Introduction aux suites numériques

Une suite numérique est simplement une liste ordonnée de nombres réels. Ces nombres sont générés selon une certaine règle. Ce qui est important, c'est l'ordre : il y a un premier nombre, un deuxième, un troisième, et ainsi de suite.

Chaque nombre de la suite est appelé un terme. Pour identifier un terme, on utilise une notation spécifique :

• Le terme général d'une suite est souvent noté $u_n$ (prononcé "u indice n") ou $v_n$, $w_n$, etc.
• Le petit $n$ en indice est l'indice du terme. Il indique la position du terme dans la suite.
• L'indice $n$ est généralement un nombre entier naturel. Souvent, la suite commence à $n=0$ (le premier terme est alors $u_0$) ou à $n=1$ (le premier terme est $u_1$).

L'ensemble de définition des indices est généralement $\mathbb{N}$ (pour $n \ge 0$) ou $\mathbb{N}^*$ (pour $n \ge 1$).

Exemple : La suite des nombres pairs peut être notée $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $u_n = 2n$. Alors :

• $u_0 = 2 \times 0 = 0$
• $u_1 = 2 \times 1 = 2$
• $u_2 = 2 \times 2 = 4$
• Etc.

La suite est donc $0, 2, 4, 6, \dots$

Une suite est une fonction dont l'ensemble de départ est $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) et l'ensemble d'arrivée est $\mathbb{R}$.

Il existe principalement deux façons de définir une suite numérique :

1. Par une formule explicite (en fonction de $n$) : C'est la méthode la plus directe. On donne une formule qui permet de calculer n'importe quel terme $u_n$ directement à partir de son indice $n$. Exemple : $u_n = n^2 - 3$. Pour trouver $u_5$, on remplace $n$ par $5$ : $u_5 = 5^2 - 3 = 25 - 3 = 22$.

2. Par une formule de récurrence (en fonction du terme précédent) : Dans ce cas, pour calculer un terme, on a besoin de connaître le ou les termes qui le précèdent. On doit toujours donner le premier terme (ou les premiers termes) de la suite pour pouvoir la "démarrer". Exemple : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Pour trouver $u_1$, on utilise $u_0$ : $u_1 = 2u_0 + 3 = 2(1) + 3 = 5$. Pour trouver $u_2$, on utilise $u_1$ : $u_2 = 2u_1 + 3 = 2(5) + 3 = 13$. Une formule de récurrence nécessite toujours un ou plusieurs termes initiaux pour être définie.

3. Par une description (par une phrase) : Parfois, une suite est décrite par une règle en langage courant, sans formule mathématique directe. Exemple : "La suite des nombres premiers dans l'ordre croissant". Les termes sont $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ Il n'existe pas de formule explicite simple pour cette suite.

Calculer les premiers termes est essentiel pour comprendre le comportement d'une suite.

• Avec une formule explicite : Il suffit de remplacer $n$ par les valeurs des indices souhaités (0, 1, 2, 3...). Soit la suite définie par $u_n = \frac{n+1}{n+2}$ pour $n \in \mathbb{N}$.

  • $u_0 = \frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2}$
  • $u_1 = \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$
  • $u_2 = \frac{2+1}{2+2} = \frac{3}{4}$
  • $u_3 = \frac{3+1}{3+2} = \frac{4}{5}$

• Avec une formule de récurrence : On doit partir du premier terme donné et calculer les termes suivants un par un, dans l'ordre. Soit la suite définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = 0,5 u_n - 1$ pour $n \in \mathbb{N}$.

  • $u_0 = 4$ (donné)
  • $u_1 = 0,5 \times u_0 - 1 = 0,5 \times 4 - 1 = 2 - 1 = 1$
  • $u_2 = 0,5 \times u_1 - 1 = 0,5 \times 1 - 1 = 0,5 - 1 = -0,5$
  • $u_3 = 0,5 \times u_2 - 1 = 0,5 \times (-0,5) - 1 = -0,25 - 1 = -1,25$

C'est une erreur fréquente de vouloir "sauter" des étapes avec une formule de récurrence. Chaque terme dépend du précédent !

Contrairement aux fonctions dont la courbe est souvent continue, la représentation graphique d'une suite est un nuage de points isolés. Pour chaque terme $u_n$:

• L'abscisse du point est l'indice $n$.
• L'ordonnée du point est la valeur du terme $u_n$.

On place donc les points de coordonnées $(0; u_0)$, $(1; u_1)$, $(2; u_2)$, etc. dans un repère orthogonal. On ne relie PAS ces points, car la suite n'est définie que pour des indices entiers.

Exemple : Représentation de la suite $u_n = n^2 - 2$.

• $u_0 = -2 \implies (0; -2)$
• $u_1 = -1 \implies (1; -1)$
• $u_2 = 2 \implies (2; 2)$
• $u_3 = 7 \implies (3; 7)$

Ces points ne sont pas alignés, ils forment un nuage.

Les tableurs (comme Excel, LibreOffice Calc) et les calculatrices graphiques sont des outils très utiles pour travailler avec les suites.

• Tableur :

  1. Dans une colonne (par exemple A), entrez les indices $n$: $0, 1, 2, 3, \dots$
  2. Dans la colonne suivante (par exemple B), entrez la formule de la suite.
     • Formule explicite : Si $u_n = n^2 - 3$, en B1 vous entrerez =A1^2 - 3. Ensuite, étirez la formule vers le bas.
     • Formule de récurrence : Si $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$. En B1, entrez la valeur de $u_0$ (ici, 1). En B2, entrez la formule =2*B1 + 3. Ensuite, étirez la formule vers le bas.
  3. Vous pouvez ensuite sélectionner les deux colonnes et créer un graphique de type "Nuage de points".

• Calculatrice graphique (comme une TI ou Casio) :

  1. Passez en mode "Suite" (mode "SEQ" ou "SUITE").
  2. Entrez la formule de la suite (explicite ou de récurrence) et le premier terme.
  3. Affichez le tableau de valeurs pour voir les termes.
  4. Affichez le graphique pour voir le nuage de points.

Ces outils permettent de générer rapidement de nombreux termes et d'obtenir une visualisation instantanée.

L'analyse du nuage de points permet de tirer des conclusions sur le comportement de la suite :

• Sens de variation visuel :
  • Si les points "montent" de gauche à droite, la suite est probablement croissante.
  • Si les points "descendent" de gauche à droite, la suite est probablement décroissante.
  • Si les points restent à la même hauteur, la suite est constante.
• Comportement à long terme (tendance) : Les points semblent-ils se rapprocher d'une certaine valeur ? S'éloignent-ils indéfiniment vers l'infini ? Ce sont des questions sur la limite de la suite, un concept que vous étudierez plus tard.
• Points isolés : Rappelez-vous que ce sont des points discrets, non liés. L'allure générale est une tendance, pas une courbe continue.

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre constant est appelé la raison de la suite, et il est généralement noté $r$.

La relation de récurrence qui caractérise une suite arithmétique est : $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (ou $n \in \mathbb{N}^*$ selon le premier terme).

Autrement dit, la différence entre deux termes consécutifs est constante : $u_{n+1} - u_n = r$

Exemple : Soit la suite $1, 4, 7, 10, 13, \dots$

• $4 - 1 = 3$
• $7 - 4 = 3$
• $10 - 7 = 3$ La raison $r = 3$. Le premier terme est $u_0 = 1$.

Grâce à la raison $r$, on peut trouver une formule pour exprimer n'importe quel terme $u_n$ en fonction de $n$ et du premier terme.

Si le premier terme est $u_0$ : $u_1 = u_0 + r$ $u_2 = u_1 + r = (u_0 + r) + r = u_0 + 2r$ $u_3 = u_2 + r = (u_0 + 2r) + r = u_0 + 3r$ On observe une régularité : pour obtenir $u_n$, on ajoute $r$ $n$ fois à $u_0$. Donc, la formule explicite est : $u_n = u_0 + n \times r$

Si le premier terme est $u_1$ : Alors $u_n = u_1 + (n-1) \times r$.

Plus généralement, pour calculer un terme $u_n$ à partir de n'importe quel terme $u_p$ (avec $p \le n$) : $u_n = u_p + (n-p) \times r$ Cette formule est très utile pour calculer un terme lointain sans avoir à calculer tous les termes intermédiaires.

Exemple : Soit une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = -2$. Calculons $u_{10}$ : $u_{10} = u_0 + 10 \times r = 5 + 10 \times (-2) = 5 - 20 = -15$.

Les points $(n; u_n)$ d'une suite arithmétique sont toujours alignés. Ils se situent sur une droite.

• Cette droite a pour équation $y = rx + u_0$ (si le premier terme est $u_0$).
• La pente de cette droite est égale à la raison $r$ de la suite.

Cela établit un lien fort avec les fonctions affines ($f(x) = ax+b$). Une suite arithmétique est une fonction affine définie sur les entiers naturels.

La somme des termes d'une suite arithmétique est un sujet important. Pour l'instant, nous allons nous concentrer sur un cas particulier célèbre : la somme des $n$ premiers entiers naturels.

Il s'agit de la somme $S = 1 + 2 + 3 + \dots + n$. La légende raconte que le jeune Gauss a trouvé une astuce pour la calculer rapidement. Il a remarqué que si l'on additionne le premier et le dernier terme ($1+n$), le deuxième et l'avant-dernier ($2+(n-1)$), etc., on obtient toujours la même somme $(n+1)$. Il y a $n$ termes dans la somme, donc $n/2$ paires. La célèbre formule de Gauss est : $S_n = \frac{n \times (n+1)}{2}$

Exemple : Somme des 100 premiers entiers : $1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times (100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$.

Plus tard, vous apprendrez la formule générale pour la somme de $N$ termes d'une suite arithmétique : $S_N = N \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$.

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul. Ce nombre constant est appelé la raison de la suite, et il est généralement noté $q$.

La relation de récurrence qui caractérise une suite géométrique est : $u_{n+1} = u_n \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (ou $n \in \mathbb{N}^*$).

Autrement dit, le rapport entre deux termes consécutifs est constant (si $u_n \ne 0$) : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$

Exemple : Soit la suite $2, 6, 18, 54, \dots$

• $6 / 2 = 3$
• $18 / 6 = 3$
• $54 / 18 = 3$ La raison $q = 3$. Le premier terme est $u_0 = 2$.

De manière similaire aux suites arithmétiques, on peut trouver une formule explicite pour les suites géométriques.

Si le premier terme est $u_0$ : $u_1 = u_0 \times q$ $u_2 = u_1 \times q = (u_0 \times q) \times q = u_0 \times q^2$ $u_3 = u_2 \times q = (u_0 \times q^2) \times q = u_0 \times q^3$ On voit que pour obtenir $u_n$, on multiplie $u_0$ par $q$ $n$ fois. Donc, la formule explicite est : $u_n = u_0 \times q^n$

Si le premier terme est $u_1$ : Alors $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.

Plus généralement, pour calculer un terme $u_n$ à partir de n'importe quel terme $u_p$ (avec $p \le n$) : $u_n = u_p \times q^{n-p}$

Exemple : Soit une suite géométrique de premier terme $u_0 = 100$ et de raison $q = 0,5$. Calculons $u_4$ : $u_4 = u_0 \times q^4 = 100 \times (0,5)^4 = 100 \times 0,0625 = 6,25$.

Les points $(n; u_n)$ d'une suite géométrique ne sont pas alignés (sauf cas particuliers comme $q=1$). Leur allure rappelle les fonctions exponentielles ($f(x) = a \times b^x$).

• Si $q > 1$ (et $u_0 > 0$), la suite croît rapidement (croissance exponentielle).
• Si $0 < q < 1$ (et $u_0 > 0$), la suite décroît et se rapproche de 0.
• Si $q < 0$, les termes alternent de signe, créant une allure en "dents de scie".

La croissance ou la décroissance d'une suite géométrique est souvent beaucoup plus rapide que celle d'une suite arithmétique.

Les suites géométriques modélisent de nombreux phénomènes réels :

• Intérêts composés : Si vous placez de l'argent avec un taux d'intérêt annuel, le capital augmente selon une suite géométrique. Si vous placez 1000€ à 3% par an, le capital après $n$ années est $1000 \times (1+0,03)^n$.
• Évolution d'une population : Une population qui augmente ou diminue d'un certain pourcentage fixe chaque année suit une suite géométrique.
• Réduction successive : Par exemple, la valeur d'un objet qui perd 10% de sa valeur chaque année.

• Une suite $(u_n)$ est croissante si, pour tout $n$, $u_{n+1} \ge u_n$. (Chaque terme est supérieur ou égal au précédent).
• Une suite $(u_n)$ est strictement croissante si, pour tout $n$, $u_{n+1} > u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est décroissante si, pour tout $n$, $u_{n+1} \le u_n$. (Chaque terme est inférieur ou égal au précédent).
• Une suite $(u_n)$ est strictement décroissante si, pour tout $n$, $u_{n+1} < u_n$.
• Une suite $(u_n)$ est constante si, pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n$. (C'est un cas particulier de suite croissante et décroissante).
• Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer le sens de variation d'une suite :

1. Étude du signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ : C'est la méthode la plus générale. On calcule $u_{n+1} - u_n$ et on étudie son signe.

   • Si $u_{n+1} - u_n > 0$, alors $u_{n+1} > u_n$, la suite est strictement croissante.
   • Si $u_{n+1} - u_n < 0$, alors $u_{n+1} < u_n$, la suite est strictement décroissante.
   • Si $u_{n+1} - u_n = 0$, alors $u_{n+1} = u_n$, la suite est constante.

   Exemple : Soit $u_n = n^2 + 2n$. $u_{n+1} - u_n = ((n+1)^2 + 2(n+1)) - (n^2 + 2n)$ $= (n^2 + 2n + 1 + 2n + 2) - n^2 - 2n$ $= n^2 + 4n + 3 - n^2 - 2n$ $= 2n + 3$. Pour $n \in \mathbb{N}$, $2n + 3$ est toujours positif. Donc $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

2. Comparaison du rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (pour les termes strictement positifs) : Cette méthode est utile lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs.

   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$, alors $u_{n+1} > u_n$, la suite est strictement croissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, alors $u_{n+1} < u_n$, la suite est strictement décroissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$, alors $u_{n+1} = u_n$, la suite est constante.

   Exemple : Soit $u_n = 2^n$. Tous les termes sont positifs. $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$. Puisque $2 > 1$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

3. Utilisation de la fonction associée (pour suites explicites) : Si une suite est définie par une formule explicite $u_n = f(n)$, on peut étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$ (ou $[1; +\infty[$).

   • Si $f$ est croissante sur cet intervalle, alors la suite $(u_n)$ est croissante.
   • Si $f$ est décroissante sur cet intervalle, alors la suite $(u_n)$ est décroissante.

   Exemple : Soit $u_n = \frac{1}{n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$. On considère la fonction $f(x) = \frac{1}{x+1}$ pour $x \ge 0$. Pour étudier son sens de variation, on peut calculer sa dérivée : $f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$. Pour $x \ge 0$, $(x+1)^2 > 0$, donc $f'(x) < 0$. La fonction $f$ est décroissante sur $[0; +\infty[$. Donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Le sens de variation des suites arithmétiques et géométriques est directement lié à leur raison.

• Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n = r$.

  • Si $r > 0$, la suite est strictement croissante.
  • Si $r < 0$, la suite est strictement décroissante.
  • Si $r = 0$, la suite est constante.

• Suites géométriques : $u_{n+1} = u_n \times q$ Le sens de variation dépend du signe de $u_0$ (ou du premier terme) ET de la valeur de $q$. On étudie le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$.

  • Cas $u_0 > 0$ :
    • Si $q > 1$, la suite est strictement croissante. (Ex: $2, 4, 8, \dots$)
    • Si $0 < q < 1$, la suite est strictement décroissante. (Ex: $100, 50, 25, \dots$)
    • Si $q = 1$, la suite est constante. (Ex: $5, 5, 5, \dots$)
  • Cas $u_0 < 0$ :
    • Si $q > 1$, la suite est strictement décroissante. (Ex: $-2, -4, -8, \dots$)
    • Si $0 < q < 1$, la suite est strictement croissante. (Ex: $-100, -50, -25, \dots$)
    • Si $q = 1$, la suite est constante. (Ex: $-5, -5, -5, \dots$)
  • Cas $q < 0$ : La suite n'est PAS monotone. Les termes alternent de signe, elle est dite alternée. (Ex: $u_0=1, q=-2 \implies 1, -2, 4, -8, \dots$)
  • Cas $q = 0$ : Si $u_0 \ne 0$, alors $u_0, 0, 0, 0, \dots$. La suite est constante à partir du deuxième terme.
  • Cas $u_0 = 0$ : La suite est constante et égale à 0 ($0, 0, 0, \dots$).

Attention aux cas particuliers pour les suites géométriques, notamment quand $q$ est négatif ou égal à 0 ou 1, ou quand le premier terme est négatif.