Fonctions affines et second degré

Une fonction affine est une fonction qui, à tout nombre $x$, associe un nombre $ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels fixés.

On la note souvent $f(x) = ax + b$ ou $y = ax + b$.

• $a$ est appelé le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Il indique l'inclinaison de la droite.
• $b$ est appelé l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de $y$ lorsque $x = 0$, autrement dit, le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Exemple : La fonction $f(x) = 2x - 3$ est une fonction affine. Ici, $a = 2$ et $b = -3$.

La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite dans un repère cartésien.

Pour tracer cette droite, il suffit de connaître deux points qui lui appartiennent.

1. Utiliser l'ordonnée à l'origine : Le point $(0, b)$ est toujours sur la droite.
   • Pour $f(x) = 2x - 3$, le point $(0, -3)$ est sur la droite.
2. Calculer un deuxième point : Choisis une valeur de $x$ (par exemple $x=1$) et calcule $f(1)$.
   • Pour $f(x) = 2x - 3$, $f(1) = 2(1) - 3 = -1$. Donc le point $(1, -1)$ est sur la droite.
3. Tracer la droite : Place les deux points et trace la droite qui les relie.

==Le coefficient directeur $a$ indique la "pente" de la droite. Si $a > 0$, la droite "monte". Si $a < 0$, la droite "descend". Si $a = 0$, la droite est horizontale (fonction constante).==

Comprendre comment calculer l'image et l'antécédent est crucial pour travailler avec les fonctions.

1. Calcul de l'image : L'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$ est la valeur $f(x)$. Pour la calculer, il suffit de remplacer $x$ par la valeur donnée dans l'expression de la fonction.

   Exemple : Soit $f(x) = -3x + 5$.

   • Calculons l'image de $x = 2$ : $f(2) = -3(2) + 5 = -6 + 5 = -1$. L'image de 2 par $f$ est -1. Graphiquement, cela signifie que le point $(2, -1)$ est sur la droite représentative de $f$.
   • Calculons l'image de $x = -1$ : $f(-1) = -3(-1) + 5 = 3 + 5 = 8$. L'image de -1 par $f$ est 8. Graphiquement, le point $(-1, 8)$ est sur la droite.

2. Calcul de l'antécédent : L'antécédent d'un nombre $k$ par une fonction $f$ est le nombre $x$ tel que $f(x) = k$. Pour le trouver, il faut résoudre une équation.

   Exemple : Soit $f(x) = -3x + 5$.

   • Cherchons l'antécédent de $k = 11$ : On doit résoudre l'équation $f(x) = 11$, c'est-à-dire $-3x + 5 = 11$. $-3x = 11 - 5$ $-3x = 6$ $x = \frac{6}{-3}$ $x = -2$. L'antécédent de 11 par $f$ est -2. Graphiquement, cela signifie que la droite passe par le point $(-2, 11)$.

   • Cherchons l'antécédent de $k = 0$ (on cherche l'abscisse du point d'intersection avec l'axe des abscisses) : $-3x + 5 = 0$ $-3x = -5$ $x = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$. L'antécédent de 0 par $f$ est $\frac{5}{3}$.

Pour déterminer l'expression $f(x) = ax + b$ d'une fonction affine, il faut trouver les valeurs de $a$ et de $b$.

1. À partir de deux points : Si l'on connaît deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ appartenant à la droite représentative de $f$, on peut calculer $a$ et $b$.

   • Calcul de $a$ : Le coefficient directeur $a$ est donné par la formule : $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (à condition que $x_A \neq x_B$).

   • Calcul de $b$ : Une fois $a$ trouvé, on utilise l'un des points (par exemple $A(x_A, y_A)$) et l'équation $y_A = ax_A + b$ pour trouver $b$.

   Exemple : Soit une fonction affine $f$ telle que $f(1) = 4$ et $f(3) = 10$. Les points sont $(1, 4)$ et $(3, 10)$.

   • $a = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$.
   • Maintenant, on utilise $y = 3x + b$ et le point $(1, 4)$ : $4 = 3(1) + b$ $4 = 3 + b$ $b = 4 - 3 = 1$. Donc, l'expression de la fonction est $f(x) = 3x + 1$.

2. À partir d'un point et du coefficient directeur : Si l'on connaît le coefficient directeur $a$ et un point $(x_0, y_0)$ de la droite, on peut directement trouver $b$.

   Exemple : Une fonction affine $f$ a un coefficient directeur $a = -2$ et sa droite passe par le point $(3, -1)$. On a $f(x) = -2x + b$. Comme le point $(3, -1)$ est sur la droite, on a $f(3) = -1$. $-1 = -2(3) + b$ $-1 = -6 + b$ $b = -1 + 6 = 5$. Donc, l'expression de la fonction est $f(x) = -2x + 5$.

3. Lecture graphique de $a$ et $b$ : Lorsque la droite est tracée, on peut lire $a$ et $b$ :

   • $b$ est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (axe vertical).
   • $a$ se lit en se déplaçant sur la droite :
     • Partir d'un point de la droite.
     • Avancer d'une unité vers la droite (sens positif de l'axe des abscisses).
     • Monter ou descendre verticalement jusqu'à retrouver la droite. La distance verticale parcourue est la valeur de $a$. Si on monte, $a$ est positif ; si on descend, $a$ est négatif.

   La lecture graphique est utile pour vérifier, mais le calcul est plus précis.

Le sens de variation d'une fonction affine est directement lié au signe de son coefficient directeur $a$.

• Si $a > 0$ : La fonction $f$ est strictement croissante. Cela signifie que si $x_1 < x_2$, alors $f(x_1) < f(x_2)$. La droite "monte".
• Si $a < 0$ : La fonction $f$ est strictement décroissante. Cela signifie que si $x_1 < x_2$, alors $f(x_1) > f(x_2)$. La droite "descend".
• Si $a = 0$ : La fonction $f$ est constante. La fonction est de la forme $f(x) = b$. La droite est horizontale.

Tableau de variation :

Étudier le signe d'une fonction affine $f(x) = ax + b$, c'est déterminer pour quelles valeurs de $x$ la fonction est positive ($f(x) > 0$), négative ($f(x) < 0$) ou nulle ($f(x) = 0$).

Pour trouver le point où la fonction change de signe, on cherche l'antécédent de 0, c'est-à-dire on résout $f(x) = 0$. $ax + b = 0 \implies ax = -b \implies x = -\frac{b}{a}$. Ce point $x = -\frac{b}{a}$ est l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses.

Règle du signe : Le signe de $f(x)$ est "du signe de $a$" après la racine $(-\frac{b}{a})$ et "du signe opposé à $a$" avant la racine.

Tableau de signes :

• Cas $a > 0$ (fonction croissante) :

  $x$	$-\infty$	$-\frac{b}{a}$	$+\infty$
  $f(x)$	$-$	$0$	$+$

• Cas $a < 0$ (fonction décroissante) :

  $x$	$-\infty$	$-\frac{b}{a}$	$+\infty$
  $f(x)$	$+$	$0$	$-$

Exemple : Étudier le signe de $f(x) = 2x - 4$.

1. On résout $f(x) = 0$: $2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
2. Le coefficient $a = 2$ est positif. La fonction est croissante.
3. Tableau de signes :

   $x$	$-\infty$	$2$	$+\infty$
   $f(x)$	$-$	$0$	$+$
   Cela signifie : $f(x) < 0$ pour $x < 2$, $f(x) = 0$ pour $x = 2$, et $f(x) > 0$ pour $x > 2$.

Les fonctions affines sont omniprésentes dans la modélisation de phénomènes où une quantité varie de manière linéaire en fonction d'une autre.

• Problèmes de coûts : Le coût total d'un service peut souvent être modélisé par une fonction affine. Par exemple, le coût d'un taxi est un prix de prise en charge (fixe, $b$) plus un prix par kilomètre ($a \times \text{nombre de km}$).
  • Exemple : Un service de livraison coûte 5 € de frais fixes plus 2 € par kilomètre. Le coût $C(x)$ pour $x$ kilomètres est $C(x) = 2x + 5$.
• Problèmes de distances : La distance parcourue à vitesse constante est une fonction affine du temps ($D(t) = v \times t$, ici $b=0$, c'est une fonction linéaire, un cas particulier de fonction affine).
• Problèmes de temps : Le temps nécessaire pour remplir un réservoir à débit constant.
• Comparaison de forfaits : Comparer deux forfaits téléphoniques (l'un avec un abonnement et un coût à la minute, l'autre avec un abonnement différent et un autre coût à la minute) revient à comparer deux fonctions affines. On cherche alors pour quelle durée d'appel un forfait est plus avantageux que l'autre, ce qui revient à résoudre une inéquation $f(x) > g(x)$ ou $f(x) < g(x)$.

==Les fonctions linéaires ($f(x) = ax$) sont un cas particulier de fonctions affines où $b=0$. Leur représentation graphique passe toujours par l'origine $(0,0)$.==

Une fonction du second degré (ou fonction quadratique) est une fonction qui, à tout nombre $x$, associe un nombre de la forme $ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, avec la condition essentielle que $a \neq 0$.

On la note souvent $f(x) = ax^2 + bx + c$. C'est la forme développée.

Exemple : $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ est une fonction du second degré avec $a=2$, $b=-4$, $c=1$.

Une autre forme très utile est la forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont les coordonnées du sommet de la parabole (voir section suivante).

• $\alpha = -\frac{b}{2a}$
• $\beta = f(\alpha) = a\alpha^2 + b\alpha + c$

Passage de la forme développée à la forme canonique :

Pour passer de $ax^2 + bx + c$ à $a(x - \alpha)^2 + \beta$, on utilise les formules de $\alpha$ et $\beta$.

Exemple : Soit $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$.

• $a = 2$, $b = -4$, $c = 1$.
• Calcul de $\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1$.
• Calcul de $\beta = f(\alpha) = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$.
• Donc, la forme canonique est $f(x) = 2(x - 1)^2 - 1$.

Vérification : $2(x - 1)^2 - 1 = 2(x^2 - 2x + 1) - 1 = 2x^2 - 4x + 2 - 1 = 2x^2 - 4x + 1$. C'est correct !

La forme canonique est très pratique car elle donne directement les coordonnées du sommet de la parabole.

La représentation graphique d'une fonction du second degré est une courbe appelée parabole.

L'allure de la parabole dépend du signe du coefficient $a$ :

• Si $a > 0$ : Les branches de la parabole sont tournées vers le haut (elle a une forme de "U"). Le sommet est un minimum.
• Si $a < 0$ : Les branches de la parabole sont tournées vers le bas (elle a une forme de "∩"). Le sommet est un maximum.

Le point le plus important de la parabole est son sommet. Ses coordonnées sont $(\alpha, \beta)$, où $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.

La parabole possède un axe de symétrie vertical qui passe par son sommet. L'équation de cet axe est $x = \alpha$.

Tracé de paraboles simples : Pour tracer une parabole, on peut :

1. Calculer les coordonnées du sommet $(\alpha, \beta)$.
2. Calculer quelques points supplémentaires en choisissant des valeurs de $x$ de part et d'autre de $\alpha$. Utiliser la symétrie peut réduire le nombre de calculs.
3. Calculer l'ordonnée à l'origine : $f(0) = c$. Le point $(0, c)$ est sur la parabole.
4. Placer ces points et tracer la parabole en respectant son allure.

Exemple : Tracer $f(x) = x^2 - 2x - 3$.

• $a=1, b=-2, c=-3$.
• $\alpha = -\frac{-2}{2(1)} = 1$.
• $\beta = f(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
• Le sommet est $S(1, -4)$. Les branches sont tournées vers le haut ($a=1 > 0$).
• Ordonnée à l'origine : $f(0) = -3$. Point $(0, -3)$.
• Par symétrie, le point $(2, -3)$ est aussi sur la parabole ($2$ est à la même distance de $1$ que $0$).
• Autres points : $f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Point $(-1, 0)$. Par symétrie, $f(3) = (3)^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$. Point $(3, 0)$.

1. Calcul de l'image : L'image d'un nombre $x$ par une fonction du second degré se calcule de la même manière que pour une fonction affine : on remplace $x$ par la valeur donnée dans l'expression de la fonction.

   Exemple : Soit $f(x) = -x^2 + 3x + 2$.

   • Image de $x = 1$ : $f(1) = -(1)^2 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.
   • Image de $x = -2$ : $f(-2) = -(-2)^2 + 3(-2) + 2 = -(4) - 6 + 2 = -4 - 6 + 2 = -8$.

2. Calcul de l'antécédent : Chercher l'antécédent d'un nombre $k$ par une fonction du second degré $f$ revient à résoudre l'équation $f(x) = k$, c'est-à-dire $ax^2 + bx + c = k$. Cette équation est de la forme $ax^2 + bx + (c-k) = 0$. À ce niveau, tu peux résoudre cela graphiquement ou par factorisation si c'est possible (par exemple, si $k=0$ et qu'on peut factoriser $x$). La résolution algébrique générale des équations du second degré (avec le discriminant $\Delta$) sera vue plus tard.

   Nombre d'antécédents possibles : Pour une fonction du second degré, un nombre $k$ peut avoir :

   • Aucun antécédent (la droite horizontale $y=k$ ne coupe pas la parabole).
   • Un seul antécédent (la droite $y=k$ est tangente à la parabole au niveau de son sommet).
   • Deux antécédents (la droite $y=k$ coupe la parabole en deux points distincts).

   Exemple (graphique) : Pour $f(x) = x^2 - 2x - 3$ (parabole vue précédemment avec sommet $(1, -4)$).

   • Si on cherche l'antécédent de $-4$ : il y en a un seul, $x=1$ (le sommet).
   • Si on cherche l'antécédent de $0$ : on a trouvé $x=-1$ et $x=3$. Il y a deux antécédents.
   • Si on cherche l'antécédent de $-5$ : il n'y en a aucun, car la parabole a un minimum en $-4$ et ne descend jamais en dessous.

Le sens de variation d'une fonction du second degré est déterminé par le signe de $a$ et la position du sommet. La fonction change de sens de variation au niveau de son sommet.

• Si $a > 0$ (branches vers le haut) : La fonction est d'abord strictement décroissante jusqu'à $x = \alpha$, puis strictement croissante à partir de $x = \alpha$. Le sommet $(\alpha, \beta)$ est alors un minimum global pour la fonction.

• Si $a < 0$ (branches vers le bas) : La fonction est d'abord strictement croissante jusqu'à $x = \alpha$, puis strictement décroissante à partir de $x = \alpha$. Le sommet $(\alpha, \beta)$ est alors un maximum global pour la fonction.

Tableau de variation :

• Cas $a > 0$ :

  $x$	$-\infty$	$\alpha$	$+\infty$
  $f(x)$	$\searrow$	$\beta$	$\nearrow$
  (Minimum en $\beta$ pour $x = \alpha$)

• Cas $a < 0$ :

  $x$	$-\infty$	$\alpha$	$+\infty$
  $f(x)$	$\nearrow$	$\beta$	$\searrow$
  (Maximum en $\beta$ pour $x = \alpha$)

Exemple : Pour $f(x) = -x^2 + 4x + 1$. $a = -1$, $b = 4$, $c = 1$. $\alpha = -\frac{4}{2(-1)} = 2$. $\beta = f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$. Le sommet est $(2, 5)$. Comme $a < 0$, c'est un maximum.

Tableau de variation :

L'étude du signe d'une fonction du second degré consiste à déterminer pour quelles valeurs de $x$ la parabole est au-dessus ($f(x) > 0$), au-dessous ($f(x) < 0$) ou coupe ($f(x) = 0$) l'axe des abscisses.

Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont appelées les racines de la fonction (ou solutions de $f(x) = 0$). Pour le moment, tu peux les trouver graphiquement ou par factorisation si possible. Plus tard, tu apprendras à les calculer avec le discriminant.

• Lecture graphique du signe :

  • Si la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses, $f(x) > 0$.
  • Si la parabole est au-dessous de l'axe des abscisses, $f(x) < 0$.
  • Si la parabole coupe l'axe des abscisses, $f(x) = 0$.

  Le signe de $f(x)$ est "du signe de $a$" à l'extérieur des racines (si elles existent) et "du signe opposé à $a$" entre les racines.

Tableau de signes (approche graphique) :

On considère les racines $x_1$ et $x_2$ (si elles existent et $x_1 < x_2$).

• Cas $a > 0$ (branches vers le haut) :

  $x$	$-\infty$	$x_1$	$x_2$	$+\infty$
  $f(x)$	$+$	$0$	$0$	$+$
  (Si pas de racines, $f(x)$ est toujours positive. Si une seule racine (sommet sur l'axe), $f(x)$ est toujours positive sauf en $x_1$.)

• Cas $a < 0$ (branches vers le bas) :

  $x$	$-\infty$	$x_1$	$x_2$	$+\infty$
  $f(x)$	$-$	$0$	$0$	$-$
  (Si pas de racines, $f(x)$ est toujours négative. Si une seule racine (sommet sur l'axe), $f(x)$ est toujours négative sauf en $x_1$.)

Exemple : Pour $f(x) = x^2 - 2x - 3$. Les racines sont $x = -1$ et $x = 3$. Le coefficient $a = 1 > 0$. Tableau de signes :

Cela signifie : $f(x) > 0$ pour $x \in ]-\infty, -1[ \cup ]3, +\infty[$, et $f(x) < 0$ pour $x \in ]-1, 3[$.

Les fonctions du second degré sont utilisées pour modéliser des situations où la variation n'est pas linéaire, mais suit une courbe parabolique.

• Modélisation de trajectoires : La trajectoire d'un projectile lancé en l'air (balle, javelot) suit approximativement une parabole (en négligeant la résistance de l'air).
  • Exemple : La hauteur $h(t)$ d'une balle lancée en fonction du temps $t$ peut être donnée par $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$.
• Problèmes d'optimisation : Maximiser un profit, minimiser un coût, trouver l'aire maximale d'un enclos. Ces problèmes mènent souvent à la recherche du sommet d'une parabole (maximum ou minimum).
  • Exemple : Un agriculteur veut clôturer un champ rectangulaire le long d'une rivière (pas de clôture côté rivière) avec 100 mètres de grillage. Quelle est l'aire maximale qu'il peut clôturer ? Si $x$ est la largeur, la longueur sera $100 - 2x$. L'aire $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$. C'est une fonction du second degré dont le maximum donne l'aire maximale.
• Interprétation de graphiques réels : De nombreux phénomènes physiques, économiques ou biologiques peuvent être approchés par des fonctions du second degré sur certains intervalles.

La résolution graphique est une méthode visuelle très intuitive pour comprendre les solutions d'équations et d'inéquations impliquant des fonctions.

1. Résolution de $f(x) = g(x)$ : Les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de $f$ et $g$.

   • Trace la courbe de $f$ et la courbe de $g$ dans le même repère.
   • Repère les points où les deux courbes se coupent.
   • Lis les valeurs de $x$ correspondant à ces points.

   Exemple : Résoudre graphiquement $2x - 1 = -x^2 + 4$.

   • Trace la droite $y = 2x - 1$.
   • Trace la parabole $y = -x^2 + 4$.
   • Les solutions sont les abscisses des points d'intersection.

2. Résolution de $f(x) > g(x)$ (ou $<$, $\ge$, $\le$) : Les solutions de l'inéquation $f(x) > g(x)$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de $f$ est au-dessus de la courbe de $g$.

   • Trace les deux courbes.
   • Identifie les intervalles de $x$ où la courbe de $f$ est située au-dessus (ou au-dessous) de la courbe de $g$.

   Exemple : Résoudre graphiquement $2x - 1 > -x^2 + 4$.

   • Après avoir tracé les courbes, observe les intervalles où la droite est au-dessus de la parabole.

La résolution graphique est rapide et donne une bonne intuition, mais elle est souvent moins précise que la résolution algébrique.

La comparaison de ces deux types de fonctions implique souvent de trouver leurs points d'intersection et d'analyser leur position relative.

1. Points d'intersection entre droite et parabole : Pour trouver les points d'intersection entre une droite $D$ d'équation $y = ax + b$ et une parabole $P$ d'équation $y = cx^2 + dx + e$, on résout l'équation : $ax + b = cx^2 + dx + e$ Ce qui peut se réécrire sous la forme $cx^2 + (d-a)x + (e-b) = 0$. C'est une équation du second degré.

   Il peut y avoir :

   • Aucun point d'intersection (la droite ne coupe pas la parabole).
   • Un seul point d'intersection (la droite est tangente à la parabole).
   • Deux points d'intersection (la droite est sécante à la parabole).

2. Position relative d'une droite et d'une parabole : Pour déterminer si la droite est au-dessus ou en dessous de la parabole sur certains intervalles, on étudie le signe de la différence des fonctions : $f(x) - g(x) = (cx^2 + dx + e) - (ax + b)$. Ceci donne une nouvelle fonction du second degré dont il faut étudier le signe.

   • Si $f(x) - g(x) > 0$, alors la parabole $P$ est au-dessus de la droite $D$.
   • Si $f(x) - g(x) < 0$, alors la parabole $P$ est en dessous de la droite $D$.
   • Si $f(x) - g(x) = 0$, les courbes se coupent.

   Analyse de cas concrets : Ces comparaisons sont très utiles pour des problèmes d'optimisation ou de choix. Par exemple, si une fonction affine représente le coût de production d'un article et une fonction du second degré représente le revenu tiré de la vente, on peut chercher les points d'équilibre (où coût = revenu), ou les intervalles où le revenu est supérieur au coût (profit).

Félicitations ! Tu as maintenant une base solide sur les fonctions affines et du second degré. Ces notions sont fondamentales et seront approfondies dans les années à venir. Revois bien les définitions, les méthodes de calcul et les interprétations graphiques. Pratique avec des exercices, c'est la clé de la réussite !