Géométrie plane et dans l'espace

Un vecteur est un objet mathématique qui représente un déplacement d'un point à un autre. Il est caractérisé par trois éléments :

• Sa direction (la droite sur laquelle il se trouve ou toute droite parallèle).
• Son sens (de A vers B, par exemple, ou de B vers A).
• Sa norme ou longueur (la distance entre le point de départ et le point d'arrivée).

Un vecteur est souvent représenté par une flèche. Si le vecteur va du point A au point B, on le note $\vec{AB}$.

Représentation graphique : Imaginez un point A et un point B. Le vecteur $\vec{AB}$ est la flèche qui part de A et va vers B.

Égalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Cela signifie qu'ils représentent le même déplacement. Par exemple, si vous déplacez un objet de 2 mètres vers l'est, et que quelqu'un d'autre déplace un autre objet de 2 mètres vers l'est, les deux déplacements sont représentés par des vecteurs égaux. Si $\vec{AB} = \vec{CD}$, alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (attention à l'ordre des lettres !).

Coordonnées d'un vecteur : Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$, si un point A a pour coordonnées $(x_A; y_A)$ et un point B a pour coordonnées $(x_B; y_B)$, alors les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont données par : $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$. C'est la différence des coordonnées d'arrivée moins les coordonnées de départ. Les coordonnées d'un vecteur sont indépendantes de son point d'origine. Un vecteur peut être "translaté" n'importe où dans le plan sans changer ses coordonnées, tant que sa direction, son sens et sa norme restent les mêmes.

Additionner des vecteurs, c'est combiner des déplacements.

Règle du parallélogramme : Pour additionner deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ partant du même point A, on construit un parallélogramme. Si $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$, alors leur somme $\vec{u} + \vec{v}$ est le vecteur $\vec{AD}$ où D est le quatrième sommet du parallélogramme ABDC.

Relation de Chasles : C'est la règle la plus utilisée pour additionner des vecteurs "à la suite". Pour tous points A, B, C du plan, on a : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Imaginez : vous allez de A à B, puis de B à C. Au final, vous êtes allé de A à C. C'est simple et logique ! La relation de Chasles est fondamentale pour simplifier des expressions vectorielles.

Coordonnées de la somme : Si $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x_u; y_u)$ et $\vec{v}$ a pour coordonnées $(x_v; y_v)$, alors les coordonnées du vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ sont : $\vec{u} + \vec{v} = (x_u + x_v; y_u + y_v)$. On additionne simplement les coordonnées composante par composante.

Vecteur nul : Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est le vecteur qui n'a ni direction, ni sens, et dont la norme est 0. C'est le vecteur qui représente un déplacement inexistant (on reste au même point). Pour tout point A, $\vec{AA} = \vec{0}$. Pour tout vecteur $\vec{u}$, $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$.

On peut étirer, compresser ou inverser un vecteur en le multipliant par un nombre réel.

Définition : Soit un vecteur $\vec{u}$ et un nombre réel $k$. Le produit $k\vec{u}$ est un nouveau vecteur qui a :

• La même direction que $\vec{u}$.
• Le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$.
• Le sens opposé à $\vec{u}$ si $k < 0$.
• Une norme égale à $|k| \times ||\vec{u}||$. (où $|k|$ est la valeur absolue de $k$ et $||\vec{u}||$ est la norme de $\vec{u}$).

Exemples :

• $2\vec{u}$ est un vecteur de même direction et même sens que $\vec{u}$, mais deux fois plus long.
• $-1\vec{u}$ (souvent noté $-\vec{u}$) est le vecteur opposé à $\vec{u}$, de même norme mais de sens contraire.
• $0.5\vec{u}$ est un vecteur de même direction et même sens que $\vec{u}$, mais deux fois plus court.

Coordonnées du produit : Si $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x_u; y_u)$, alors les coordonnées du vecteur $k\vec{u}$ sont : $k\vec{u} = (k \times x_u; k \times y_u)$. On multiplie simplement chaque coordonnée par le réel $k$.

Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s'ils ont la même direction. Cela signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = k\vec{v}$). La colinéarité est cruciale pour prouver le parallélisme de droites ou l'alignement de points. Si $\vec{u}=(x_u;y_u)$ et $\vec{v}=(x_v;y_v)$, ils sont colinéaires si et seulement si $x_u y_v - x_v y_u = 0$. (Ce produit s'appelle le déterminant des deux vecteurs).

Les vecteurs sont des outils puissants pour résoudre des problèmes de géométrie.

Milieu d'un segment : Si I est le milieu du segment [AB], alors $\vec{AI} = \vec{IB}$ ou encore $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$. Une autre propriété importante est que pour tout point M, $\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$.

Alignement de points : Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. (Cela signifie que A, B, C sont sur la même droite).

Parallélisme de droites : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.

Démonstrations géométriques : Les vecteurs permettent de réaliser des démonstrations de manière algébrique, sans avoir besoin de faire un dessin précis.

• Pour prouver qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme, il suffit de montrer que $\vec{AB} = \vec{DC}$ (ou $\vec{AD} = \vec{BC}$).
• Pour prouver qu'un point est le milieu d'un segment, utilisez la relation vectorielle.

Un repère orthonormé est un système de coordonnées formé de deux axes perpendiculaires (l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées) qui se coupent en un point appelé origine (O). Les unités de longueur sur les deux axes sont les mêmes. On le note $(O; \vec{i}, \vec{j})$, où $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont des vecteurs unitaires (de longueur 1) dirigés selon les axes.

Abscisse et ordonnée d'un point : Tout point M du plan est repéré par un couple de nombres $(x_M; y_M)$, où $x_M$ est son abscisse (sa position horizontale) et $y_M$ son ordonnée (sa position verticale).

Coordonnées d'un vecteur : Comme vu précédemment, si A=$(x_A; y_A)$ et B=$(x_B; y_B)$, alors $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

Calcul des coordonnées :

• Addition de vecteurs : $\vec{u} + \vec{v} = (x_u+x_v; y_u+y_v)$
• Multiplication par un réel : $k\vec{u} = (kx_u; ky_u)$ Ces formules sont très pratiques pour effectuer des calculs de manière rapide et précise.

La distance entre deux points A et B est la longueur du segment [AB].

Formule de la distance : Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points A=$(x_A; y_A)$ et B=$(x_B; y_B)$ est donnée par la formule : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Cette formule est une application directe du théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore : Imaginez un triangle rectangle dont les côtés parallèles aux axes sont de longueurs $|x_B - x_A|$ et $|y_B - y_A|$. Le segment [AB] est l'hypoténuse. Donc $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$.

Application au calcul de longueurs : Cette formule est utilisée pour calculer les longueurs des côtés d'un triangle, vérifier si un triangle est isocèle, équilatéral, ou pour calculer le périmètre d'une figure.

Le milieu d'un segment est le point qui se trouve exactement à mi-chemin entre ses deux extrémités.

Formule des coordonnées du milieu : Dans un repère, les coordonnées du milieu M d'un segment [AB], avec A=$(x_A; y_A)$ et B=$(x_B; y_B)$, sont données par la moyenne des coordonnées : $M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

Application aux symétries :

• Si M est le milieu de [AB], alors B est le symétrique de A par rapport à M.
• Si un quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.

Centre de gravité : Pour un triangle ABC, le centre de gravité G est le point d'intersection des médianes. Ses coordonnées sont la moyenne des coordonnées des sommets : $G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$.

Une droite dans le plan peut être décrite par une équation qui relie les coordonnées de tous les points qui lui appartiennent.

Équation réduite : Toute droite non verticale peut être représentée par une équation réduite de la forme : $y = mx + p$

• $m$ est la pente ou coefficient directeur de la droite. Il indique l'inclinaison de la droite. Si $m > 0$, la droite "monte" ; si $m < 0$, elle "descend". Plus $|m|$ est grand, plus la droite est raide.
• $p$ est l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées (c'est-à-dire le point de coordonnées $(0; p)$). Pour une droite verticale (par exemple, $x=3$), il n'y a pas d'équation réduite.

Pente et ordonnée à l'origine : Si une droite passe par les points A=$(x_A; y_A)$ et B=$(x_B; y_B)$ (avec $x_A \neq x_B$), sa pente $m$ est donnée par : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

Équation cartésienne : Toute droite (y compris les droites verticales) peut être représentée par une équation cartésienne de la forme : $ax + by + c = 0$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels, et $a$ et $b$ ne sont pas nuls simultanément.

• Si $b \neq 0$, on peut la transformer en équation réduite : $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$. Dans ce cas, $m = -\frac{a}{b}$ et $p = -\frac{c}{b}$.
• Si $b = 0$, l'équation devient $ax + c = 0$, soit $x = -\frac{c}{a}$. C'est l'équation d'une droite verticale.

Vecteur directeur d'une droite : Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui a la même direction que la droite.

• Si la droite a pour équation réduite $y = mx + p$, un vecteur directeur est $\vec{u} = (1; m)$.
• Si la droite a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u} = (-b; a)$. Ces vecteurs sont très utiles pour déterminer la colinéarité de droites (parallélisme) ou pour vérifier si un point appartient à une droite.

Savoir tracer une droite à partir de son équation est une compétence essentielle.

Tracé à partir de l'équation réduite : Pour tracer une droite d'équation $y = mx + p$:

1. Placez le point d'ordonnée à l'origine $(0; p)$ sur l'axe des ordonnées.
2. Utilisez la pente $m$. Si $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$, cela signifie que pour un déplacement de $\Delta x$ unités horizontalement, la droite monte (ou descend) de $\Delta y$ unités. Par exemple, si $m=2$, on peut prendre $\Delta x = 1$ et $\Delta y = 2$ (on avance de 1 à droite, on monte de 2). Si $m = -1/2$, on avance de 2 à droite, on descend de 1.
3. Placez un deuxième point en utilisant la pente à partir du premier point.
4. Tracez la droite passant par ces deux points.

Points d'intersection avec les axes :

• Avec l'axe des ordonnées (axe y) : On pose $x=0$ dans l'équation de la droite. Le point est $(0; p)$ (l'ordonnée à l'origine).
• Avec l'axe des abscisses (axe x) : On pose $y=0$ dans l'équation de la droite. On résout $mx+p=0$ pour trouver $x = -p/m$. Le point est $(-p/m; 0)$.

Droites parallèles : Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente $m$. Si leurs équations réduites sont $y = m_1x + p_1$ et $y = m_2x + p_2$, elles sont parallèles si $m_1 = m_2$. Dans le cas des droites verticales, elles sont toutes parallèles entre elles (par exemple, $x=2$ et $x=5$).

Droites sécantes : Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un seul point. Cela se produit si et seulement si elles n'ont pas la même pente ($m_1 \neq m_2$).

Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations du premier degré avec deux variables (souvent $x$ et $y$). La solution d'un tel système est le couple $(x; y)$ qui vérifie simultanément les deux équations.

Méthode par substitution :

1. Exprimez une des inconnues en fonction de l'autre à partir de l'une des équations.
2. Substituez cette expression dans la deuxième équation.
3. Vous obtenez une équation à une seule inconnue, que vous pouvez résoudre.
4. Une fois une inconnue trouvée, remplacez sa valeur dans l'expression de l'autre inconnue pour trouver sa valeur.

Exemple : $\begin{cases} y = 2x + 1 \quad (L_1) \\ 3x + y = 6 \quad (L_2) \end{cases}$

1. $(L_1)$ donne $y = 2x + 1$.
2. Substituez $y$ dans $(L_2)$ : $3x + (2x + 1) = 6$.
3. $5x + 1 = 6 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1$.
4. Remplacez $x=1$ dans $y = 2x + 1 \Rightarrow y = 2(1) + 1 \Rightarrow y = 3$. La solution est $(1; 3)$.

Méthode par combinaison linéaire (ou addition) :

1. Multipliez une ou les deux équations par des nombres appropriés de sorte que les coefficients d'une des inconnues soient opposés.
2. Additionnez les deux équations membre à membre. Une des inconnues va s'annuler.
3. Résolvez l'équation à une inconnue restante.
4. Remplacez la valeur trouvée dans l'une des équations de départ pour trouver l'autre inconnue.

Exemple : $\begin{cases} 2x + y = 7 \quad (L_1) \\ x - y = 2 \quad (L_2) \end{cases}$

1. Les coefficients de $y$ sont déjà opposés ($+1$ et $-1$).
2. Additionnez $(L_1)$ et $(L_2)$ : $(2x + y) + (x - y) = 7 + 2 \Rightarrow 3x = 9$.
3. $x = 3$.
4. Remplacez $x=3$ dans $(L_2)$ : $3 - y = 2 \Rightarrow y = 1$. La solution est $(3; 1)$.

Interprétation graphique : Résoudre un système de deux équations à deux inconnues revient à trouver les coordonnées du (ou des) point(s) d'intersection des deux droites représentées par ces équations.

• Une solution unique : Les deux droites sont sécantes. Le point d'intersection est la solution.
• Aucune solution : Les deux droites sont strictement parallèles. Elles ne se coupent jamais.
• Une infinité de solutions : Les deux droites sont confondues. Tous les points de la droite sont solutions.

Nombre de solutions : Un système linéaire peut avoir :

• Une solution unique : c'est le cas général des droites sécantes.
• Aucune solution : si les droites sont parallèles et distinctes.
• Une infinité de solutions : si les droites sont confondues.

Les systèmes d'équations sont très utiles pour résoudre des problèmes concrets.

Intersection de deux droites : Pour trouver le point d'intersection de deux droites dont on connaît les équations, il suffit de résoudre le système formé par ces deux équations.

Problèmes concrets : De nombreux problèmes de la vie courante peuvent être modélisés et résolus avec des systèmes d'équations :

• Calculer des âges, des prix, des quantités.
• Déterminer des vitesses, des distances, des temps.
• Répartir des ressources.

Conditions d'alignement : On peut vérifier si trois points A, B, C sont alignés en vérifiant si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Graphiquement, cela signifie qu'ils appartiennent à la même droite.

Appartenance d'un point à une droite : Un point M=$(x_M; y_M)$ appartient à une droite d'équation $ax+by+c=0$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation : $ax_M + by_M + c = 0$. Si l'équation est sous forme réduite $y=mx+p$, le point M appartient à la droite si $y_M = mx_M + p$.

Pour se repérer dans l'espace, il faut une troisième coordonnée.

Repère de l'espace : Un repère de l'espace est constitué de trois axes perpendiculaires qui se coupent en une origine O. Ces axes sont l'axe des abscisses (x), l'axe des ordonnées (y) et l'axe des cotes (z). On le note $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Coordonnées d'un point : Tout point M de l'espace est repéré par un triplet de nombres $(x_M; y_M; z_M)$, où $x_M$ est son abscisse, $y_M$ son ordonnée et $z_M$ sa cote.

Plans de coordonnées : Les trois axes définissent trois plans de coordonnées :

• Le plan $(Oxy)$, d'équation $z=0$. C'est le "sol".
• Le plan $(Oxz)$, d'équation $y=0$.
• Le plan $(Oyz)$, d'équation $x=0$. Ces plans divisent l'espace en huit régions appelées octants.

Visualisation 3D : La représentation en perspective cavalière est une technique courante pour dessiner des solides en 3D sur une feuille 2D.

• Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
• Les arêtes fuyantes sont dessinées avec une inclinaison et une réduction de longueur (coefficient de réduction).
• Les arêtes cachées sont souvent représentées en pointillés. Il est important de s'entraîner à visualiser ces objets dans l'espace.

Il existe de nombreux solides géométriques que l'on rencontre fréquemment.

• Cube : Solide à 6 faces carrées égales. Toutes ses arêtes sont de même longueur.
• Pavé droit (ou parallélépipède rectangle) : Solide à 6 faces rectangulaires. Ses faces opposées sont égales et parallèles.
• Prisme droit : Composé de deux bases polygonales parallèles et superposables, reliées par des faces latérales rectangulaires (ou carrées). Exemples : prisme à base triangulaire, prisme à base hexagonale.
• Cylindre de révolution : Composé de deux bases circulaires parallèles et superposables, reliées par une surface latérale courbe. Il est généré par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés.
• Pyramide : Composée d'une base polygonale et de faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un point appelé sommet. Exemples : pyramide à base carrée, pyramide à base triangulaire (tétraèdre).
• Cône de révolution : Composé d'une base circulaire et d'une surface latérale courbe qui se rejoint en un sommet. Il est généré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés.
• Sphère et boule : Une sphère est l'ensemble des points de l'espace équidistants d'un point central (le centre). Une boule est le solide délimité par une sphère (elle inclut tous les points à l'intérieur de la sphère).

Une section plane d'un solide est la figure obtenue en coupant ce solide par un plan.

Section d'un cube par un plan : Selon l'inclinaison du plan, la section d'un cube peut être :

• Un carré (plan parallèle à une face).
• Un rectangle (plan parallèle à une arête, mais pas à une face).
• Un triangle (plan coupant trois arêtes adjacentes).
• Un trapèze, un pentagone, ou même un hexagone (pour des coupes plus complexes).

Section d'un cylindre par un plan :

• Un cercle (plan parallèle aux bases).
• Un rectangle (plan parallèle à l'axe du cylindre).
• Une ellipse (plan oblique par rapport aux bases).

Nature de la section : Il est important de pouvoir identifier la forme de la section et de la dessiner, souvent en vraie grandeur. La nature de la section dépend de la position relative du plan par rapport au solide.

Représentation en perspective : Quand on dessine une section, on la représente souvent sur le solide en perspective cavalière, puis on la dessine à part, en vraie grandeur.

Connaître les formules de volumes et d'aires est essentiel pour les calculs pratiques.

Formules de volumes :

• Cube : $V = c^3$ (où $c$ est la longueur d'une arête).
• Pavé droit : $V = L \times l \times h$ (Longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur).
• Prisme droit / Cylindre : $V = \text{Aire de la base} \times h$ (hauteur).
  • Cylindre : $V = \pi r^2 h$.
• Pyramide / Cône : $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times h$.
  • Cône : $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
• Boule : $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.

Formules d'aires :

• Aire latérale : Surface des faces qui ne sont pas les bases.
• Aire totale : Aire latérale + Aire des bases.
• Cube : Aire totale $= 6c^2$.
• Pavé droit : Aire totale $= 2(Ll + Lh + lh)$.
• Cylindre :
  • Aire latérale $= 2\pi r h$.
  • Aire totale $= 2\pi r h + 2\pi r^2$.
• Sphère : Aire $= 4\pi r^2$.

Unités de mesure :

• Les longueurs sont en mètres (m), centimètres (cm), etc.
• Les aires sont en mètres carrés (m²), centimètres carrés (cm²), etc.
• Les volumes sont en mètres cubes (m³), centimètres cubes (cm³), litres (L), etc.
  • Rappel : $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$.

Calculs pratiques : Ces formules sont utilisées pour résoudre des problèmes concrets : calculer la quantité de peinture nécessaire pour un mur, le volume d'eau dans une piscine, la capacité d'un réservoir, etc. N'oubliez pas de toujours vérifier les unités et de les convertir si nécessaire avant d'effectuer les calculs.