Théorème de Pythagore

Un triangle rectangle est un type de triangle très spécial et fondamental en géométrie. Sa caractéristique principale est de posséder un angle droit.

• Un angle droit mesure exactement 90 degrés. On le représente souvent par un petit carré au sommet de l'angle.
• Les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés les côtés de l'angle droit ou parfois les cathètes.
• Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse. C'est toujours le plus grand côté du triangle rectangle.

Exemple : Dans un triangle ABC, si l'angle en B est un angle droit ($\widehat{ABC} = 90^\circ$), alors ABC est un triangle rectangle en B.

L'hypoténuse est un terme crucial à maîtriser.

• C'est toujours le côté qui est en face de l'angle droit.
• C'est aussi le plus grand côté d'un triangle rectangle.
• Il est essentiel de savoir l'identifier, quelle que soit l'orientation du triangle.

Exemple : Si vous avez un triangle DEF rectangle en E, alors le segment [DF] est l'hypoténuse.

Le carré d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même.

• On le note $x^2$.
• $x^2 = x \times x$.

Exemples :

• $3^2 = 3 \times 3 = 9$
• $5^2 = 5 \times 5 = 25$
• $10^2 = 10 \times 10 = 100$
• $1,5^2 = 1,5 \times 1,5 = 2,25$

Vous pouvez utiliser votre calculatrice pour les nombres plus complexes. La touche est souvent marquée $x^2$ ou $\wedge 2$.

La racine carrée d'un nombre $x$ (notée $\sqrt{x}$) est le nombre positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne $x$.

• Si $y = \sqrt{x}$, alors $y^2 = x$.
• On ne peut calculer la racine carrée que de nombres positifs ou nuls.

Exemples :

• $\sqrt{9} = 3$ car $3 \times 3 = 9$
• $\sqrt{25} = 5$ car $5 \times 5 = 25$
• $\sqrt{100} = 10$ car $10 \times 10 = 100$

Les nombres dont la racine carrée est un entier sont appelés des carrés parfaits. Pour les autres nombres (comme $\sqrt{2}$ ou $\sqrt{7}$), la calculatrice vous donnera une valeur approchée. La touche est souvent marquée $\sqrt{\ }$ ou $\sqrt{x}$.

Le théorème de Pythagore porte le nom du mathématicien grec Pythagore qui aurait vécu au VIe siècle av. J.-C. et fondé une école à Crotone. Bien que des connaissances similaires existaient déjà en Égypte ancienne ou à Babylone, c'est Pythagore ou ses disciples qui auraient démontré ce théorème de manière formelle. Il est resté l'un des piliers des mathématiques et a des applications pratiques depuis l'Antiquité (construction, arpentage).

Imaginez un triangle rectangle. Si vous construisez un carré sur chacun de ses côtés, vous remarquerez quelque chose d'étonnant : L'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés. Cette observation visuelle est la clé pour comprendre le théorème. Elle peut être démontrée avec des découpages (puzzle de Pythagore) qui montrent comment les deux petits carrés peuvent "remplir" le grand carré.

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si on nomme les côtés d'un triangle rectangle :

• $a$ et $b$ les longueurs des côtés de l'angle droit
• $c$ la longueur de l'hypoténuse

Alors, la formule de Pythagore est : $c^2 = a^2 + b^2$ C'est une formule fondamentale qui ne s'applique QUE aux triangles rectangles.

Méthode :

1. Assurez-vous que le triangle est bien rectangle.
2. Identifiez les deux côtés de l'angle droit (on les appelle $a$ et $b$).
3. Appliquez la formule $c^2 = a^2 + b^2$ pour trouver $c^2$.
4. Calculez la racine carrée de $c^2$ pour trouver la longueur de l'hypoténuse $c$.

Exemple : Soit un triangle ABC rectangle en B avec AB = 3 cm et BC = 4 cm.

1. ABC est rectangle en B.
2. D'après le théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2$
3. $AC^2 = 3^2 + 4^2$
4. $AC^2 = 9 + 16$
5. $AC^2 = 25$
6. $AC = \sqrt{25}$
7. $AC = 5$ cm. L'hypoténuse mesure 5 cm.

Méthode :

1. Assurez-vous que le triangle est bien rectangle.
2. Identifiez l'hypoténuse ($c$) et le côté de l'angle droit connu ($a$).
3. Réarrangez la formule : $b^2 = c^2 - a^2$.
4. Calculez la racine carrée de $b^2$ pour trouver la longueur du côté $b$.

Exemple : Soit un triangle DEF rectangle en E avec DF = 10 cm (hypoténuse) et DE = 6 cm.

1. DEF est rectangle en E.
2. D'après le théorème de Pythagore : $DF^2 = DE^2 + EF^2$
3. $10^2 = 6^2 + EF^2$
4. $100 = 36 + EF^2$
5. $EF^2 = 100 - 36$
6. $EF^2 = 64$
7. $EF = \sqrt{64}$
8. $EF = 8$ cm. Le côté EF mesure 8 cm.

Pour une bonne présentation et pour éviter les erreurs, suivez ces étapes :

1. Citer le théorème : "Le triangle [...] est rectangle en [...]. D'après le théorème de Pythagore..."
2. Écrire la formule adaptée : Ex: $hypoténuse^2 = côté1^2 + côté2^2$
3. Remplacer par les valeurs connues : Ex: $AC^2 = 3^2 + 4^2$
4. Effectuer les calculs : $AC^2 = 9 + 16 = 25$
5. Calculer la racine carrée : $AC = \sqrt{25} = 5$
6. Donner l'unité : "AC = 5 cm".

• Valeur exacte : Si le résultat est un carré parfait, donnez la valeur entière (ex: $\sqrt{25}=5$). Si ce n'est pas le cas, laissez le résultat sous forme de racine carrée si demandé (ex: $\sqrt{13}$ ne s'arrondit pas).
• Valeur approchée : Si la consigne demande d'arrondir (au dixième, centième, etc.), utilisez votre calculatrice et arrondissez correctement. Ex: $\sqrt{10} \approx 3,16$ (au centième près).
• Unités : N'oubliez jamais les unités de mesure (cm, m, km...).

La réciproque du théorème de Pythagore est utilisée dans un but différent du théorème "direct". Alors que le théorème direct permet de calculer une longueur dans un triangle dont on sait déjà qu'il est rectangle, la réciproque permet de PROUVER qu'un triangle est rectangle si l'égalité de Pythagore est vérifiée.

C'est une affirmation "si... alors..." inversée.

• Théorème direct : Si un triangle est rectangle, alors $c^2 = a^2 + b^2$.
• Réciproque : Si $c^2 = a^2 + b^2$ dans un triangle, alors ce triangle est rectangle.

Pour vérifier si un triangle est rectangle en utilisant sa réciproque :

1. Identifier le plus grand côté du triangle. Ce sera votre "potentielle" hypoténuse.
2. Calculer le carré de la longueur du plus grand côté séparément.
3. Calculer la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés séparément.
4. Comparer les deux résultats :
   • Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
   • Si les résultats sont différents, alors le triangle n'est pas rectangle (on utilise alors la contraposée).

Exemple : Un triangle GHI a des côtés GH = 6 cm, HI = 8 cm et GI = 10 cm. Est-il rectangle ?

1. Le plus grand côté est [GI], sa longueur est 10 cm.
2. Calculons le carré de ce côté : $GI^2 = 10^2 = 100$.
3. Calculons la somme des carrés des deux autres côtés : $GH^2 + HI^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
4. Constat : On remarque que $GI^2 = GH^2 + HI^2$.
5. Conclusion : D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle GHI est rectangle en H (l'angle droit est opposé au plus grand côté [GI]).

La contraposée du théorème de Pythagore est utilisée pour PROUVER qu'un triangle N'EST PAS rectangle. Elle est la "négation" de la réciproque. Si vous appliquez la méthode de la réciproque et que l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, c'est la contraposée qui vous permet de conclure.

• Différence avec la réciproque : La réciproque prouve que c'est rectangle. La contraposée prouve que ce n'est PAS rectangle.

La méthode est la même que pour la réciproque, mais la conclusion est différente :

1. Identifier le plus grand côté du triangle.
2. Calculer le carré de la longueur du plus grand côté séparément.
3. Calculer la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés séparément.
4. Constater que les deux résultats sont différents :
   • Si le carré du plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.

Exemple : Un triangle JKL a des côtés JK = 4 cm, KL = 5 cm et JL = 6 cm. Est-il rectangle ?

1. Le plus grand côté est [JL], sa longueur est 6 cm.
2. Calculons le carré de ce côté : $JL^2 = 6^2 = 36$.
3. Calculons la somme des carrés des deux autres côtés : $JK^2 + KL^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.
4. Constat : On remarque que $JL^2 \neq JK^2 + KL^2$ (car $36 \neq 41$).
5. Conclusion : D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle JKL n'est pas rectangle.

Le théorème de Pythagore est essentiel pour résoudre de nombreux problèmes en géométrie :

• Calcul de diagonales : La diagonale d'un rectangle ou d'un carré forme un triangle rectangle avec deux côtés.
• Hauteurs : Calculer la hauteur d'un triangle isocèle ou équilatéral en le divisant en deux triangles rectangles.
• Distances entre points : Dans un repère, la distance entre deux points peut être vue comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé par les différences de coordonnées.

Le théorème de Pythagore n'est pas juste une formule scolaire, il a de nombreuses applications pratiques :

• Construction et charpente : Vérifier l'équerrage d'un mur ou d'une pièce, calculer la longueur des chevrons d'un toit.
• Aménagement : Savoir si une échelle de certaine longueur peut atteindre une fenêtre, calculer la taille d'un écran de télévision.
• Navigation : Estimer des distances.

Souvent, les problèmes ne vous donneront pas un simple triangle rectangle isolé.

• Il faut d'abord décomposer la figure en identifiant les triangles rectangles cachés.
• Parfois, vous devrez appliquer le théorème de Pythagore plusieurs fois pour trouver toutes les longueurs nécessaires.
• Identifier les informations pertinentes (angles droits, longueurs connues) est la première étape cruciale pour résoudre ces problèmes.

Exemple : Calculer la longueur de la diagonale d'un pavé droit. Vous devrez d'abord calculer la diagonale d'une face, puis utiliser cette longueur comme un côté d'un nouveau triangle rectangle pour trouver la diagonale du pavé.