15
   • $B = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} + \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{10}{15} + \frac{6}{15} = \frac{16}{15}$

Les nombres rationnels sont partout dans notre quotidien. Pour résoudre des problèmes :

1. Lire attentivement l'énoncé et identifier les informations clés.
2. Traduire les quantités et les opérations en fractions.
3. Effectuer les calculs en respectant les priorités opératoires.
4. Vérifier la cohérence du résultat par rapport à la situation.

Exemple de problème de partage : Un gâteau est partagé. Anne en prend $\frac{1}{4}$. Bernard en prend $\frac{1}{3}$ du reste. Quelle fraction du gâteau reste-t-il ?

1. Part prise par Anne : $\frac{1}{4}$.
2. Reste après Anne : $1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
3. Part prise par Bernard : $\frac{1}{3}$ du reste, soit $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{3 \times 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
4. Part totale prise : $\frac{1}{4}$ (Anne) + $\frac{1}{4}$ (Bernard) = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
5. Fraction du gâteau restante : $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Il reste $\frac{1}{2}$ du gâteau.

Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion comme une fraction de 100. $P\% = \frac{P}{100}$.

Exemples :

• $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
• Calculer $20\%$ de 150 : $0,20 \times 150 = 30$ ou $\frac{20}{100} \times 150 = \frac{1}{5} \times 150 = 30$.

Augmentations et diminutions :

• Augmenter une quantité de $P\%$ revient à la multiplier par $(1 + \frac{P}{100})$.
• Diminuer une quantité de $P\%$ revient à la multiplier par $(1 - \frac{P}{100})$.

Les nombres rationnels sont essentiels en géométrie pour exprimer des mesures, des rapports et des coordonnées.

• Aires et périmètres :
  • Un rectangle de longueur $\frac{3}{2}$ cm et de largeur $\frac{1}{2}$ cm.
  • Périmètre : $2 \times (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = 2 \times \frac{4}{2} = 2 \times 2 = 4$ cm.
  • Aire : $\frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ cm$^2$.
• Échelles et proportions :
  • Une carte à l'échelle $\frac{1}{10000}$ signifie que 1 cm sur la carte représente 10000 cm (ou 100 m) dans la réalité.
  • Si une distance sur la carte est de $\frac{3}{5}$ cm, la distance réelle est $\frac{3}{5} \times 10000 = 6000$ cm ou 60 m.
• Coordonnées de points :
  • Les points sur un plan peuvent avoir des coordonnées rationnelles, par exemple $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$.