Trigonométrie dans le triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un angle mesurant 90°). C'est la propriété fondamentale qui le distingue des autres triangles.

Dans un triangle rectangle, les côtés ont des noms spécifiques :

• L'hypoténuse est le côté le plus long et il est toujours opposé à l'angle droit. C'est le côté $(AC)$ dans l'exemple ci-dessous.
• Les deux autres côtés sont appelés côtés de l'angle droit. Pour un angle aigu donné, on distingue :
  • Le côté adjacent : C'est le côté de l'angle droit qui touche l'angle aigu sans être l'hypoténuse.
  • Le côté opposé : C'est le côté de l'angle droit qui ne touche pas l'angle aigu.

Exemple : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$ :

• L'hypoténuse est $AC$.
• Pour l'angle $\widehat{BAC}$ :
  • Le côté adjacent est $AB$.
  • Le côté opposé est $BC$.
• Pour l'angle $\widehat{BCA}$ :
  • Le côté adjacent est $BC$.
  • Le côté opposé est $AB$.

Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale qui lie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, la relation est la suivante : $AC^2 = AB^2 + BC^2$ En mots : Le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème permet de :

• Calculer une longueur manquante : Si vous connaissez deux côtés d'un triangle rectangle, vous pouvez calculer le troisième.
• Vérifier si un triangle est rectangle : Si la relation de Pythagore est vraie pour les longueurs des côtés d'un triangle, alors ce triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore).

Dans un triangle rectangle, un angle est droit (90°). Les deux autres angles sont nécessairement des angles aigus (angles dont la mesure est comprise entre 0° et 90°).

La somme des angles dans n'importe quel triangle est toujours égale à 180°. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$ : $\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{BCA} = 180°$. Puisque $\widehat{ABC} = 90°$, on a $\widehat{BAC} + 90° + \widehat{BCA} = 180°$. Donc, $\widehat{BAC} + \widehat{BCA} = 90°$. Cela signifie que les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires. Leur somme est égale à 90°.

Le cosinus d'un angle aigu (noté cos) est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.

Pour un angle aigu $\alpha$ dans un triangle rectangle : $\text{cos}(\alpha) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$ Exemple : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, pour l'angle $\widehat{BAC}$ : $\text{cos}(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC}$ La valeur du cosinus est toujours comprise entre 0 et 1. Vous pouvez utiliser votre calculatrice pour trouver le cosinus d'un angle ou l'angle correspondant à un cosinus.

Le sinus d'un angle aigu (noté sin) est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.

Pour un angle aigu $\alpha$ dans un triangle rectangle : $\text{sin}(\alpha) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}}$ Exemple : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, pour l'angle $\widehat{BAC}$ : $\text{sin}(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AC}$ La valeur du sinus est toujours comprise entre 0 et 1.

La tangente d'un angle aigu (notée tan) est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent à cet angle.

Pour un angle aigu $\alpha$ dans un triangle rectangle : $\text{tan}(\alpha) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}}$ Exemple : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, pour l'angle $\widehat{BAC}$ : $\text{tan}(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AB}$ La valeur de la tangente peut être n'importe quel nombre positif.

Pour se souvenir facilement des définitions des rapports trigonométriques, on utilise souvent le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA :

• SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
• CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
• TOA : Tangente = Opposé / Adjacent

Ce moyen permet une application rapide des formules en associant correctement l'angle, le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse.

Pour calculer l'hypoténuse, vous devez connaître un angle aigu et la longueur du côté adjacent ou opposé à cet angle.

• Si vous connaissez le côté opposé et l'angle : utilisez le sinus. $\text{Hypoténuse} = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{sin}(\text{angle})}$
• Si vous connaissez le côté adjacent et l'angle : utilisez le cosinus. $\text{Hypoténuse} = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{cos}(\text{angle})}$

Exemple : Dans un triangle $DEF$ rectangle en $E$, si $DE = 5 \text{ cm}$ et $\widehat{DFE} = 30°$. $DE$ est le côté opposé à $\widehat{DFE}$. On utilise le sinus : $\text{sin}(30°) = \frac{DE}{DF} \implies DF = \frac{DE}{\text{sin}(30°)} = \frac{5}{0.5} = 10 \text{ cm}$.

Pour calculer un côté adjacent, vous devez connaître un angle aigu et la longueur de l'hypoténuse ou du côté opposé.

• Si vous connaissez l'hypoténuse et l'angle : utilisez le cosinus. $\text{Côté adjacent} = \text{Hypoténuse} \times \text{cos}(\text{angle})$
• Si vous connaissez le côté opposé et l'angle : utilisez la tangente. $\text{Côté adjacent} = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{tan}(\text{angle})}$

Exemple : Dans un triangle $GHI$ rectangle en $H$, si $GI = 8 \text{ cm}$ et $\widehat{HGI} = 45°$. $GH$ est le côté adjacent à $\widehat{HGI}$. On utilise le cosinus : $\text{cos}(45°) = \frac{GH}{GI} \implies GH = GI \times \text{cos}(45°) = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 5.66 \text{ cm}$.

Pour calculer un côté opposé, vous devez connaître un angle aigu et la longueur de l'hypoténuse ou du côté adjacent.

• Si vous connaissez l'hypoténuse et l'angle : utilisez le sinus. $\text{Côté opposé} = \text{Hypoténuse} \times \text{sin}(\text{angle})$
• Si vous connaissez le côté adjacent et l'angle : utilisez la tangente. $\text{Côté opposé} = \text{Côté adjacent} \times \text{tan}(\text{angle})$

Exemple : Dans un triangle $JKL$ rectangle en $K$, si $JK = 6 \text{ cm}$ et $\widehat{KLJ} = 60°$. $JK$ est le côté adjacent à $\widehat{KLJ}$. $KL$ est le côté opposé à $\widehat{KLJ}$. On cherche $KL$. On utilise la tangente : $\text{tan}(60°) = \frac{JK}{KL} \implies KL = \frac{JK}{\text{tan}(60°)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ cm}$.

Pour résoudre un problème de longueur, suivez ces étapes :

1. Identifier l'angle connu dans le triangle rectangle.
2. Identifier les côtés connus et le côté inconnu que vous cherchez (par rapport à l'angle connu : opposé, adjacent, hypoténuse).
3. Choisir le rapport trigonométrique (sin, cos ou tan) qui utilise ces trois éléments (l'angle, le côté connu, le côté inconnu). Le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA est idéal ici.
4. Écrire l'équation et la résoudre.

Faites toujours un schéma clair du problème.

Les fonctions réciproques permettent de retrouver un angle à partir de la valeur de son cosinus, sinus ou tangente. Elles sont notées :

• $\text{cos}^{-1}$ ou arccos pour le cosinus.
• $\text{sin}^{-1}$ ou arcsin pour le sinus.
• $\text{tan}^{-1}$ ou arctan pour la tangente.

Sur une calculatrice, elles sont généralement accessibles avec la touche "2nde" ou "Shift" avant les touches cos, sin, tan.

Si vous connaissez le côté adjacent et l'hypoténuse d'un angle, vous pouvez calculer cet angle : $\text{angle} = \text{arccos}\left(\frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}}\right)$

Exemple : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, si $AB = 4 \text{ cm}$ et $AC = 8 \text{ cm}$. $\text{cos}(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{8} = 0.5$. $\widehat{BAC} = \text{arccos}(0.5) = 60°$.

Si vous connaissez le côté opposé et l'hypoténuse d'un angle, vous pouvez calculer cet angle : $\text{angle} = \text{arcsin}\left(\frac{\text{Côté opposé}}{\text{Hypoténuse}}\right)$

Exemple : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, si $BC = 3 \text{ cm}$ et $AC = 6 \text{ cm}$. $\text{sin}(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{6} = 0.5$. $\widehat{BAC} = \text{arcsin}(0.5) = 30°$.

Si vous connaissez le côté opposé et le côté adjacent d'un angle, vous pouvez calculer cet angle : $\text{angle} = \text{arctan}\left(\frac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}}\right)$

Exemple : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, si $BC = 5 \text{ cm}$ et $AB = 5 \text{ cm}$. $\text{tan}(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{5} = 1$. $\widehat{BAC} = \text{arctan}(1) = 45°$.

Pensez à bien régler votre calculatrice en mode "Degrés" (DEG) pour obtenir des résultats en degrés.

Pour tout angle aigu $x$, on a la relation fondamentale : $\text{cos}^2(x) + \text{sin}^2(x) = 1$ où $\text{cos}^2(x)$ signifie $(\text{cos}(x))^2$.

Cette relation est très utile pour :

• Vérifier des identités trigonométriques.
• Calculer un rapport si l'on connaît l'autre. Par exemple, si vous connaissez $\text{cos}(x)$, vous pouvez trouver $\text{sin}(x)$ (et inversement).

Démonstration rapide : Dans un triangle rectangle avec hypoténuse $h$, côté adjacent $a$ et côté opposé $o$ pour l'angle $x$. $\text{cos}(x) = a/h$ et $\text{sin}(x) = o/h$. Alors $\text{cos}^2(x) + \text{sin}^2(x) = (a/h)^2 + (o/h)^2 = a^2/h^2 + o^2/h^2 = (a^2 + o^2)/h^2$. D'après le théorème de Pythagore, $a^2 + o^2 = h^2$. Donc, $(a^2 + o^2)/h^2 = h^2/h^2 = 1$. C.Q.F.D.

Pour tout angle aigu $x$, la tangente peut être exprimée à partir du sinus et du cosinus : $\text{tan}(x) = \frac{\text{sin}(x)}{\text{cos}(x)}$ Cette relation découle directement des définitions : $\text{sin}(x) / \text{cos}(x) = (o/h) / (a/h) = (o/h) \times (h/a) = o/a = \text{tan}(x)$.

Ceci permet de :

• Calculer la tangente si vous connaissez le sinus et le cosinus.
• Simplifier des expressions trigonométriques.

Si deux angles sont complémentaires (leur somme est 90°), il existe des relations entre leurs rapports trigonométriques. Soit $x$ un angle aigu. Son complémentaire est $(90°-x)$.

• $\text{cos}(90°-x) = \text{sin}(x)$
• $\text{sin}(90°-x) = \text{cos}(x)$
• $\text{tan}(90°-x) = \frac{1}{\text{tan}(x)}$ (ou $\text{cotan}(x)$)

Cela signifie que le cosinus d'un angle est égal au sinus de son complémentaire, et vice-versa. Par exemple, $\text{cos}(30°) = \text{sin}(60°)$ et $\text{sin}(20°) = \text{cos}(70°)$.

De nombreux problèmes de la vie réelle peuvent être modélisés à l'aide de triangles rectangles pour calculer des hauteurs (d'arbres, de bâtiments) ou des distances inaccessibles (largeur d'une rivière).

La démarche est la suivante :

1. Dessiner un schéma clair de la situation, en identifiant le triangle rectangle.
2. Placer les informations connues (angles, longueurs).
3. Identifier ce que vous cherchez (une longueur ou un angle).
4. Appliquer les rapports trigonométriques appropriés.

Exemple : Calculer la hauteur d'un arbre. On se place à 20m de l'arbre et on mesure un angle d'élévation de 35° jusqu'à son sommet. En modélisant, on forme un triangle rectangle où la distance au sol est le côté adjacent, la hauteur de l'arbre est le côté opposé. $\text{tan}(35°) = \text{hauteur} / 20 \implies \text{hauteur} = 20 \times \text{tan}(35°) \approx 14 \text{ m}$.

• L'angle d'élévation est l'angle formé entre l'horizontale et la ligne de visée vers un objet situé au-dessus de l'observateur.
• L'angle de dépression est l'angle formé entre l'horizontale et la ligne de visée vers un objet situé en dessous de l'observateur.

Ces angles sont souvent utilisés en navigation, en topographie ou en architecture. Ils sont toujours mesurés par rapport à une ligne horizontale.

Certains problèmes nécessitent de résoudre plusieurs triangles rectangles consécutifs ou d'utiliser le théorème de Pythagore en complément des relations trigonométriques.

Stratégie :

1. Décomposer le problème en sous-problèmes plus simples, impliquant chacun un triangle rectangle.
2. Effectuer les calculs étape par étape, en utilisant les résultats intermédiaires.
3. Vérifier la cohérence des résultats et s'assurer qu'ils répondent à la question posée. Ne pas arrondir les valeurs intermédiaires pour plus de précision.