Calcul littéral et équations, inéquations

Le développement consiste à transformer un produit en une somme (ou une différence). La réduction consiste à simplifier une somme en regroupant les termes de même nature.

Distributivité simple et double

La distributivité simple permet de "distribuer" une multiplication sur une somme ou une différence : $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ $a \times (b - c) = a \times b - a \times c$

Exemple : $3(x + 2) = 3 \times x + 3 \times 2 = 3x + 6$

La distributivité double (ou double distributivité) s'applique lors de la multiplication de deux sommes (ou différences) : $(a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

Exemple : $(x + 1)(x + 3) = x \times x + x \times 3 + 1 \times x + 1 \times 3 = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3$

Identités remarquables (rappel)

Ce sont des cas particuliers de double distributivité qu'il est essentiel de connaître par cœur pour gagner du temps et éviter les erreurs.

1. Carré d'une somme : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. Carré d'une différence : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. Produit d'une somme par une différence : $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Exemples :

• $(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$
• $(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$
• $(x - 7)(x + 7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49$

Réduction de termes semblables

Après le développement, on réduit l'expression en regroupant les termes qui ont la même partie littérale (ex: les $x^2$ ensemble, les $x$ ensemble, les constantes ensemble). Exemple : $5x + 3 - 2x + 7 = (5x - 2x) + (3 + 7) = 3x + 10$

La factorisation est l'opération inverse du développement : elle consiste à transformer une somme (ou une différence) en un produit de facteurs. C'est une compétence clé pour résoudre des équations.

Facteur commun

C'est la méthode la plus simple. On cherche un terme qui apparaît dans tous les termes de l'expression. Exemple : $3x + 6 = 3 \times x + 3 \times 2 = 3(x + 2)$ Exemple plus complexe : $x^2 + 5x = x \times x + 5 \times x = x(x + 5)$

Utilisation des identités remarquables

Les identités remarquables peuvent être utilisées dans les deux sens. Pour factoriser, il faut reconnaître la forme développée :

1. $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
2. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
3. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Exemples :

• $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = (x + 3)^2$ (forme $a^2+2ab+b^2$)
• $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$ (forme $a^2-b^2$)
• $9x^2 - 12x + 4 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = (3x - 2)^2$ (forme $a^2-2ab+b^2$)

Factorisation par regroupement

Parfois, il n'y a pas de facteur commun évident à tous les termes, mais on peut regrouper les termes deux par deux et trouver un facteur commun dans chaque groupe. Exemple : $ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)$

Une fraction rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des expressions polynomiales (contenant des variables).

Simplification de fractions

Pour simplifier une fraction rationnelle, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on supprime les facteurs communs. Exemple : $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2$ (pour $x \ne -2$)

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur commun.

1. Factoriser les dénominateurs si possible.
2. Trouver le plus petit dénominateur commun (PPCM).
3. Multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le facteur manquant pour obtenir le PPCM.
4. Additionner/soustraire les numérateurs et conserver le dénominateur commun. Exemple : $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{1(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1+2x+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x+1}{x^2-1}$

Multiplication et division de fractions

• Multiplication : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. $\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}$ Exemple : $\frac{x}{x+1} \times \frac{x-1}{x} = \frac{x(x-1)}{(x+1)x} = \frac{x-1}{x+1}$ (pour $x \ne 0$)

• Division : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. $\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{A \times D}{B \times C}$ Exemple : $\frac{x+2}{3} \div \frac{x+2}{6} = \frac{x+2}{3} \times \frac{6}{x+2} = \frac{6(x+2)}{3(x+2)} = \frac{6}{3} = 2$ (pour $x \ne -2$)

L'objectif est d'isoler l'inconnue $x$. On utilise les principes d'équivalence :

• On peut ajouter ou soustraire le même nombre (ou la même expression) aux deux membres d'une équation.
• On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par le même nombre non nul.

Exemple : Résoudre $2x - 5 = 7$

1. Ajouter 5 aux deux membres : $2x - 5 + 5 = 7 + 5 \Rightarrow 2x = 12$
2. Diviser par 2 les deux membres : $\frac{2x}{2} = \frac{12}{2} \Rightarrow x = 6$ L'ensemble des solutions est $S = \{6\}$.

Vérification des solutions

Il est toujours utile de vérifier sa solution en la remplaçant dans l'équation de départ. Pour $x=6$ : $2(6) - 5 = 12 - 5 = 7$. Le membre de gauche est égal au membre de droite, la solution est correcte.

Ces équations nécessitent des étapes préliminaires avant de les ramener à la forme $ax + b = 0$.

Développement préalable

Si l'équation contient des parenthèses, il faut les développer en utilisant la distributivité. Exemple : $3(x - 2) = 5x + 4$

1. Développer le membre de gauche : $3x - 6 = 5x + 4$
2. Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre : $3x - 5x = 4 + 6$ $-2x = 10$
3. Diviser par -2 : $x = \frac{10}{-2} \Rightarrow x = -5$ $S = \{-5\}$

Mise au même dénominateur

Si l'équation contient des fractions, il faut mettre tous les termes au même dénominateur pour pouvoir les "éliminer". Exemple : $\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$

1. Le dénominateur commun est 6. $\frac{3x}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
2. Multiplier toute l'équation par 6 (ce qui revient à supprimer les dénominateurs une fois qu'ils sont communs) : $3x + 2 = 5$
3. Résoudre l'équation simple : $3x = 5 - 2$ $3x = 3$ $x = 1$ $S = \{1\}$

Cette étape est cruciale pour appliquer les mathématiques à des situations concrètes.

1. Choix de l'inconnue : Lire attentivement le problème et identifier ce que l'on cherche. On lui attribue une lettre, souvent $x$.
2. Traduction du problème en équation : Écrire les informations du problème sous forme mathématique. Chaque phrase peut correspondre à une partie de l'équation.
3. Résolution de l'équation : Appliquer les techniques vues précédemment.
4. Interprétation de la solution : Vérifier que la solution trouvée a un sens dans le contexte du problème et y répondre clairement.

Exemple : "J'ai 5 ans de plus que mon frère. À nous deux, nous avons 35 ans. Quel âge a mon frère ?"

1. Choix de l'inconnue : Soit $x$ l'âge de mon frère.
2. Traduction en équation : Mon âge est $x + 5$. L'âge de mon frère + mon âge = 35 $x + (x + 5) = 35$
3. Résolution : $2x + 5 = 35$ $2x = 30$ $x = 15$
4. Interprétation : Mon frère a 15 ans. Mon âge est $15 + 5 = 20$ ans. Ensemble, $15 + 20 = 35$ ans. La solution est cohérente.

Le principe fondamental est le suivant : Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

Si $A \times B = 0$, alors $A = 0$ ou $B = 0$. Ce principe est très puissant car il permet de transformer une équation complexe en plusieurs équations du premier degré plus simples à résoudre.

Pour résoudre une équation de ce type :

1. Identifier les facteurs.
2. Écrire que chaque facteur est égal à zéro.
3. Résoudre chaque équation linéaire obtenue.
4. L'ensemble des solutions est la réunion des solutions de chaque équation.

Exemple : Résoudre $(2x - 4)(x + 3) = 0$ Selon le principe du produit nul, on a : $2x - 4 = 0$ ou $x + 3 = 0$

Résolvons la première équation : $2x = 4$ $x = \frac{4}{2}$ $x = 2$

Résolvons la deuxième équation : $x = -3$

L'ensemble des solutions est $S = \{-3, 2\}$.

Souvent, les équations ne sont pas directement sous la forme d'un produit nul. Il faut alors les factoriser au préalable. L'objectif est toujours de ramener l'équation à la forme $A \times B = 0$.

Exemple 1 : Équation avec un facteur commun Résoudre $x^2 - 5x = 0$

1. Factoriser le membre de gauche : $x(x - 5) = 0$
2. Appliquer le principe du produit nul : $x = 0$ ou $x - 5 = 0$ $x = 0$ ou $x = 5$ L'ensemble des solutions est $S = \{0, 5\}$.

Exemple 2 : Équation avec une identité remarquable Résoudre $4x^2 - 9 = 0$

1. Reconnaître l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ : $(2x)^2 - 3^2 = 0$ $(2x - 3)(2x + 3) = 0$
2. Appliquer le principe du produit nul : $2x - 3 = 0$ ou $2x + 3 = 0$ $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ $2x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$ L'ensemble des solutions est $S = \{-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\}$.

Exemple 3 : Équation plus complexe Résoudre $(x+1)(2x-3) = (x+1)(x+5)$

1. Ramener tous les termes d'un côté pour obtenir un membre nul : $(x+1)(2x-3) - (x+1)(x+5) = 0$
2. Factoriser par le facteur commun $(x+1)$ : $(x+1) \left[ (2x-3) - (x+5) \right] = 0$ $(x+1) \left[ 2x-3-x-5 \right] = 0$ $(x+1)(x-8) = 0$
3. Appliquer le principe du produit nul : $x+1 = 0$ ou $x-8 = 0$ $x = -1$ ou $x = 8$ L'ensemble des solutions est $S = \{-1, 8\}$. Il est crucial de toujours factoriser et non de développer puis simplifier dans ce type d'équation, car cela mène à des solutions perdues ou à des équations de degré supérieur.

La résolution est similaire à celle des équations, avec une règle cruciale à retenir :

• On peut ajouter ou soustraire le même nombre (ou la même expression) aux deux membres d'une inéquation sans changer le sens de l'inégalité.
• On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par le même nombre positif sans changer le sens de l'inégalité.
• Si on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, il faut IMPÉRATIVEMENT changer le sens de l'inégalité.

Exemple 1 : Résoudre $2x - 5 < 7$

1. Ajouter 5 : $2x < 12$
2. Diviser par 2 (nombre positif) : $x < 6$ Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à 6.

Exemple 2 : Résoudre $-3x + 1 \ge 10$

1. Soustraire 1 : $-3x \ge 9$
2. Diviser par -3 (nombre négatif), donc changer le sens de l'inégalité : $x \le \frac{9}{-3}$ $x \le -3$ Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à -3.

Comme pour les équations, il faut d'abord développer les parenthèses et/ou mettre au même dénominateur.

Exemple : $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} > x + 1$

1. Mettre au même dénominateur (4) : $\frac{2x}{4} - \frac{1}{4} > \frac{4x}{4} + \frac{4}{4}$
2. Multiplier par 4 (nombre positif, pas de changement de sens) : $2x - 1 > 4x + 4$
3. Regrouper les termes : $2x - 4x > 4 + 1$ $-2x > 5$
4. Diviser par -2 (nombre négatif, changer le sens de l'inégalité) : $x < -\frac{5}{2}$ Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à $-\frac{5}{2}$.

Les solutions d'une inéquation sont généralement un ensemble infini de nombres, représentés par un intervalle ou sur une droite numérique.

Exemple 1 : $x < 6$. L'ensemble solution est $S = ]-\infty ; 6[$. Sur la droite numérique, on hachure la partie à gauche de 6, et le crochet est tourné vers l'extérieur (ou une parenthèse) en 6.

Exemple 2 : $x \le -3$. L'ensemble solution est $S = ]-\infty ; -3]$. Sur la droite numérique, on hachure la partie à gauche de -3, et le crochet est tourné vers l'intérieur en -3.

Pour étudier le signe d'une expression linéaire $ax+b$ ($a \ne 0$) :

1. Chercher la racine de l'expression, c'est-à-dire la valeur de $x$ pour laquelle $ax+b = 0$. $ax+b = 0 \Rightarrow ax = -b \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$.
2. Utiliser la règle du signe de 'a' :
   • Si $a > 0$ (coefficient de $x$ positif), l'expression est d'abord négative, s'annule en $-\frac{b}{a}$, puis devient positive.
   • Si $a < 0$ (coefficient de $x$ négatif), l'expression est d'abord positive, s'annule en $-\frac{b}{a}$, puis devient négative.

Construction du tableau de signes

Exemple : Étudier le signe de $2x - 4$

1. Racine : $2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
2. Le coefficient $a=2$ est positif. Tableau de signes : | $x$ | $-\infty$ | $2$ | $+\infty$ | | :------------ | :-------- | :-: | :-------- | | Signe de $2x-4$ | $-$ | $0$ | $+$ |

Pour étudier le signe d'un produit $A \times B$ ou d'un quotient $\frac{A}{B}$ :

1. Étudier le signe de chaque facteur (ou du numérateur et du dénominateur) séparément.
2. Rassembler les informations dans un tableau de signes global.
3. Appliquer la règle des signes pour le produit/quotient :
   • $(+) \times (+) = (+)$
   • $(-) \times (-) = (+)$
   • $(+) \times (-) = (-)$
   • $(-) \times (+) = (-)$
   • Pour un quotient, la règle est la même. Attention : le dénominateur ne peut pas être nul.

Exemple : Étudier le signe de $(x - 1)(x + 3)$

1. Signe de $x - 1$ : racine $x=1$, $a=1>0$.
2. Signe de $x + 3$ : racine $x=-3$, $a=1>0$. Tableau de signes global : | $x$ | $-\infty$ | $-3$ | $1$ | $+\infty$ | | :---------------- | :-------- | :--: | :-: | :-------- | | Signe de $x-1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | Signe de $x+3$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | Signe de $(x-1)(x+3)$ | $+$ | $0$ | $0$ | $+$ |

Cette méthode est indispensable pour les inéquations qui ne sont pas de degré 1.

1. Ramener l'inéquation à une forme où un membre est nul : $P(x) > 0$, $P(x) < 0$, $P(x) \ge 0$, ou $P(x) \le 0$.
2. Factoriser l'expression $P(x)$ si nécessaire (si c'est un produit ou un quotient).
3. Étudier le signe de chaque facteur (ou numérateur/dénominateur) comme vu précédemment.
4. Construire le tableau de signes global.
5. Déduire l'ensemble des solutions en fonction du signe souhaité ($>0$, $<0$, $\ge 0$, $\le 0$).

Exemple : Résoudre $(x - 1)(x + 3) \le 0$ En utilisant le tableau de signes précédent :

On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $(x-1)(x+3)$ est négatif ou nul ($\le 0$). D'après le tableau, cela correspond à l'intervalle où le signe est "$-$", y compris les valeurs qui annulent le produit. L'ensemble des solutions est $S = [-3 ; 1]$.

Exemple avec un quotient : Résoudre $\frac{x-2}{x+4} > 0$

1. Signe de $x-2$ : racine $x=2$, $a=1>0$.
2. Signe de $x+4$ : racine $x=-4$, $a=1>0$. Tableau de signes : | $x$ | $-\infty$ | $-4$ | $2$ | $+\infty$ | | :---------------- | :-------- | :--: | :-: | :-------- | | Signe de $x-2$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | Signe de $x+4$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | Signe de $\frac{x-2}{x+4}$ | $+$ | $|$ | $0$ | $+$ |

Attention : la valeur $x=-4$ annule le dénominateur, donc la fraction n'est pas définie en $x=-4$. On indique cela par une double barre verticale dans le tableau. On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles le quotient est strictement positif ($>0$). L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty ; -4[ \cup ]2 ; +\infty[$.