Logique et raisonnement

La logique est l'étude des principes du raisonnement valide. En mathématiques, elle est fondamentale car elle nous permet de construire des arguments solides et de prouver que nos affirmations sont vraies. C'est un outil essentiel pour comprendre et élaborer des démonstrations.

L'importance en mathématiques de la logique est capitale : elle assure la cohérence et la validité de toutes les théories mathématiques. Sans une logique rigoureuse, les mathématiques ne seraient qu'un ensemble d'affirmations sans fondement.

Il existe deux types principaux de raisonnement :

• Le raisonnement déductif : Il part de principes généraux (des hypothèses ou des axiomes) pour arriver à une conclusion spécifique et certaine. Si les prémisses sont vraies, la conclusion doit être vraie. C'est le type de raisonnement le plus utilisé en mathématiques.
  • Exemple : Tous les hommes sont mortels. Socrate est un homme. Donc, Socrate est mortel.
• Le raisonnement inductif : Il part d'observations spécifiques pour tenter d'établir une règle générale. La conclusion est probable, mais pas certaine. Il est plus courant dans les sciences expérimentales.
  • Exemple : Tous les cygnes que j'ai vus sont blancs. Donc, tous les cygnes sont blancs. (Cette conclusion pourrait être fausse si un cygne noir existe).

En mathématiques, nous nous concentrons presque exclusivement sur le raisonnement déductif.

Une proposition est une phrase déclarative qui peut être soit vraie, soit fausse, mais pas les deux à la fois. C'est l'unité de base de la logique.

• Exemples de propositions :

  • "La Terre est ronde." (Vraie)
  • "2 + 2 = 5." (Fausse)
  • "Paris est la capitale de la France." (Vraie)
  • "Tous les nombres premiers sont impairs." (Fausse, car 2 est premier et pair)

• Non-exemples de propositions :

  • "Quel temps fait-il ?" (C'est une question)
  • "Va chercher le pain !" (C'est un ordre)
  • "Cette phrase est fausse." (C'est un paradoxe, elle ne peut être ni vraie ni fausse de manière cohérente)
  • "$x + 3 = 7$" (Ce n'est pas une proposition sans connaître la valeur de $x$. Cela devient une proposition si $x$ est défini, par exemple "Si $x=4$, alors $x+3=7$").

La valeur de vérité d'une proposition est l'indication qu'elle est Vrai (souvent noté V ou 1) ou Faux (souvent noté F ou 0).

Les opérateurs logiques permettent de combiner des propositions simples pour en former de plus complexes.

• Négation (non) : Notée $\neg P$ ou $\overline{P}$. Si $P$ est vraie, $\neg P$ est fausse. Si $P$ est fausse, $\neg P$ est vraie.
  • Exemple : Soit $P$ : "Il pleut". Alors $\neg P$ : "Il ne pleut pas".
• Conjonction (et) : Notée $P \land Q$. $P \land Q$ est vraie seulement si $P$ est vraie ET $Q$ est vraie. Dans tous les autres cas, elle est fausse.
  • Exemple : Soit $P$ : "J'ai un crayon". Soit $Q$ : "J'ai du papier". Alors $P \land Q$ : "J'ai un crayon et j'ai du papier."
• Disjonction (ou) : Notée $P \lor Q$. $P \lor Q$ est vraie si $P$ est vraie OU $Q$ est vraie (ou les deux). Elle est fausse seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux fausses. C'est le "ou" inclusif.
  • Exemple : Soit $P$ : "Je mange une pomme". Soit $Q$ : "Je mange une orange". Alors $P \lor Q$ : "Je mange une pomme ou je mange une orange." (Je peux manger les deux).

Une table de vérité est un tableau qui liste toutes les combinaisons possibles des valeurs de vérité des propositions simples et la valeur de vérité résultante de la proposition complexe. C'est un outil essentiel pour analyser la validité d'une expression logique.

• Construction de tables de vérité :

  • Listez toutes les propositions simples impliquées (par exemple, $P$, $Q$).
  • Listez toutes les combinaisons possibles de leurs valeurs de vérité (2 propositions donnent $2^2=4$ combinaisons, 3 propositions donnent $2^3=8$ combinaisons, etc.).
  • Calculez la valeur de vérité pour chaque partie de l'expression complexe, étape par étape, jusqu'à obtenir la valeur de vérité finale.

• Exemples de tables de vérité :

  $P$	$\neg P$
  V	F
  F	V

  $P$	$Q$	$P \land Q$
  V	V	V
  V	F	F
  F	V	F
  F	F	F

  $P$	$Q$	$P \lor Q$
  V	V	V
  V	F	V
  F	V	V
  F	F	F

L'équivalence logique signifie que deux propositions complexes ont la même table de vérité. On dit qu'elles sont logiquement équivalentes. On la note souvent $A \iff B$.

• Exemple : $\neg(P \land Q)$ est logiquement équivalente à $\neg P \lor \neg Q$ (Lois de De Morgan).

L'implication logique, notée $P \implies Q$, se lit "si $P$ alors $Q$" ou "P implique Q". C'est l'un des concepts les plus importants en mathématiques pour les démonstrations.

• $P$ est appelée l'hypothèse ou l'antécédent.
• $Q$ est appelée la conclusion ou le conséquent.

L'implication $P \implies Q$ est vraie dans tous les cas, sauf lorsque $P$ est vraie et $Q$ est fausse.

• Si $P$ est vraie et $Q$ est vraie, alors $P \implies Q$ est vraie.
• Si $P$ est vraie et $Q$ est fausse, alors $P \implies Q$ est fausse.
• Si $P$ est fausse (quelle que soit la valeur de $Q$), alors $P \implies Q$ est vraie. "Faux implique n'importe quoi" est toujours vrai en logique.

La condition suffisante : $P$ est une condition suffisante pour $Q$ signifie que si $P$ est vraie, alors $Q$ est nécessairement vraie. ($P \implies Q$)

• Exemple : "Être un carré" est une condition suffisante pour "être un rectangle". (Si une figure est un carré, alors elle est nécessairement un rectangle).

La condition nécessaire : $P$ est une condition nécessaire pour $Q$ signifie que $Q$ ne peut pas être vraie si $P$ n'est pas vraie. En d'autres termes, si $Q$ est vraie, alors $P$ doit l'être aussi. ($Q \implies P$, ou $\neg P \implies \neg Q$)

• Exemple : "Avoir 4 côtés" est une condition nécessaire pour "être un carré". (Si une figure est un carré, alors elle a nécessairement 4 côtés).

Comprendre la table de vérité de l'implication est crucial :

• Cas particuliers de l'implication :
  • Si l'hypothèse est fausse, l'implication est toujours vraie. "Si 2+2=5, alors la Terre est plate" est une implication vraie. Cela peut sembler contre-intuitif, mais c'est ainsi que l'implication est définie en logique formelle.
  • Si la conclusion est vraie, l'implication est toujours vraie. "Si le ciel est vert, alors 2+2=4" est une implication vraie.

La contraposée d'une implication $P \implies Q$ est $\neg Q \implies \neg P$. Elles sont logiquement équivalentes, c'est-à-dire qu'elles ont la même table de vérité.

• Démontrer $P \implies Q$ est équivalent à démontrer $\neg Q \implies \neg P$. C'est la base du raisonnement par contraposée.
• Exemple : "Si un nombre est pair, alors son carré est pair." ($P \implies Q$)
  • Contraposée : "Si le carré d'un nombre n'est pas pair (donc est impair), alors le nombre n'est pas pair (donc est impair)." ($\neg Q \implies \neg P$)
  • Ces deux énoncés disent la même chose.

L'équivalence logique, notée $P \iff Q$, se lit "$P$ si et seulement si $Q$" ou "$P$ est équivalent à $Q$". Elle signifie que $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.

• $P \iff Q$ est vraie si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies, ou si $P$ et $Q$ sont toutes les deux fausses.
• $P \iff Q$ est fausse si $P$ est vraie et $Q$ est fausse, ou si $P$ est fausse et $Q$ est vraie.

• Condition nécessaire et suffisante : Dire que $P$ est une condition nécessaire et suffisante pour $Q$ signifie que $P \iff Q$.

  • Exemple : "Un triangle est équilatéral" est une condition nécessaire et suffisante pour "ses trois angles mesurent 60°."

• Lien avec double implication : L'équivalence $P \iff Q$ est logiquement équivalente à $(P \implies Q) \land (Q \implies P)$. Pour prouver une équivalence, on démontre souvent les deux implications séparément.

Ces propriétés sont similaires à celles des opérations arithmétiques et permettent de simplifier ou de réécrire des expressions logiques.

• Commutativité : L'ordre des propositions n'affecte pas le résultat.
  • $P \land Q \iff Q \land P$
  • $P \lor Q \iff Q \lor P$
  • $P \iff Q \iff Q \iff P$
• Associativité : Le regroupement des propositions n'affecte pas le résultat.
  • $(P \land Q) \land R \iff P \land (Q \land R)$
  • $(P \lor Q) \lor R \iff P \lor (Q \lor R)$
• Distributivité : Un opérateur peut être distribué sur un autre.
  • $P \land (Q \lor R) \iff (P \land Q) \lor (P \land R)$
  • $P \lor (Q \land R) \iff (P \lor Q) \land (P \lor R)$
• Lois de De Morgan : Très importantes pour la négation.
  • $\neg (P \land Q) \iff \neg P \lor \neg Q$ (La négation d'un "et" est un "ou" des négations)
  • $\neg (P \lor Q) \iff \neg P \land \neg Q$ (La négation d'un "ou" est un "et" des négations)

Le quantificateur universel, noté $\forall$, se lit "pour tout", "pour chaque" ou "quel que soit". Il indique qu'une propriété est vraie pour tous les éléments d'un ensemble donné.

• Symbole : $\forall$
• Signification et utilisation : Une proposition de la forme $\forall x \in E, P(x)$ signifie que la propriété $P(x)$ est vraie pour chaque élément $x$ appartenant à l'ensemble $E$.
  • Exemple : $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0$. (Pour tout nombre réel $x$, son carré est supérieur ou égal à 0).
  • Exemple : $\forall n \in \mathbb{N}, n+1 > n$. (Pour tout entier naturel $n$, $n+1$ est strictement supérieur à $n$).

Pour prouver qu'une proposition universelle est vraie, il faut démontrer qu'elle l'est pour chaque élément. Pour prouver qu'elle est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple.

Le quantificateur existentiel, noté $\exists$, se lit "il existe", "il existe au moins un" ou "il y a au moins un". Il indique qu'une propriété est vraie pour au moins un élément d'un ensemble donné.

• Symbole : $\exists$
• Signification et utilisation : Une proposition de la forme $\exists x \in E, P(x)$ signifie qu'il existe au moins un élément $x$ dans l'ensemble $E$ pour lequel la propriété $P(x)$ est vraie.
  • Exemple : $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 4$. (Il existe au moins un nombre réel $x$ tel que son carré est égal à 4. Ici, $x=2$ ou $x=-2$).
  • Exemple : $\exists n \in \mathbb{N}, n \text{ est pair}$. (Il existe au moins un entier naturel qui est pair. Par exemple, $n=2$).

Pour prouver qu'une proposition existentielle est vraie, il suffit de trouver un seul exemple. Pour prouver qu'elle est fausse, il faut démontrer qu'elle est fausse pour chaque élément.

Néger une proposition quantifiée est une compétence essentielle.

• Négation de $\forall$ : La négation de "pour tout $x$, $P(x)$ est vraie" est "il existe un $x$ pour lequel $P(x)$ est fausse".

  • $\neg (\forall x \in E, P(x)) \iff \exists x \in E, \neg P(x)$
  • Exemple : Négation de "Tous les oiseaux volent" est "Il existe un oiseau qui ne vole pas" (par exemple, un pingouin).

• Négation de $\exists$ : La négation de "il existe un $x$ tel que $P(x)$ est vraie" est "pour tout $x$, $P(x)$ est fausse".

  • $\neg (\exists x \in E, P(x)) \iff \forall x \in E, \neg P(x)$
  • Exemple : Négation de "Il existe un nombre premier pair" est "Tous les nombres premiers sont impairs".

Ces règles sont une forme généralisée des lois de De Morgan vues précédemment.

La logique et la théorie des ensembles sont étroitement liées. Les quantificateurs sont souvent utilisés pour définir des propriétés sur les éléments d'un ensemble.

• Appartenance ($\in$) : $x \in E$ signifie que l'élément $x$ appartient à l'ensemble $E$. C'est une proposition.

  • Exemple : $3 \in \mathbb{N}$ est vraie. $3 \in \emptyset$ est fausse.

• Inclusion ($\subset$ ou $\subseteq$) : $A \subset B$ ou $A \subseteq B$ signifie que l'ensemble $A$ est inclus dans l'ensemble $B$, c'est-à-dire que tous les éléments de $A$ sont aussi des éléments de $B$.

  • Ceci peut s'écrire avec un quantificateur : $(A \subseteq B) \iff (\forall x, (x \in A \implies x \in B))$.

• Intersection et union :

  • L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$.
    • $x \in (A \cap B) \iff (x \in A \land x \in B)$
  • L'union $A \cup B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (ou aux deux).
    • $x \in (A \cup B) \iff (x \in A \lor x \in B)$

La logique fournit le langage pour décrire précisément les relations entre les ensembles.

Le raisonnement direct, ou déduction, est la méthode la plus fondamentale en mathématiques. Il consiste à partir d'hypothèses connues pour arriver à une conclusion par une série d'étapes logiques, où chaque étape est justifiée.

• Partir des hypothèses : On commence par les faits ou les propriétés que l'on sait être vrais.

• Appliquer des règles logiques : On utilise des définitions, des axiomes, des théorèmes déjà démontrés, ou des règles d'inférence (comme le modus ponens : si $P$ est vraie et $P \implies Q$ est vraie, alors $Q$ est vraie).

• Conclure : On arrive à la proposition que l'on voulait démontrer.

• Exemple : Démontrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.

  1. Hypothèses : Soient $a$ et $b$ deux nombres pairs.
  2. Définition : Un nombre pair peut s'écrire sous la forme $2k$ où $k$ est un entier.
  3. Application : Donc, $a = 2k_1$ et $b = 2k_2$ pour certains entiers $k_1, k_2$.
  4. Calcul : La somme $a+b = 2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2)$.
  5. Conclusion : Puisque $(k_1 + k_2)$ est un entier, $2(k_1 + k_2)$ est un nombre pair. Donc $a+b$ est pair.

Le raisonnement par contraposée est basé sur l'équivalence logique entre une implication $P \implies Q$ et sa contraposée $\neg Q \implies \neg P$.

• Principe : Au lieu de démontrer directement $P \implies Q$, on démontre que si la conclusion $Q$ est fausse (c'est-à-dire $\neg Q$ est vraie), alors l'hypothèse $P$ doit aussi être fausse (c'est-à-dire $\neg P$ est vraie).

• Méthode :

  1. Identifier la proposition à démontrer sous la forme $P \implies Q$.
  2. Formuler la contraposée : $\neg Q \implies \neg P$.
  3. Supposer que $\neg Q$ est vraie.
  4. Utiliser un raisonnement direct pour montrer que $\neg P$ est vraie.
  5. Conclure que $P \implies Q$ est vraie.

• Exemple d'application : Démontrer que "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" (où $n$ est un entier).

  1. $P$: "$n^2$ est pair". $Q$: "$n$ est pair".
  2. Contraposée : "Si $n$ n'est pas pair (donc $n$ est impair), alors $n^2$ n'est pas pair (donc $n^2$ est impair)". ($\neg Q \implies \neg P$)
  3. Supposons $\neg Q$ vraie : Supposons que $n$ est impair.
  4. Raisonnement direct : Si $n$ est impair, alors $n$ peut s'écrire sous la forme $2k+1$ pour un entier $k$. Alors $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$. Puisque $(2k^2 + 2k)$ est un entier, $n^2$ est de la forme $2K+1$, donc $n^2$ est impair.
  5. Conclusion : Nous avons montré que si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair. Par contraposée, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Le raisonnement par l'absurde (ou reductio ad absurdum) est une technique puissante pour prouver qu'une proposition est vraie.

• Principe : Pour prouver qu'une proposition $P$ est vraie, on suppose que sa négation $\neg P$ est vraie. Si cette supposition mène à une contradiction logique (c'est-à-dire une affirmation qui est toujours fausse, comme "Vrai et Faux"), alors la supposition initiale $\neg P$ doit être fausse. Par conséquent, $P$ doit être vraie.

• Méthode :

  1. Identifier la proposition $P$ à démontrer.
  2. Supposer que la proposition $P$ est fausse, c'est-à-dire que $\neg P$ est vraie.
  3. Développer un raisonnement déductif à partir de $\neg P$.
  4. Arriver à une contradiction (par exemple, $Q \land \neg Q$).
  5. Conclure que la supposition $\neg P$ était fausse, et donc que $P$ est vraie.

• Exemple : Démontrer que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

  1. $P$: "$\sqrt{2}$ est irrationnel".
  2. Supposons $\neg P$ vraie : Supposons que $\sqrt{2}$ est rationnel.
  3. Raisonnement : Si $\sqrt{2}$ est rationnel, alors il peut s'écrire comme une fraction irréductible $\frac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers, $b \ne 0$, et $a$ et $b$ n'ont pas de facteur commun (la fraction est simplifiée au maximum). $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ $2 = \frac{a^2}{b^2}$ $2b^2 = a^2$ Ceci implique que $a^2$ est pair. D'après l'exemple précédent (raisonnement par contraposée), si $a^2$ est pair, alors $a$ est pair. Donc, on peut écrire $a = 2k$ pour un entier $k$. Substituons $a$ dans l'équation : $2b^2 = (2k)^2 = 4k^2$. En divisant par 2 : $b^2 = 2k^2$. Ceci implique que $b^2$ est pair. Et donc, $b$ est pair.
  4. Contradiction : Nous avons montré que $a$ est pair et $b$ est pair. Cela signifie que $a$ et $b$ ont un facteur commun (2). Ceci contredit notre hypothèse initiale que la fraction $\frac{a}{b}$ était irréductible (simplifiée au maximum).
  5. Conclusion : La supposition que $\sqrt{2}$ est rationnel a conduit à une contradiction. Par conséquent, $\sqrt{2}$ ne peut pas être rationnel ; il est irrationnel.

Le raisonnement par disjonction des cas est utile lorsque la démonstration d'une propriété dépend de différentes situations pour la variable ou l'objet étudié.

• Principe : Pour prouver une proposition $P$, on divise l'ensemble des possibilités en plusieurs cas mutuellement exclusifs et exhaustifs. On démontre ensuite la proposition pour chacun de ces cas. Si la proposition est vraie dans tous les cas, alors elle est vraie en général.

• Méthode :

  1. Identifier la proposition $P$ à démontrer.
  2. Identifier différentes situations ou "cas" qui couvrent toutes les possibilités pour le problème. Ces cas doivent être disjoints (ne pas se chevaucher) et leur union doit couvrir tout le domaine d'étude.
  3. Pour chaque cas, démontrer que la proposition $P$ est vraie.
  4. Conclure que $P$ est vraie dans tous les cas.

• Exemples :

  • Parité : Démontrer une propriété pour tout entier $n$. Les cas peuvent être : $n$ est pair ou $n$ est impair.
    • Exemple : Montrer que $n(n+1)$ est toujours pair pour tout entier $n$.
      • Cas 1 : $n$ est pair. Alors $n = 2k$ pour un entier $k$. Donc $n(n+1) = 2k(2k+1) = 2(k(2k+1))$, qui est un nombre pair.
      • Cas 2 : $n$ est impair. Alors $n = 2k+1$ pour un entier $k$. Donc $n+1 = 2k+2 = 2(k+1)$. Alors $n(n+1) = (2k+1)2(k+1) = 2((2k+1)(k+1))$, qui est un nombre pair.
      • Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair. La propriété est donc vraie pour tout entier $n$.
  • Intervalles : Démontrer une propriété pour $x \in \mathbb{R}$. Les cas peuvent être $x < 0$, $x = 0$, $x > 0$. Ou $x \in [a, b]$, $x \in ]-\infty, a[$, etc.
    • Exemple : Montrer que $|x| \ge x$ pour tout réel $x$.
      • Cas 1 : $x \ge 0$. Par définition, $|x| = x$. Donc $|x| \ge x$ est vraie ($x \ge x$).
      • Cas 2 : $x < 0$. Par définition, $|x| = -x$. Puisque $x < 0$, $-x > 0$. Donc $|x| > x$ est vraie.
      • Dans les deux cas, $|x| \ge x$ est vraie.

Il est crucial de reconnaître les erreurs logiques pour éviter de faire des démonstrations fausses.

• Confusion entre implication et réciproque : L'implication $P \implies Q$ n'est PAS équivalente à sa réciproque $Q \implies P$.

  • Exemple : "S'il pleut ($P$), alors le sol est mouillé ($Q$)." ($P \implies Q$) est vraie.
  • Sa réciproque : "Si le sol est mouillé ($Q$), alors il pleut ($P$)." ($Q \implies P$) est FAUSSE (le sol pourrait être mouillé parce qu'on l'a arrosé).
  • C'est une erreur très courante de croire que la réciproque est vraie juste parce que l'implication l'est.

• Affirmation du conséquent : C'est une erreur de déduire $P$ de $P \implies Q$ et $Q$.

  • Schéma : Si $P \implies Q$ et $Q$ est vraie, alors $P$ est vraie. (FAUX)
  • Exemple : "S'il pleut ($P$), alors le sol est mouillé ($Q$)." Le sol est mouillé ($Q$). Donc il pleut ($P$). (FAUX, voir exemple précédent).

• Négation de l'antécédent : C'est une erreur de déduire $\neg Q$ de $P \implies Q$ et $\neg P$.

  • Schéma : Si $P \implies Q$ et $\neg P$ est vraie, alors $\neg Q$ est vraie. (FAUX)
  • Exemple : "S'il pleut ($P$), alors le sol est mouillé ($Q$)." Il ne pleut pas ($\neg P$). Donc le sol n'est pas mouillé ($\neg Q$). (FAUX, on peut avoir arrosé le sol).

La rigueur est la pierre angulaire de toute démonstration mathématique.

• Clarté des étapes : Chaque étape de votre raisonnement doit être clairement énoncée et facile à suivre. Évitez les sauts logiques.
• Justification de chaque affirmation : Chaque affirmation nouvelle doit être justifiée par une définition, un axiome, un théorème précédemment démontré, ou une déduction logique valide à partir d'étapes antérieures. Ne laissez rien au hasard.
• Utilisation correcte des symboles : Utilisez les symboles mathématiques et logiques ($\forall, \exists, \implies, \iff, \in, \subset$, etc.) de manière précise et appropriée.
  • Exemple : Ne pas confondre $=$ (égalité) avec $\iff$ (équivalence logique) ou $\implies$ (implication).
• Définir les variables et les ensembles : Avant d'utiliser une variable ($x$, $n$, etc.), précisez toujours ce qu'elle représente et à quel ensemble elle appartient (par exemple, "Soit $n \in \mathbb{N}$", "Soit $x$ un nombre réel").

Les exemples et contre-exemples sont des outils pédagogiques et de validation essentiels.

• Rôle des exemples pour comprendre : Les exemples concrets aident à illustrer et à comprendre un concept ou un théorème. Ils peuvent aider à construire une intuition, mais un exemple ne constitue jamais une preuve formelle.

  • Exemple : Pour comprendre "la somme de deux nombres impairs est paire", on peut prendre $3+5=8$ ou $7+11=18$.

• Rôle des contre-exemples pour réfuter : Un contre-exemple est un cas spécifique qui montre qu'une affirmation générale est fausse. Pour prouver qu'une proposition universelle ($\forall x, P(x)$) est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple.

  • Exemple : L'affirmation "Tous les nombres premiers sont impairs" est fausse. Le nombre 2 est un contre-exemple car 2 est premier mais n'est pas impair.

• Construction de contre-exemples : Pour construire un contre-exemple, il faut chercher une situation où l'hypothèse de l'affirmation est vérifiée, mais la conclusion est fausse.

  • Exemple : L'affirmation "Si un quadrilatère a quatre côtés égaux, alors c'est un carré."
    • Hypothèse : "un quadrilatère a quatre côtés égaux".
    • Conclusion : "c'est un carré".
    • Un contre-exemple est le losange non carré. Il a quatre côtés égaux, mais ce n'est pas un carré (ses angles ne sont pas tous droits). Cela réfute l'affirmation.