Les statistiques

La statistique est une science qui nous permet de collecter, organiser, analyser et interpréter des données. Son but est de comprendre des phénomènes, de prendre des décisions ou de faire des prévisions à partir d'informations chiffrées.

Utilité des statistiques dans la vie courante :

• Sondages d'opinion : Pour connaître l'avis des gens sur un sujet.
• Météo : Les prévisions sont basées sur des données statistiques.
• Santé : Étudier l'efficacité d'un médicament.
• Économie : Analyser l'évolution des prix ou du chômage.
• Sports : Comparer les performances des athlètes.

Pour bien comprendre les statistiques, il est essentiel de connaître ces termes :

• La population : C'est l'ensemble des éléments sur lesquels porte l'étude statistique. Cela peut être des personnes, des objets, des animaux, etc.
  • Exemple : Tous les élèves d'un collège, toutes les voitures d'une marque.
• Un individu (ou unité statistique) : C'est un élément de la population.
  • Exemple : Un élève du collège, une voiture de la marque.
• Un caractère (ou variable statistique) : C'est la propriété étudiée sur chaque individu de la population.
  • Il existe deux types de caractères :
    • Caractère qualitatif : Il ne peut pas être mesuré par un nombre, mais décrit une qualité, un état.
      • Exemple : La couleur des yeux (bleu, vert, marron), la marque de téléphone (Samsung, Apple).
    • Caractère quantitatif : Il peut être mesuré ou compté par un nombre.
      • Exemple : L'âge (13 ans), la taille (1,65 m), le nombre de frères et sœurs (2).
• L'effectif total : C'est le nombre total d'individus dans la population étudiée.

Pour réaliser une étude statistique, on commence par :

1. Recueillir les données : Souvent par une enquête statistique (questionnaire, sondage, observation).
2. Organiser les données : Une fois collectées, les données brutes sont difficiles à utiliser. On les organise dans des tableaux de données ou des séries statistiques.

• Exemple de série statistique brute : Voici les notes obtenues par 10 élèves à un contrôle : 12, 8, 15, 10, 12, 7, 14, 12, 9, 11.

• L'effectif d'une valeur : C'est le nombre de fois qu'une valeur du caractère apparaît dans la série statistique.
  • Exemple : Dans la série de notes (12, 8, 15, 10, 12, 7, 14, 12, 9, 11), la note 12 a un effectif de 3.
• L'effectif total : C'est la somme de tous les effectifs des différentes valeurs. C'est le nombre total d'individus.
• Regroupement par classes : Quand il y a beaucoup de valeurs différentes (surtout pour les caractères quantitatifs continus comme la taille ou le poids), on regroupe les données par intervalles appelés classes.
  • Exemple : Les tailles des élèves : [1,50m ; 1,60m[, [1,60m ; 1,70m[, etc.

La fréquence d'une valeur est la proportion de cette valeur par rapport à l'effectif total. Elle s'exprime souvent en fraction, en valeur décimale ou en pourcentage.

• Formule : ==Fréquence = $\frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$==
• La fréquence peut être :
  • En fraction (ex: $\frac{3}{10}$)
  • En décimale (ex: 0,3)
  • En pourcentage (ex: 30%) : il suffit de multiplier la fréquence décimale par 100.
• La somme des fréquences (en décimales) est toujours égale à 1.
• La somme des fréquences en pourcentage est toujours égale à 100%.

Un tableau statistique permet d'organiser les données de manière claire.

• Effectifs cumulés croissants (ECC) : Pour une valeur donnée, c'est la somme de l'effectif de cette valeur et de tous les effectifs des valeurs précédentes.
• Fréquences cumulées croissantes (FCC) : C'est la somme des fréquences de la valeur et de toutes les fréquences des valeurs précédentes.

• Interprétation : 80% des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 12.

• Diagramme en bâtons : Utilisé pour les caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets (valeurs isolées). Chaque bâton représente l'effectif (ou la fréquence) d'une valeur. Les bâtons sont séparés.
• Histogramme : Utilisé pour les caractères quantitatifs regroupés en classes. Les rectangles sont collés les uns aux autres pour montrer la continuité. La largeur du rectangle correspond à l'amplitude de la classe et la hauteur à l'effectif (ou la fréquence).

• Diagramme circulaire (ou camembert) : Représente la répartition des effectifs (ou fréquences) d'un caractère qualitatif ou quantitatif discret. L'angle de chaque secteur est proportionnel à l'effectif (ou la fréquence) de la catégorie.
  • Calcul de l'angle : Angle = $\frac{\text{Effectif de la catégorie}}{\text{Effectif total}} \times 360^\circ$
• Diagramme semi-circulaire : Même principe, mais sur un demi-cercle (180°).
  • Calcul de l'angle : Angle = $\frac{\text{Effectif de la catégorie}}{\text{Effectif total}} \times 180^\circ$

• Nuage de points : Utilisé pour représenter la relation entre deux caractères quantitatifs. Chaque point correspond aux valeurs des deux caractères pour un individu.
• Courbes de fréquences cumulées : Permettent de visualiser l'évolution des fréquences cumulées. Utiles pour trouver la médiane graphiquement.

La moyenne arithmétique (souvent appelée simplement "moyenne") est l'indicateur le plus courant. Elle représente la valeur qu'aurait chaque individu si la grandeur totale était répartie équitablement.

• Moyenne simple : Pour une série de valeurs $x_1, x_2, ..., x_n$, la moyenne $\bar{x}$ est : $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$
  • Exemple : Pour les notes (12, 8, 15, 10, 12, 7, 14, 12, 9, 11), $\bar{x} = \frac{12+8+15+10+12+7+14+12+9+11}{10} = \frac{110}{10} = 11$.
• Moyenne pondérée : Lorsque les valeurs ont des effectifs différents, on "pondère" chaque valeur par son effectif. Si $x_i$ est la valeur et $n_i$ son effectif : $\bar{x} = \frac{(x_1 \times n_1) + (x_2 \times n_2) + \dots + (x_k \times n_k)}{N}$ où $N$ est l'effectif total.
  • C'est la formule la plus utilisée en pratique avec les tableaux d'effectifs.
• La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

La médiane ($Me$) est la valeur qui partage la série statistique ordonnée en deux groupes de même effectif : 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et 50% sont supérieures ou égales.

• Méthode de calcul :
  1. Ordonner la série par ordre croissant.
  2. Trouver l'effectif total $N$.
  3. Si $N$ est impair : La médiane est la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$.
     • Exemple : Série (3, 5, 7, 8, 10) ; N=5. Rang = $\frac{5+1}{2} = 3$. La 3ème valeur est 7. $Me = 7$.
  4. Si $N$ est pair : La médiane est n'importe quelle valeur comprise entre les deux valeurs centrales de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$. Par convention, on prend souvent la moyenne de ces deux valeurs.
     • Exemple : Série (3, 5, 7, 8, 10, 12) ; N=6. Rangs = $\frac{6}{2}=3$ et $\frac{6}{2}+1=4$. Les valeurs sont 7 et 8. $Me = \frac{7+8}{2} = 7,5$.
• La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.

Le mode (ou valeur modale) est la valeur qui a le plus grand effectif dans une série statistique. C'est la valeur la plus fréquente.

• Exemple : Dans la série de notes (12, 8, 15, 10, 12, 7, 14, 12, 9, 11), la note 12 apparaît 3 fois, plus que toute autre note. Le mode est 12.
• Une série peut avoir plusieurs modes (série multimodale) ou pas de mode si toutes les valeurs ont le même effectif.
• Le mode est utile pour les caractères qualitatifs.

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d'une série statistique.

• Formule : ==Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale==
• Exemple : Pour les notes (12, 8, 15, 10, 12, 7, 14, 12, 9, 11), la valeur maximale est 15 et la valeur minimale est 7. L'étendue = $15 - 7 = 8$.
• L'étendue donne une idée rapide de la dispersion des données.
• Limites de l'étendue : Elle est très sensible aux valeurs extrêmes (aberrantes) et ne donne aucune information sur la répartition des valeurs intermédiaires.

Pour comparer deux séries statistiques, on utilise souvent une combinaison d'indicateurs de position (moyenne, médiane) et de dispersion (étendue).

• Moyenne/Médiane : Pour comparer les niveaux ou les tendances centrales.
• Étendue : Pour comparer la variabilité ou l'homogénéité des séries. Une petite étendue indique une série plus homogène, avec des valeurs plus regroupées.
• L'analyse comparative permet de prendre des décisions plus éclairées basées sur les données.
  • Exemple : Comparer les performances de deux classes à un examen (moyenne élevée, étendue faible = bons résultats et homogènes).