Fonctions : généralités

En mathématiques, une fonction est un outil qui associe à chaque nombre de départ (appelé antécédent) un unique nombre d'arrivée (appelé image). Imagine une machine qui prend un nombre en entrée et qui, après quelques calculs, te donne un seul nombre en sortie.

• Antécédent : C'est le nombre de départ, la "valeur d'entrée" dans notre machine. On le note souvent $x$.
• Image : C'est le nombre d'arrivée, le "résultat" produit par la fonction. On le note souvent $y$ ou $f(x)$.
• Notation $f(x)$ : Si $f$ est le nom de la fonction, $f(x)$ se lit "f de x" et désigne l'image de $x$ par la fonction $f$. Par exemple, si l'image de 2 par la fonction $f$ est 5, on écrit $f(2) = 5$. Ici, 2 est l'antécédent et 5 est l'image.
• Variable : La lettre $x$ est appelée la variable. Elle peut prendre différentes valeurs.

Une fonction associe toujours une unique image à chaque antécédent.

Les fonctions sont partout, même dans la vie courante !

• Fonctions numériques : Ce sont les fonctions que nous étudierons principalement. Elles transforment des nombres en d'autres nombres.
  • Exemple : La fonction qui, à un nombre, associe son carré. Si $f$ est cette fonction, alors $f(x) = x^2$.
    • L'image de 3 est $f(3) = 3^2 = 9$.
    • L'image de -2 est $f(-2) = (-2)^2 = 4$.
• Fonctions de la vie courante :
  • Le prix à payer en fonction du nombre de kilos de pommes achetés. Si 1 kg coûte 2€, alors la fonction est $P(k) = 2k$.
  • La température en fonction de l'heure de la journée.
  • La distance parcourue en fonction du temps si on roule à vitesse constante.
• Représentations diverses : Une fonction peut être représentée de plusieurs manières :
  • Par une formule (algébrique) : $f(x) = 2x + 3$
  • Par un tableau de valeurs :

    $x$	$f(x)$
    0	3
    1	5
    2	7

  • Par une courbe représentative dans un repère.
  • Par un programme de calcul : "Choisir un nombre, le multiplier par 2, ajouter 3."

Il est important de ne pas confondre une fonction avec une simple expression mathématique.

• Une expression est une suite de symboles mathématiques (ex: $2x+3$). Elle ne définit pas en soi une relation d'entrée-sortie.
• Une fonction est une règle d'association unique qui prend une entrée ($x$) et produit une sortie ($f(x)$). L'aspect "unique" est crucial.
  • Exemple : La relation "est le double de" est une fonction. À 3, elle associe 6. À 10, elle associe 20.
  • Exemple : La relation "a pour carré" n'est pas une fonction au sens strict si on cherche l'antécédent, car 9 a deux antécédents (-3 et 3). Par contre, "le carré de" est une fonction ($f(x)=x^2$).

Le calcul d'image est le processus qui consiste à appliquer la règle de la fonction à un antécédent donné pour trouver son image.

Pour calculer l'image d'un nombre $a$ par une fonction $f$ donnée par sa formule, il suffit de substituer la variable $x$ par la valeur $a$ dans la formule, puis d'effectuer le calcul numérique.

Méthode :

1. Remplace $x$ par la valeur donnée dans la formule de $f(x)$.
2. Effectue les calculs en respectant les priorités des opérations.

Exemple : Soit la fonction $f(x) = 3x^2 - 5$.

• Calculer l'image de 2 : $f(2) = 3 \times (2)^2 - 5$ $f(2) = 3 \times 4 - 5$ $f(2) = 12 - 5$ $f(2) = 7$ L'image de 2 par $f$ est 7. On peut écrire $f: 2 \mapsto 7$.
• Calculer l'image de -1 : $f(-1) = 3 \times (-1)^2 - 5$ $f(-1) = 3 \times 1 - 5$ $f(-1) = 3 - 5$ $f(-1) = -2$ L'image de -1 par $f$ est -2.

Utilisation de la calculatrice : La plupart des calculatrices permettent de calculer des images en entrant la formule de la fonction dans le mode "Table" ou "Fonction", puis en cherchant la valeur correspondante.

Déterminer les antécédents d'un nombre $y$ par une fonction $f$ signifie trouver toutes les valeurs de $x$ telles que $f(x) = y$. Cela revient à résoudre une équation.

Méthode :

1. Pose l'équation $f(x) = y$ (où $y$ est la valeur dont tu cherches les antécédents).
2. Résous cette équation pour trouver $x$.

Exemple : Soit la fonction $f(x) = 2x + 3$. Cherchons les antécédents de 9. On pose $f(x) = 9$: $2x + 3 = 9$ $2x = 9 - 3$ $2x = 6$ $x = \frac{6}{2}$ $x = 3$ L'antécédent de 9 par $f$ est 3.

Exemple avec plusieurs antécédents : Soit la fonction $g(x) = x^2$. Cherchons les antécédents de 16. On pose $g(x) = 16$: $x^2 = 16$ $x = \sqrt{16}$ ou $x = -\sqrt{16}$ $x = 4$ ou $x = -4$ Les antécédents de 16 par $g$ sont 4 et -4. Une image peut avoir plusieurs antécédents.

Absence d'antécédent : Certains nombres peuvent ne pas avoir d'antécédent. Exemple : Avec $g(x) = x^2$, cherchons les antécédents de -9. $x^2 = -9$. Cette équation n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres réels, car un carré ne peut jamais être négatif. Donc, -9 n'a pas d'antécédent par la fonction $g(x) = x^2$.

La représentation graphique d'une fonction est très utile pour visualiser les images et les antécédents.

• Pour lire l'image d'un nombre $a$ :

  1. Place-toi sur l'axe des abscisses (axe horizontal, celui des $x$) à la valeur $a$.
  2. Monte (ou descends) verticalement jusqu'à la courbe de la fonction.
  3. Lis la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées (axe vertical, celui des $y$). Cette valeur est $f(a)$.
  • Un point sur la courbe a pour coordonnées $(a; f(a))$.

• Pour lire les antécédents d'un nombre $b$ :

  1. Place-toi sur l'axe des ordonnées à la valeur $b$.
  2. Trace une ligne horizontale jusqu'à ce qu'elle croise la courbe.
  3. Depuis chaque point d'intersection, descends (ou montes) verticalement jusqu'à l'axe des abscisses. Les valeurs lues sont les antécédents de $b$.
  • Il peut y avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.

Une courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points du plan dont les coordonnées sont de la forme $(x; f(x))$. Autrement dit, pour chaque point $(x; y)$ de la courbe, $y$ doit être l'image de $x$ par la fonction $f$.

• Un repère orthogonal est constitué de deux axes perpendiculaires : l'axe des abscisses (horizontal, pour $x$) et l'axe des ordonnées (vertical, pour $y$ ou $f(x)$). L'intersection des axes est l'origine (0;0).
• Pour tracer la courbe :
  1. Choisis plusieurs valeurs de $x$.
  2. Calcule les images $f(x)$ correspondantes.
  3. Place les points de coordonnées $(x; f(x))$ dans le repère.
  4. Relie ces points pour former la courbe (souvent une ligne lisse, attention aux discontinuités).

Un tableau de valeurs est une liste de couples $(x; f(x))$ qui aide à construire la courbe représentative.

Étapes de construction :

1. Choisis un ensemble de valeurs pour $x$ (souvent des entiers ou des décimaux simples).
2. Calcule l'image $f(x)$ pour chaque $x$ choisi.
3. Organise les résultats dans un tableau :

Exemple : Pour $f(x) = x^2 - 1$

Plus tu as de points, plus le tracé de la courbe sera précis.

Les calculatrices graphiques sont des outils puissants pour visualiser les fonctions.

Étapes générales :

1. Accède au mode "Fonction" ou "Graphique" de ta calculatrice.
2. Saisie de la fonction : Entre la formule de la fonction dans l'éditeur (souvent $Y=$ ou $f(x)=$).
3. Fenêtre d'affichage : Règle les paramètres de la fenêtre (minimum et maximum pour $x$ et $y$) pour voir la partie intéressante de la courbe. Par exemple, Xmin=-5, Xmax=5, Ymin=-10, Ymax=10.
4. Affiche le graphique.
5. Tu peux utiliser les fonctions "Trace" ou "Calc" pour obtenir les coordonnées de points spécifiques, calculer des images, ou même trouver des antécédents (intersections avec une droite horizontale).

Une fonction n'est pas toujours définie pour toutes les valeurs réelles de $x$. Il existe des contraintes mathématiques qui limitent les valeurs possibles pour $x$.

• Division par zéro : On ne peut jamais diviser par zéro. Si $f(x)$ contient une fraction, son dénominateur ne doit jamais être nul.
• Racine carrée d'un nombre négatif : On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif dans les nombres réels. Si $f(x)$ contient une racine carrée, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle.

L'ensemble de définition est souvent exprimé sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.

Si une fonction est de la forme $f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$, où $D(x)$ est le dénominateur, alors le dénominateur ne doit pas être nul. On doit résoudre l'équation $D(x) = 0$ pour trouver les valeurs interdites. L'ensemble de définition sera $\mathbb{R}$ privé de ces valeurs.

Exemple : Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{x-3}$. Le dénominateur est $x-3$. Il doit être non nul. $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. L'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ ou $D_f = ]-\infty; 3[ \cup ]3; +\infty[$.

Exemple : Soit la fonction $g(x) = \frac{2x+1}{x^2-4}$. Le dénominateur est $x^2-4$. Il doit être non nul. $x^2-4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq 2$ et $x \neq -2$. L'ensemble de définition est $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$.

Si une fonction est de la forme $f(x) = \sqrt{E(x)}$, où $E(x)$ est l'expression sous la racine, alors l'expression sous la racine doit être positive ou nulle. On doit résoudre l'inéquation $E(x) \ge 0$.

Exemple : Soit la fonction $h(x) = \sqrt{x-2}$. L'expression sous la racine est $x-2$. Elle doit être positive ou nulle. $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. L'ensemble de définition est $D_h = [2; +\infty[$.

Exemple : Soit la fonction $k(x) = \sqrt{5-x}$. L'expression sous la racine est $5-x$. Elle doit être positive ou nulle. $5-x \ge 0 \implies 5 \ge x \implies x \le 5$. L'ensemble de définition est $D_k = ]-\infty; 5]$.

Graphiquement, l'ensemble de définition se lit sur l'axe des abscisses. C'est la projection de la courbe sur l'axe des abscisses.

• Si la courbe commence à un point donné et se poursuit vers la droite, l'ensemble de définition commence à l'abscisse de ce point et va vers $+\infty$.
• Si la courbe s'arrête à certains points, les abscisses de ces points définissent les bornes de l'intervalle ou les points exclus.
• Si la courbe présente des "trous" verticaux (asymptotes verticales), les abscisses de ces trous sont des valeurs interdites.

L'ensemble de définition correspond à l'étendue horizontale de la courbe.

On étudie les variations d'une fonction sur des intervalles.

• Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$, on a $f(a) \le f(b)$.
  • Cela signifie que la courbe "monte" lorsque $x$ augmente. Les images augmentent (ou restent égales) avec les antécédents.
• Une fonction $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$, on a $f(a) \ge f(b)$.
  • Cela signifie que la courbe "descend" lorsque $x$ augmente. Les images diminuent (ou restent égales) avec les antécédents.
• Une fonction est constante sur un intervalle $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$, on a $f(a) = f(b)$.
  • La courbe est une ligne horizontale.

Exemple : La fonction $f(x) = x^2$.

• Elle est décroissante sur $]-\infty; 0]$. Par exemple, $-3 < -1$ et $f(-3)=9 > f(-1)=1$.
• Elle est croissante sur $[0; +\infty[$. Par exemple, $1 < 3$ et $f(1)=1 < f(3)=9$.

Le tableau de variations est un résumé des intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que des valeurs atteintes aux "points de retournement".

• Les flèches indiquent le sens de variation : $\nearrow$ pour croissant, $\searrow$ pour décroissant.
• Les valeurs $f(x_1)$ et $f(x_2)$ sont les extrema locaux (maximum local ou minimum local).
  • Si la fonction passe de décroissante à croissante, elle atteint un minimum.
  • Si la fonction passe de croissante à décroissante, elle atteint un maximum.

Exemple : Pour $f(x) = x^2$

Ici, $f(0)=0$ est un minimum.

La lecture graphique est intuitive :

• Si la courbe monte de gauche à droite, la fonction est croissante.
• Si la courbe descend de gauche à droite, la fonction est décroissante.
• Les points où la courbe change de sens (passe de monter à descendre ou inversement) sont les points où la fonction atteint ses extrema locaux. Ce sont les "sommets" ou les "vallées" de la courbe.

• Le maximum d'une fonction $f$ sur un intervalle donné $I$ est la plus grande valeur que $f(x)$ peut prendre pour $x \in I$. On le note $M$.
  • Il existe un $x_M \in I$ tel que $f(x_M) = M$ et pour tout $x \in I$, $f(x) \le M$.
• Le minimum d'une fonction $f$ sur un intervalle donné $I$ est la plus petite valeur que $f(x)$ peut prendre pour $x \in I$. On le note $m$.
  • Il existe un $x_m \in I$ tel que $f(x_m) = m$ et pour tout $x \in I$, $f(x) \ge m$.

Ces valeurs peuvent être locales (sur un intervalle) ou globales (sur l'ensemble de définition total).

Lecture graphique : Le maximum est le point le plus haut de la courbe (sur l'intervalle considéré), le minimum est le point le plus bas. Lecture par tableau de variations : Les valeurs des extrema sont clairement indiquées au bout des flèches.

Étudier le signe d'une fonction $f$ signifie déterminer pour quelles valeurs de $x$ :

• $f(x) > 0$ (la fonction est positive)
• $f(x) < 0$ (la fonction est négative)
• $f(x) = 0$ (la fonction est nulle)

Graphiquement, cela se traduit par la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses :

• Si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, alors $f(x) > 0$.
• Si la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses, alors $f(x) < 0$.
• Les points où $f(x) = 0$ sont les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. Ces valeurs de $x$ sont appelées les racines de la fonction.

Un tableau de signes permet de résumer le signe d'une fonction sur différents intervalles.

Étapes générales :

1. Trouver les racines de la fonction en résolvant $f(x) = 0$. Ces valeurs sont les "points charnières" où le signe peut changer.
2. Placer ces racines sur la première ligne du tableau (celle des $x$) dans l'ordre croissant.
3. Pour chaque intervalle délimité par les racines, choisir une valeur test et calculer le signe de $f(x)$ pour cette valeur, ou analyser le comportement de la fonction.

Exemple : Pour $f(x) = x - 2$

1. Racine : $x-2 = 0 \implies x = 2$.
2. Tableau :

   $x$	$-\infty$	2	$+\infty$
   $f(x)$	$-$	0	$+$

• Pour $x < 2$, par exemple $x=0$, $f(0) = -2$, donc $f(x)$ est négatif.
• Pour $x > 2$, par exemple $x=3$, $f(3) = 1$, donc $f(x)$ est positif.