Manipuler les nombres réels

En mathématiques, les nombres sont classés en différents ensembles, chacun ayant des propriétés spécifiques. Comprendre ces ensembles est fondamental pour manipuler les nombres réels.

• Nombres entiers naturels ($\mathbb{N}$) : Ce sont les nombres utilisés pour compter des objets. Ce sont des nombres positifs ou nuls, sans partie décimale.

  • Exemples : $0, 1, 2, 3, 10, 100 \dots$
  • $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$

• Nombres entiers relatifs ($\mathbb{Z}$) : Cet ensemble inclut les nombres entiers naturels, ainsi que leurs opposés (les nombres entiers négatifs).

  • Exemples : $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \dots$
  • $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$
  • On peut dire que $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$ ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$).

• Nombres décimaux ($\mathbb{D}$) : Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Autrement dit, leur développement décimal est fini.

  • Exemples : $0,5$ (car $0,5 = \frac{5}{10}$), $-3,25$ (car $-3,25 = \frac{-325}{100}$), $7$ (car $7 = \frac{7}{1} = \frac{70}{10}$).
  • $\mathbb{D} = \{\frac{a}{10^n} \text{ où } a \in \mathbb{Z} \text{ et } n \in \mathbb{N}\}$
  • On a $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$.

• Nombres rationnels ($\mathbb{Q}$) : Ce sont tous les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$, où $a$ est un entier relatif et $b$ est un entier relatif non nul. Leur développement décimal est fini ou périodique.

  • Exemples : $\frac{1}{3} = 0,333\dots$, $-\frac{7}{2} = -3,5$, $0,25 = \frac{1}{4}$.
  • $\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \text{ où } a \in \mathbb{Z} \text{ et } b \in \mathbb{Z}^*\}$
  • On a $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.

Les nombres réels englobent tous les nombres que nous utilisons couramment pour les mesures, les calculs, etc.

• Nombres irrationnels : Ce sont les nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$. Leur développement décimal est infini et non périodique. Ils ne sont pas dans $\mathbb{Q}$.

  • Exemples : $\sqrt{2} \approx 1,41421356\dots$, $\pi \approx 3,14159265\dots$, $\Phi$ (le nombre d'or).

• Définition des nombres réels ($\mathbb{R}$) : L'ensemble des nombres réels est l'union des nombres rationnels et des nombres irrationnels.

  • $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \text{Nombres irrationnels}$.
  • Tous les nombres que nous avons vus ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$) sont des nombres réels. On a donc $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

• Représentation sur une droite numérique : Les nombres réels peuvent être représentés par des points sur une droite graduée appelée droite des réels. Chaque point de cette droite correspond à un unique nombre réel, et réciproquement.

• Ordre et comparaison : Les nombres réels sont ordonnés. Cela signifie que pour deux nombres réels $a$ et $b$ distincts, l'un est toujours plus grand que l'autre.

  • On utilise les symboles :
    • $a < b$ ($a$ est strictement inférieur à $b$)
    • $a \le b$ ($a$ est inférieur ou égal à $b$)
    • $a > b$ ($a$ est strictement supérieur à $b$)
    • $a \ge b$ ($a$ est supérieur ou égal à $b$)
  • Exemple : $3 < 5$, $-2 > -5$, $\pi \approx 3,14$ donc $\pi > 3$.

Les intervalles sont des sous-ensembles de nombres réels qui représentent toutes les valeurs entre deux bornes.

• Notation des intervalles :

  • Intervalle fermé : $[a; b]$ représente tous les nombres $x$ tels que $a \le x \le b$. Les bornes $a$ et $b$ sont incluses.
  • Intervalle ouvert : $]a; b[$ représente tous les nombres $x$ tels que $a < x < b$. Les bornes $a$ et $b$ sont exclues.
  • Intervalle semi-ouvert/fermé :
    • $[a; b[$ : $a \le x < b$ ($a$ inclus, $b$ exclu)
    • $]a; b]$ : $a < x \le b$ ($a$ exclu, $b$ inclus)
  • Intervalles infinis :
    • $[a; +\infty[$ : $x \ge a$
    • $]a; +\infty[$ : $x > a$
    • $]-\infty; b]$ : $x \le b$
    • $]-\infty; b[$ : $x < b$
    • $]-\infty; +\infty[$ : Ensemble de tous les nombres réels $\mathbb{R}$.

• Représentation graphique : Un intervalle peut être représenté par un segment ou une demi-droite sur la droite numérique.

  • Les crochets tournés vers l'extérieur indiquent une borne exclue.
  • Les crochets tournés vers l'intérieur indiquent une borne incluse.
  • Exemple : $[1; 3[$ : un segment de 1 à 3, avec un point plein à 1 et un cercle vide à 3.

• Intersection et union d'intervalles :

  • Intersection ($\cap$) : L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent aux deux intervalles simultanément.
    • Exemple : $[1; 5] \cap [3; 7] = [3; 5]$.
  • Union ($\cup$) : L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent à au moins l'un des deux intervalles.
    • Exemple : $[1; 5] \cup [3; 7] = [1; 7]$.
    • Exemple : $]-\infty; 2] \cup [5; +\infty[$ est l'union de deux demi-droites disjointes.

Les opérations fondamentales sont l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Leur ordre d'exécution est crucial.

• Opérations de base :

  • Addition ($+$) : $a + b$
  • Soustraction ($-$) : $a - b$
  • Multiplication ($\times$ ou $\cdot$) : $a \times b$ ou $a \cdot b$
  • Division ($\div$ ou $/$ ou fraction) : $a \div b$ ou $a/b$ ou $\frac{a}{b}$ (avec $b \ne 0$)

• Priorités opératoires (PEMDAS/PEDMAS) : Pour éviter toute ambiguïté dans les calculs, il faut respecter un ordre précis :

  1. Parenthèses (ou crochets) : Effectuer d'abord les calculs à l'intérieur des parenthèses, en commençant par les plus intérieures.
  2. Exposants (ou puissances) : Calculer les puissances et les racines.
  3. Multiplication et Division : Effectuer ces opérations de gauche à droite.
  4. Addition et Soustraction : Effectuer ces opérations de gauche à droite.

• Utilisation des parenthèses : Les parenthèses permettent de modifier l'ordre des opérations.

  • Exemple : $3 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11$
  • Exemple : $(3 + 4) \times 2 = 7 \times 2 = 14$
  • Toujours résoudre ce qui est entre parenthèses en premier.

Ces propriétés simplifient les calculs et la manipulation des expressions.

• Commutativité : L'ordre des nombres n'affecte pas le résultat pour l'addition et la multiplication.

  • Addition : $a + b = b + a$ (Exemple : $2 + 5 = 5 + 2 = 7$)
  • Multiplication : $a \times b = b \times a$ (Exemple : $3 \times 4 = 4 \times 3 = 12$)
  • La soustraction et la division ne sont pas commutatives ($3-2 \ne 2-3$).

• Associativité : Le regroupement des nombres n'affecte pas le résultat pour l'addition et la multiplication.

  • Addition : $(a + b) + c = a + (b + c)$ (Exemple : $(1+2)+3 = 1+(2+3) = 6$)
  • Multiplication : $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ (Exemple : $(2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 24$)
  • La soustraction et la division ne sont pas associatives.

• Distributivité : La multiplication est distributive par rapport à l'addition (et la soustraction).

  • $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
  • $a \times (b - c) = a \times b - a \times c$
  • Exemple : $5 \times (2 + 3) = 5 \times 2 + 5 \times 3 = 10 + 15 = 25$. (Vérification : $5 \times 5 = 25$).
  • Cette propriété est essentielle pour le développement et la factorisation.

Les nombres relatifs incluent les nombres positifs et négatifs.

• Règles des signes :

  • Addition/Soustraction :
    • Même signe : On additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun. (Ex: $-3 - 5 = -8$)
    • Signes différents : On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue. (Ex: $-3 + 5 = 2$; $3 - 5 = -2$)
  • Multiplication/Division :
    • Même signe : Le résultat est positif. (Ex: $(-2) \times (-3) = 6$; $10 \div 5 = 2$)
    • Signes différents : Le résultat est négatif. (Ex: $(-2) \times 3 = -6$; $10 \div (-5) = -2$)

• Simplification d'expressions : Appliquer les règles des signes et les priorités.

  • Exemple : $- ( -5 ) = 5$
  • Exemple : $- ( +7 ) = -7$

• Calculs numériques : Effectuer les opérations étape par étape en respectant les règles.

  • Exemple : $4 - 2 \times (-3) + ( -8 \div 2 )$ $= 4 - ( -6 ) + ( -4 )$ (multiplication et division en premier) $= 4 + 6 - 4$ (règle des signes pour la soustraction d'un négatif) $= 10 - 4 = 6$

La valeur absolue mesure la distance d'un nombre à zéro.

• Définition géométrique : La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est la distance entre le point d'abscisse $x$ et l'origine 0 sur la droite numérique. Une distance est toujours positive ou nulle.

  • Exemple : $|3| = 3$ (la distance de 3 à 0 est 3)
  • Exemple : $|-3| = 3$ (la distance de -3 à 0 est 3)

• Définition algébrique :

  • Si $x \ge 0$, alors $|x| = x$.
  • Si $x < 0$, alors $|x| = -x$. (Le signe moins devant $x$ rend le nombre positif, par exemple si $x = -3$, alors $-x = -(-3) = 3$).

• Propriétés de la valeur absolue :

  • $|x| \ge 0$
  • $|x| = |-x|$
  • $|x \times y| = |x| \times |y|$
  • $|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}$ (avec $y \ne 0$)
  • $|x + y| \le |x| + |y|$ (inégalité triangulaire)
  • $\sqrt{x^2} = |x|$ (et non $x$ !)

• Résolution d'équations simples avec valeur absolue :

  • L'équation $|x| = a$ (avec $a \ge 0$) a pour solutions $x = a$ ou $x = -a$.
    • Exemple : $|x| = 5 \implies x = 5$ ou $x = -5$.
  • L'équation $|x| = -2$ n'a pas de solution, car une valeur absolue ne peut pas être négative.
  • L'équation $|x-c| = a$ (avec $a \ge 0$) signifie que $x-c = a$ ou $x-c = -a$.
    • Exemple : $|x-2| = 3 \implies x-2 = 3$ ou $x-2 = -3$.
    • Donc $x = 5$ ou $x = -1$.

Les puissances sont des multiplications répétées.

• Définition de $a^n$ ($n$ entier) :

  • Pour $n \in \mathbb{N}$ et $n > 1$, $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ fois).
  • $a^1 = a$
  • $a^0 = 1$ (pour $a \ne 0$). La convention $0^0$ est souvent indéfinie ou $1$ selon le contexte.
  • Pour $n \in \mathbb{Z}$ et $n < 0$, $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$ (pour $a \ne 0$).
    • Exemple : $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.
    • Exemple : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
    • Exemple : $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

• Règles de calcul sur les puissances (pour $a, b \in \mathbb{R}^*$ et $m, n \in \mathbb{Z}$):

  1. Produit de puissances de même base : $a^m \times a^n = a^{m+n}$
     • Exemple : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$
  2. Quotient de puissances de même base : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
     • Exemple : $\frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4$
  3. Puissance d'une puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$
     • Exemple : $(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6$
  4. Puissance d'un produit : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
     • Exemple : $(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$
  5. Puissance d'un quotient : $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
     • Exemple : $(\frac{4}{2})^3 = \frac{4^3}{2^3}$
  • Attention aux parenthèses et aux signes : $(-2)^2 = 4$ mais $-2^2 = -(2^2) = -4$.

• Puissances de 10 et écriture scientifique :

  • Puissances de 10 : $10^n$ est 1 suivi de $n$ zéros ($10^3 = 1000$). $10^{-n}$ est $0,$ puis $n-1$ zéros, suivi de 1 ($10^{-3} = 0,001$).
  • Écriture scientifique : Un nombre est écrit en notation scientifique s'il est de la forme $a \times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le |a| < 10$ et $n$ est un entier relatif.
    • Exemple : $1234,5 = 1,2345 \times 10^3$
    • Exemple : $0,000045 = 4,5 \times 10^{-5}$
    • L'écriture scientifique est très utile pour manipuler de très grands ou très petits nombres.

La racine carrée est l'opération inverse de l'élévation au carré.

• Définition et notation : Pour un nombre réel positif $a$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre réel positif $b$ tel que $b^2 = a$.

  • Exemple : $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$.
  • Exemple : $\sqrt{0} = 0$.
  • La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels.
  • ==Attention, $\sqrt{a^2} = |a|$, pas $a$ !== Par exemple, $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$.

• Propriétés de la racine carrée (pour $a \ge 0, b \ge 0$) :

  1. $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
     • Exemple : $\sqrt{36} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$.
  2. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b > 0$)
     • Exemple : $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
  3. $(\sqrt{a})^2 = a$
  4. $\sqrt{a^2} = |a|$ (comme vu précédemment)
  • Il n'y a pas de propriété simple pour $\sqrt{a+b}$ ou $\sqrt{a-b}$ ! $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4 = 7$. Donc $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

• Simplification d'expressions avec racines carrées : L'objectif est d'écrire la racine sous la forme $k\sqrt{a}$ où $a$ est le plus petit entier possible.

  • Exemple : $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
  • Exemple : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.

• Addition et soustraction : On ne peut additionner ou soustraire des racines carrées que si elles ont le même nombre sous la racine. Pour cela, il faut d'abord simplifier.

  • Exemple : $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
  • Exemple : $\sqrt{8} + \sqrt{18} = \sqrt{4 \times 2} + \sqrt{9 \times 2} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

• Multiplication et division : On utilise les propriétés $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ et $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

  • Exemple : $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}$.
  • Exemple : $(2\sqrt{3}) \times (4\sqrt{5}) = (2 \times 4) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{5}) = 8\sqrt{15}$.
  • Exemple : $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

• Rendre un dénominateur rationnel : C'est une technique qui consiste à éliminer la racine carrée du dénominateur d'une fraction.

  • Si le dénominateur est de la forme $\sqrt{a}$ : multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{a}$.
    • Exemple : $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
  • Si le dénominateur est de la forme $a + \sqrt{b}$ ou $a - \sqrt{b}$ : multiplier par l'expression conjuguée. L'expression conjuguée de $a + \sqrt{b}$ est $a - \sqrt{b}$, et vice-versa. On utilise l'identité remarquable $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
    • Exemple : $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 \times (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) \times (2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3}$.
    • Cette technique est très courante en Seconde.

Le développement consiste à transformer un produit en une somme (ou une différence).

• Simple distributivité : $a(b+c) = ab + ac$

  • Exemple : $3(x+2) = 3x + 3 \times 2 = 3x + 6$.
  • Exemple : $-2(y-5) = -2y -2 \times (-5) = -2y + 10$.

• Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

  • Exemple : $(x+3)(x+5) = x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5 = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$.
  • Exemple : $(2x-1)(x+4) = 2x \times x + 2x \times 4 - 1 \times x - 1 \times 4 = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$.

• Identités remarquables : Ce sont des cas particuliers de double distributivité très fréquents. Les connaître par cœur est un gain de temps considérable.

  1. Carré d'une somme : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
     • Exemple : $(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
  2. Carré d'une différence : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
     • Exemple : $(2x-5)^2 = (2x)^2 - 2 \times (2x) \times 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$.
  3. Produit d'une somme par une différence : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
     • Exemple : $(x-4)(x+4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.
     • Exemple : $(3x-1)(3x+1) = (3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1$.
  • Les identités remarquables sont la clé du développement et de la factorisation rapides.

La factorisation consiste à transformer une somme (ou une différence) en un produit. C'est l'opération inverse du développement.

• Facteur commun : C'est la méthode la plus simple. On cherche un facteur qui est présent dans tous les termes de l'expression.

  • Exemple : $3x + 6 = 3 \times x + 3 \times 2 = 3(x+2)$.
  • Exemple : $5x^2 - 10x = 5x \times x - 5x \times 2 = 5x(x-2)$.
  • Exemple : $(x+1)(x+2) + 5(x+1) = (x+1)((x+2)+5) = (x+1)(x+7)$.

• Utilisation des identités remarquables : On reconnaît une forme développée d'identité remarquable pour la transformer en produit.

  1. $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
     • Exemple : $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = (x+5)^2$.
  2. $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
     • Exemple : $9x^2 - 12x + 4 = (3x)^2 - 2 \times (3x) \times 2 + 2^2 = (3x-2)^2$.
  3. $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
     • Exemple : $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x-7)(x+7)$.
     • Exemple : $16x^2 - 1 = (4x)^2 - 1^2 = (4x-1)(4x+1)$.

• Factorisation avancée (par regroupement ou en combinant les méthodes) : Parfois, il faut combiner les techniques.

  • Exemple : $x^2 - 9 + (x-3)(x+5)$ $= (x-3)(x+3) + (x-3)(x+5)$ (On factorise $x^2-9$ avec l'IR3) $= (x-3) [ (x+3) + (x+5) ]$ (On met $(x-3)$ en facteur commun) $= (x-3)(x+3+x+5)$ $= (x-3)(2x+8)$ $= 2(x-3)(x+4)$ (On peut encore factoriser 2 dans le deuxième facteur)

Réduire une expression, c'est la simplifier en regroupant les termes semblables.

• Termes semblables : Ce sont des termes qui ont la même partie littérale (même variable(s) avec les mêmes exposants).

  • Exemple : $3x$ et $5x$ sont semblables. $3x^2$ et $5x$ ne le sont pas.

• Simplification d'expressions polynomiales : On regroupe les termes semblables en additionnant ou soustrayant leurs coefficients.

  • Exemple : $3x + 5y - 2x + 7y - 4 = (3x - 2x) + (5y + 7y) - 4 = x + 12y - 4$.
  • Exemple : $2x^2 + 3x - 5 - x^2 + 7x + 1 = (2x^2 - x^2) + (3x + 7x) + (-5 + 1) = x^2 + 10x - 4$.

• Ordre des termes : Il est d'usage de classer les termes par ordre décroissant des puissances de la variable.

  • Exemple : Au lieu d'écrire $3x - 5 + x^2$, on écrira $x^2 + 3x - 5$.

Une équation du premier degré est une égalité où l'inconnue a pour plus haute puissance 1 (ex: $x$).

• Méthodes de résolution : L'objectif est d'isoler l'inconnue ($x$). On applique les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité pour maintenir l'équilibre.

  • Addition/Soustraction : $x+a=b \implies x = b-a$
  • Multiplication/Division : $ax=b \implies x = \frac{b}{a}$ (si $a \ne 0$)
  • Exemple : $2x + 5 = 11$ $2x = 11 - 5$ $2x = 6$ $x = \frac{6}{2}$ $x = 3$
  • L'ensemble des solutions est $S = \{3\}$.

• Équations avec parenthèses et fractions :

  • Parenthèses : Développer les expressions pour les supprimer.
    • Exemple : $3(x-2) = 2x+1$ $3x - 6 = 2x + 1$ $3x - 2x = 1 + 6$ $x = 7$
  • Fractions : Mettre tous les termes au même dénominateur commun ou multiplier tous les termes par le dénominateur commun pour les éliminer.
    • Exemple : $\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ Multiplier par 6 (dénominateur commun) : $6 \times (\frac{x}{2}) + 6 \times (\frac{1}{3}) = 6 \times (\frac{5}{6})$ $3x + 2 = 5$ $3x = 3$ $x = 1$

• Problèmes menant à une équation du premier degré :

  1. Choisir l'inconnue : Attribuer une variable (souvent $x$) à la quantité recherchée.
  2. Mettre le problème en équation : Traduire l'énoncé en une égalité mathématique.
  3. Résoudre l'équation.
  4. Vérifier la solution et répondre au problème posé.
  • Exemple : "J'ai 5 bonbons de plus que mon ami. Ensemble, nous avons 21 bonbons. Combien de bonbons avons-nous chacun ?"
    • Soit $x$ le nombre de bonbons de l'ami.
    • J'ai $x+5$ bonbons.
    • Équation : $x + (x+5) = 21$
    • $2x + 5 = 21 \implies 2x = 16 \implies x = 8$.
    • L'ami a 8 bonbons, et j'en ai $8+5 = 13$. Total : $8+13=21$. La solution est bonne.

Une inéquation est une inégalité (avec $<, \le, >, \ge$) avec une inconnue.

• Règles de résolution : Similaires aux équations, mais avec une règle cruciale :

  • On ne change pas le sens de l'inégalité en ajoutant ou soustrayant un terme, ni en multipliant ou divisant par un nombre positif.
  • On change le sens de l'inégalité en multipliant ou divisant par un nombre négatif.
  • Exemple 1 : $2x + 3 < 9$ $2x < 9 - 3$ $2x < 6$ $x < \frac{6}{2}$ $x < 3$ L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty; 3[$.
  • Exemple 2 : $-3x + 1 \ge 10$ $-3x \ge 10 - 1$ $-3x \ge 9$ $x \le \frac{9}{-3}$ (on divise par -3, donc on change le sens de l'inégalité) $x \le -3$ L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty; -3]$.

• Représentation des solutions sur une droite numérique : Les solutions d'une inéquation sont souvent un intervalle.

  • On hachure la partie de la droite qui ne contient pas les solutions.
  • Le crochet indique si la borne est incluse ou exclue.
  • Exemple pour $x < 3$: La droite est graduée, on place 3. La partie à gauche de 3 est solution. Le crochet est tourné vers l'extérieur du côté des solutions pour indiquer que 3 est exclu.

• Intervalles de solutions : Les solutions d'une inéquation sont toujours exprimées sous forme d'intervalle.

Ces types d'équations sont résolues en utilisant des propriétés spécifiques.

• Propriété du produit nul : Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

  • Si $A \times B = 0$, alors $A = 0$ ou $B = 0$.
  • Exemple : $(x-3)(2x+4) = 0$ Cela implique $x-3=0$ ou $2x+4=0$. $x=3$ ou $2x=-4$. $x=3$ ou $x=-2$. L'ensemble des solutions est $S = \{-2; 3\}$.
  • Pour utiliser cette propriété, l'équation doit être factorisée et égale à zéro. S'il n'y a pas de zéro, il faut transposer tous les termes d'un côté et factoriser.

• Tableaux de signes pour les quotients : Une fraction est nulle si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

  • Si $\frac{A}{B} = 0$, alors $A = 0$ et $B \ne 0$.
  • Exemple : $\frac{x-5}{x+2} = 0$ Le numérateur doit être nul : $x-5 = 0 \implies x = 5$. Le dénominateur ne doit pas être nul : $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$. La solution est $x=5$. L'ensemble des solutions est $S = \{5\}$.

• Résolution par factorisation : Pour une équation qui n'est pas initialement un produit nul, il faut la transformer.

  • Exemple : $x^2 - 4x = 0$ $x(x-4) = 0$ (factorisation par facteur commun) $x=0$ ou $x-4=0$ $x=0$ ou $x=4$. $S = \{0; 4\}$.
  • Exemple : $(x+1)^2 = 9$ $(x+1)^2 - 9 = 0$ $(x+1)^2 - 3^2 = 0$ (reconnaissance d'identité remarquable $a^2-b^2$) $((x+1)-3)((x+1)+3) = 0$ $(x-2)(x+4) = 0$ $x-2=0$ ou $x+4=0$ $x=2$ ou $x=-4$. $S = \{-4; 2\}$.
  • La factorisation est la méthode clé pour résoudre les équations de degré supérieur à 1 en Seconde.