Les puissances d'un nombre

Les puissances sont une manière simplifiée d'écrire une multiplication répétée du même nombre.

• Une puissance s'écrit sous la forme $a^n$.
• $a$ est la base : c'est le nombre qui est multiplié par lui-même.
• $n$ est l'exposant : c'est le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même.

Exemple : $2^3$ se lit "deux puissance trois" ou "deux au cube". Cela signifie $2 \times 2 \times 2 = 8$.

De même, $5^4$ se lit "cinq puissance quatre". Cela signifie $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$.

La base peut être un nombre entier, décimal ou même une fraction.

Il existe deux cas d'exposants très importants à connaître :

1. Exposant 1 : Tout nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même. $a^1 = a$ Exemple : $7^1 = 7$, $12,5^1 = 12,5$. C'est logique, car on multiplie le nombre par lui-même une seule fois (il n'est pas multiplié du tout).

2. Exposant 0 : Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1. $a^0 = 1$ (avec $a \neq 0$) Exemple : $10^0 = 1$, $543^0 = 1$, $(-3)^0 = 1$. ==Pourquoi $a^0 = 1$?== Imaginez la suite $10^3 = 1000$, $10^2 = 100$, $10^1 = 10$. À chaque fois, on divise par 10. Si on continue, $10^0 = 10 \div 10 = 1$.

   Attention : $0^0$ n'est pas défini en 4ème.

Calculer une puissance, c'est simplement effectuer la multiplication répétée.

Exemples avec des nombres entiers :

• $3^2 = 3 \times 3 = 9$
• $(-4)^3 = (-4) \times (-4) \times (-4) = 16 \times (-4) = -64$
• $1^5 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$

Exemples avec des nombres décimaux :

• $0,5^2 = 0,5 \times 0,5 = 0,25$
• $1,2^3 = 1,2 \times 1,2 \times 1,2 = 1,44 \times 1,2 = 1,728$

Pour des calculs plus complexes ou de grands exposants, utilisez une calculatrice scientifique. La touche est souvent notée $x^y$ ou $\wedge$.

Lorsque l'on multiplie des puissances ayant la même base, on additionne les exposants.

Règle : $a^m \times a^n = a^{m+n}$

Démonstration par l'exemple : $2^3 \times 2^4 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^7$ Ici, $3+4=7$.

Applications :

• $5^2 \times 5^6 = 5^{2+6} = 5^8$
• $(-3)^7 \times (-3) = (-3)^7 \times (-3)^1 = (-3)^{7+1} = (-3)^8$
• $10^2 \times 10^3 \times 10^5 = 10^{2+3+5} = 10^{10}$

Erreur courante : Ne pas appliquer cette règle si les bases sont différentes ! $2^3 \times 3^2$ ne peut pas être simplifié avec cette règle.

Lorsque l'on divise des puissances ayant la même base, on soustraie les exposants.

Règle : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (avec $a \neq 0$)

Démonstration par l'exemple : $\frac{3^5}{3^2} = \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3} = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$ Ici, $5-2=3$.

Applications :

• $\frac{7^9}{7^4} = 7^{9-4} = 7^5$
• $\frac{10^{12}}{10^5} = 10^{12-5} = 10^7$
• $\frac{(-2)^6}{(-2)^5} = (-2)^{6-5} = (-2)^1 = -2$

Lorsque l'on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.

Règle : $(a^m)^n = a^{m \times n}$

Démonstration par l'exemple : $(2^3)^2 = 2^3 \times 2^3 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) = 2^6$ Ici, $3 \times 2 = 6$.

Applications :

• $(5^4)^3 = 5^{4 \times 3} = 5^{12}$
• $(10^2)^5 = 10^{2 \times 5} = 10^{10}$
• $((x^3)^2)^4 = (x^{3 \times 2})^4 = (x^6)^4 = x^{6 \times 4} = x^{24}$

Attention à l'ordre des opérations : $(a^m)^n$ est différent de $a^{(m^n)}$. Par exemple, $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, mais $2^{(3^2)} = 2^9 = 512$.

• Puissances de 10 positives : $10^n$ est un 1 suivi de $n$ zéros.

  • $10^1 = 10$
  • $10^2 = 100$
  • $10^3 = 1000$
  • $10^6 = 1\,000\,000$ (un million)

• Puissances de 10 négatives : $10^{-n}$ est l'inverse de $10^n$, c'est-à-dire $\frac{1}{10^n}$. C'est un 0, puis $n-1$ zéros, suivi d'un 1.

  • $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1$
  • $10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01$
  • $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0,001$
  • $10^{-6} = 0,000\,001$ (un millionième)

Propriétés : Les règles de calcul des puissances s'appliquent aussi aux puissances de 10.

• $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$
• $\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$
• $(10^a)^b = 10^{a \times b}$

L'écriture scientifique est une façon d'écrire les nombres très grands ou très petits sous la forme $a \times 10^n$, où :

• $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le a < 10$ (il n'a qu'un chiffre non nul avant la virgule).
• $n$ est un entier relatif (positif ou négatif).

Exemples :

• $3\,400\,000 = 3,4 \times 10^6$ (on a décalé la virgule de 6 rangs vers la gauche)
• $0,000\,000\,057 = 5,7 \times 10^{-8}$ (on a décalé la virgule de 8 rangs vers la droite)
• $7 = 7 \times 10^0$
• $82,3 \times 10^4$ n'est pas en écriture scientifique car $82,3 \ge 10$. L'écriture correcte est $8,23 \times 10^5$.

L'écriture scientifique permet de comparer facilement les ordres de grandeur des nombres.

Pour effectuer des opérations avec des nombres en écriture scientifique :

• Multiplication : Multipliez les parties décimales ensemble et additionnez les exposants des puissances de 10. $(A \times 10^m) \times (B \times 10^n) = (A \times B) \times 10^{m+n}$ Exemple : $(2 \times 10^3) \times (3 \times 10^4) = (2 \times 3) \times 10^{3+4} = 6 \times 10^7$

• Division : Divisez les parties décimales et soustrayez les exposants. $\frac{A \times 10^m}{B \times 10^n} = (\frac{A}{B}) \times 10^{m-n}$ Exemple : $\frac{6 \times 10^5}{2 \times 10^2} = (\frac{6}{2}) \times 10^{5-2} = 3 \times 10^3$

• Addition et Soustraction : Les puissances de 10 doivent être les mêmes. Si elles ne le sont pas, convertissez l'un des nombres pour qu'elles le soient. Exemple : $2 \times 10^3 + 5 \times 10^2 = 2 \times 10^3 + 0,5 \times 10^3 = (2 + 0,5) \times 10^3 = 2,5 \times 10^3$

Un exposant négatif indique que l'on prend l'inverse de la puissance avec un exposant positif.

Définition : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (avec $a \neq 0$)

Exemples :

• $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{8} = 0,125$
• $10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0,0001$
• $(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$

Cette définition est cohérente avec la règle du quotient : $\frac{a^2}{a^5} = a^{2-5} = a^{-3}$. Mais aussi $\frac{a^2}{a^5} = \frac{a \times a}{a \times a \times a \times a \times a} = \frac{1}{a \times a \times a} = \frac{1}{a^3}$. Donc $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$.

Toutes les règles de calcul des puissances s'appliquent avec les exposants négatifs.

Exemples :

• $5^3 \times 5^{-2} = 5^{3+(-2)} = 5^1 = 5$
• $\frac{7^4}{7^{-2}} = 7^{4-(-2)} = 7^{4+2} = 7^6$
• $(3^{-2})^3 = 3^{-2 \times 3} = 3^{-6} = \frac{1}{3^6} = \frac{1}{729}$

Pour une fraction élevée à une puissance, on élève le numérateur et le dénominateur à cette puissance.

Règle : $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (avec $b \neq 0$)

Exemples :

• $(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$
• $(\frac{1}{5})^2 = \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25}$

Si l'exposant est négatif : $(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$ Une fraction élevée à un exposant négatif est égale à l'inverse de la fraction élevée à l'exposant positif.

Exemple : $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$

Les puissances sont omniprésentes pour exprimer des grandeurs très grandes ou très petites :

• Sciences :
  • Distance Terre-Soleil : $1,5 \times 10^{11}$ mètres.
  • Taille d'une bactérie : $10^{-6}$ mètres (1 micromètre).
  • Masse d'un atome : de l'ordre de $10^{-27}$ kg.
• Informatique : Les capacités de stockage (Ko, Mo, Go, To) sont souvent des puissances de 2, mais en base 10 pour les disques durs : 1 Go = $10^9$ octets.
• Séismes : L'échelle de Richter est une échelle logarithmique, liée aux puissances.

Pour résoudre un problème impliquant des puissances :

1. Analyser l'énoncé : Identifier les données et ce qui est demandé.
2. Choisir les bonnes propriétés : Déterminer quelles règles de puissances sont pertinentes.
3. Effectuer les calculs : Appliquer les règles avec rigueur.
4. Rédiger la solution : Présenter clairement les étapes.
5. Vérifier le résultat : S'assurer de la cohérence et de l'ordre de grandeur.

Exemple : Si la lumière parcourt $3 \times 10^8$ mètres par seconde, quelle distance parcourt-elle en $2 \times 10^3$ secondes ? Distance = Vitesse $\times$ Temps Distance = $(3 \times 10^8) \times (2 \times 10^3) = (3 \times 2) \times 10^{8+3} = 6 \times 10^{11}$ mètres.

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Il permet d'avoir une idée rapide de la taille d'un nombre.

Pour trouver l'ordre de grandeur d'un nombre en écriture scientifique $a \times 10^n$:

• Si $a < 5$, l'ordre de grandeur est $10^n$.
• Si $a \ge 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$.

Exemples :

• $3,4 \times 10^6$ : Comme $3,4 < 5$, l'ordre de grandeur est $10^6$.
• $8,2 \times 10^{-4}$ : Comme $8,2 \ge 5$, l'ordre de grandeur est $10^{-4+1} = 10^{-3}$.

Les ordres de grandeur sont essentiels pour vérifier la plausibilité des résultats dans les problèmes.