Manipuler les vecteurs du plan

Imaginez que vous vous déplacez d'un point A à un point B. Ce déplacement peut être représenté par un vecteur. Un vecteur n'est pas un simple point, c'est une flèche qui indique une direction et une intensité.

Key Concepts:

• Origine et extrémité : Un vecteur est défini par deux points. Le premier point est son origine (le départ), le second est son extrémité (l'arrivée). On note souvent un vecteur de A vers B par $\vec{AB}$. Si l'origine et l'extrémité sont les mêmes, c'est le vecteur nul.
• Direction, sens et norme : Ce sont les trois caractéristiques essentielles d'un vecteur :
  • La direction est la droite sur laquelle repose le vecteur (ou toute droite parallèle). Par exemple, une direction horizontale, verticale, ou oblique.
  • Le sens indique vers où on va sur cette direction. Par exemple, vers la droite ou vers la gauche sur une direction horizontale.
  • La norme (ou longueur, ou magnitude) est la longueur du segment que représente le vecteur. Elle est notée $||\vec{AB}||$. C'est la "taille" du déplacement.
• Représentation graphique d'un vecteur : On représente un vecteur par une flèche. L'origine de la flèche est le point de départ, la pointe de la flèche est le point d'arrivée. La longueur de la flèche représente sa norme.

Exemple : Si vous marchez de 3 mètres vers l'Est, votre déplacement est un vecteur. Sa direction est Est-Ouest, son sens est vers l'Est, et sa norme est 3 mètres.

Deux vecteurs sont considérés comme égaux s'ils représentent "le même déplacement", peu importe leur point de départ.

Key Concepts:

• Même direction, même sens, même norme : C'est la condition fondamentale. Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux si :
  • La droite (AB) est parallèle à la droite (CD) (même direction).
  • Le déplacement de A vers B est dans le même sens que le déplacement de C vers D (même sens).
  • La longueur du segment AB est égale à la longueur du segment CD (même norme). On écrit alors $\vec{AB} = \vec{CD}$.
• Translation : L'égalité de vecteurs est intimement liée à la notion de translation. Dire que $\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que le point D est l'image du point C par la translation de vecteur $\vec{AB}$. Cela implique aussi que ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati).
• Coordonnées de vecteurs égaux : Si on travaille dans un repère, deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. Si $\vec{u} = \vec{v}$, alors ils ont les mêmes coordonnées $(x; y)$.

Exemple : Si vous marchez de 5 mètres vers le Nord, puis que votre ami marche également de 5 mètres vers le Nord (mais en partant d'un autre endroit), vos deux déplacements sont représentés par des vecteurs égaux.

Ces concepts sont nécessaires pour effectuer des opérations avec les vecteurs.

Key Concepts:

• Définition du vecteur nul : Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est le vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. Il représente un déplacement qui ne change pas la position. Sa norme est 0. Il n'a pas de direction ni de sens défini.
  • Exemple : $\vec{AA} = \vec{0}$.
• Propriétés du vecteur nul : C'est l'élément neutre de l'addition vectorielle. Pour tout vecteur $\vec{u}$, $\vec{u} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{u} = \vec{u}$.
• Définition et propriétés des vecteurs opposés : Le vecteur opposé d'un vecteur $\vec{u}$ est le vecteur qui a la même direction, la même norme que $\vec{u}$, mais un sens contraire. Il est noté $-\vec{u}$.
  • Si $\vec{u} = \vec{AB}$, alors $-\vec{u} = \vec{BA}$.
  • La somme d'un vecteur et de son opposé est le vecteur nul : $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$.

Exemple : Si vous marchez de 10 mètres vers l'Est ($\vec{u}$), le vecteur opposé $-\vec{u}$ représente un déplacement de 10 mètres vers l'Ouest.

L'addition de vecteurs permet de combiner plusieurs déplacements.

Key Concepts:

• Règle du parallélogramme : Pour additionner deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ayant la même origine (par exemple $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$), on construit le parallélogramme OACB. Alors la somme $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$. Le vecteur somme est la diagonale issue de l'origine commune.
  • Cette règle est très utile pour visualiser la somme.
• Relation de Chasles : C'est la règle la plus utilisée pour l'addition vectorielle. Pour tous points A, B et C, on a $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
  • Imaginez que vous allez de A à B, puis de B à C. Au final, vous êtes allé de A à C. C'est simple et puissant !
  • La relation de Chasles permet de "chaîner" les vecteurs.
• Propriétés de l'addition vectorielle :
  • Commutativité : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (l'ordre n'importe pas).
  • Associativité : $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ (utile pour sommer plus de deux vecteurs).
  • Élément neutre : $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$.
  • Élément opposé : $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$.

Exemple : Si vous empruntez un chemin A vers B, puis un chemin B vers C, le vecteur de votre déplacement total est $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

La soustraction de vecteurs est une forme particulière d'addition.

Key Concepts:

• Définition de la soustraction : Soustraire un vecteur $\vec{v}$ revient à additionner son opposé. $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$.
• Interprétation géométrique : Si $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OB}$, alors $\vec{u} - \vec{v} = \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{OA} + \vec{BO}$. Grâce à la commutativité, on peut réécrire cela comme $\vec{BO} + \vec{OA}$. Par la relation de Chasles, on obtient $\vec{BA}$.
  • Donc, $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$. Retenez : "Le second moins le premier" pour obtenir le vecteur qui va du second point au premier.
• Lien avec le vecteur opposé : C'est la clé de la soustraction. Toute soustraction se ramène à une addition.

Exemple : Pour calculer $\vec{AC} - \vec{AB}$, on peut écrire $\vec{AC} + \vec{BA}$. En réorganisant avec la commutativité : $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$ (par Chasles). C'est très pratique !

On peut "étirer" ou "rétrécir" un vecteur, ou même changer son sens, en le multipliant par un nombre.

Key Concepts:

• Définition et propriétés : Soit $\vec{u}$ un vecteur et $k$ un nombre réel (aussi appelé scalaire). Le produit $k \vec{u}$ est un nouveau vecteur qui :
  • A la même direction que $\vec{u}$.
  • A une norme égale à $|k| \times ||\vec{u}||$. (Attention, c'est la valeur absolue de $k$).
  • A le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$.
  • A le sens opposé à $\vec{u}$ si $k < 0$.
  • Est le vecteur nul $\vec{0}$ si $k = 0$ ou si $\vec{u} = \vec{0}$.
• Changement de norme et de sens :
  • Si $k=2$, $2\vec{u}$ est deux fois plus long que $\vec{u}$ et dans le même sens.
  • Si $k=-1$, $-1\vec{u} = -\vec{u}$ est de même longueur que $\vec{u}$ mais dans le sens opposé.
  • Si $k=0.5$, $0.5\vec{u}$ est la moitié de la longueur de $\vec{u}$ et dans le même sens.
  • La multiplication par un réel ne change JAMAIS la direction d'un vecteur (sauf si le résultat est le vecteur nul).
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ (ou $\vec{u} = k \vec{v}$).
  • Cela signifie qu'ils ont la même direction. Ils sont portés par des droites parallèles (ou confondues).
  • Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Exemple : Si $\vec{u}$ représente un trajet de 10 km vers le Nord, alors $3\vec{u}$ représente un trajet de 30 km vers le Nord, et $-0.5\vec{u}$ représente un trajet de 5 km vers le Sud.

Dans un repère, chaque point a des coordonnées, et chaque vecteur aussi.

Key Concepts:

• Repère orthonormé : C'est un système de coordonnées avec une origine O et deux vecteurs unitaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$ qui sont perpendiculaires et de même longueur. On le note $(O; \vec{i}, \vec{j})$. C'est le repère le plus courant en Seconde.
• Calcul des coordonnées d'un vecteur AB : Si le point A a pour coordonnées $(x_A; y_A)$ et le point B a pour coordonnées $(x_B; y_B)$, alors le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées : $\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$
  • Retenez : "arrivée moins départ" pour chaque coordonnée.
• Coordonnées du vecteur nul : Le vecteur nul $\vec{0}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Exemple : Si A(1; 2) et B(5; 4), alors $\vec{AB} \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Les opérations vectorielles se traduisent très simplement en opérations sur les coordonnées.

Key Concepts:

• Coordonnées de la somme de vecteurs : Si $\vec{u} \begin{pmatrix} x_u \\ y_u \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix}$, alors leur somme $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées : $\vec{u} + \vec{v} \begin{pmatrix} x_u + x_v \\ y_u + y_v \end{pmatrix}$
  • On additionne les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.
• Coordonnées du produit par un réel : Si $\vec{u} \begin{pmatrix} x_u \\ y_u \end{pmatrix}$ et $k$ est un réel, alors le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées : $k\vec{u} \begin{pmatrix} k \times x_u \\ k \times y_u \end{pmatrix}$
  • On multiplie chaque coordonnée par le réel $k$.
• Coordonnées du milieu d'un segment : Le milieu I d'un segment [AB] a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de A et B : $I \left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$
  • Ceci découle de la relation vectorielle $\vec{AI} = \vec{IB}$ ou $\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OI}$.

Exemple : Si $\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$, alors $\vec{u} + \vec{v} \begin{pmatrix} 3+2 \\ -1+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$. Et $2\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \times 3 \\ 2 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Calculer la longueur d'un vecteur est simple avec ses coordonnées.

Key Concepts:

• Formule de la norme : Si un vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, alors sa norme (sa longueur) est : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• Distance entre deux points : La distance entre deux points A$(x_A; y_A)$ et B$(x_B; y_B)$ est simplement la norme du vecteur $\vec{AB}$. $AB = ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
• Application du théorème de Pythagore : Cette formule est une application directe du théorème de Pythagore. Imaginez un triangle rectangle formé par le vecteur $\vec{AB}$ et ses projections sur les axes. Les côtés du triangle ont pour longueurs $|x_B - x_A|$ et $|y_B - y_A|$.

Exemple : Si $\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, alors $||\vec{u}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Si A(1; 1) et B(4; 5), la distance AB est $\sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Les vecteurs permettent de déterminer si des points sont sur une même droite.

Key Concepts:

• Condition de colinéarité : Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
  • Cela signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{AC} = k \vec{AB}$.
• Démonstration d'alignement :
  1. Calculer les coordonnées de deux vecteurs formés par ces points (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$).
  2. Vérifier s'il existe un $k$ tel que les coordonnées de l'un soient $k$ fois les coordonnées de l'autre. Si $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, ils sont colinéaires si et seulement si $x y' - y x' = 0$. C'est le critère de colinéarité (produit en croix nul).
• Utilisation des coordonnées : C'est la méthode la plus fiable en Seconde.

Exemple : Soient A(1; 1), B(3; 3) et C(5; 5). $\vec{AB} \begin{pmatrix} 3-1 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$. $\vec{AC} \begin{pmatrix} 5-1 \\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$. On voit que $\vec{AC} = 2 \vec{AB}$. Donc $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Puisqu'ils ont un point commun (A), les points A, B, C sont alignés.

Les vecteurs sont parfaits pour démontrer le parallélisme.

Key Concepts:

• Vecteurs directeurs : Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur qui a la même direction que cette droite. Par exemple, $\vec{AB}$ est un vecteur directeur de la droite (AB).
• Condition de colinéarité pour le parallélisme : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.
  • C'est la même condition que pour l'alignement, mais ici les droites n'ont pas forcément de point commun.
• Démonstration de droites parallèles :
  1. Calculer les coordonnées d'un vecteur directeur pour chaque droite (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$).
  2. Appliquer le critère de colinéarité : $x y' - y x' = 0$.

Exemple : Soient A(0; 1), B(2; 2), C(1; 0), D(3; 1). $\vec{AB} \begin{pmatrix} 2-0 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. $\vec{CD} \begin{pmatrix} 3-1 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Puisque $\vec{AB} = \vec{CD}$, les vecteurs sont colinéaires (avec $k=1$). Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Les vecteurs offrent une approche élégante pour ces points remarquables.

Key Concepts:

• Formule vectorielle du milieu : Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si $\vec{AI} = \vec{IB}$ ou, de manière équivalente, $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$.
  • Une autre formulation utile est $\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OI}$ pour toute origine O.
• Coordonnées du milieu : Revisité ici pour l'importance de son application : $I \left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$.
• Propriétés du centre de gravité (rappel) : Pour un triangle ABC, le centre de gravité G est l'intersection des médianes. Vectoriellement, il vérifie $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.
  • Si I est le milieu de [BC], alors $\vec{AG} = \frac{2}{3} \vec{AI}$. Cela montre que G est sur la médiane (AI) et qu'il la partage dans un rapport 2:1.

Exemple : Soient A(1; 5) et B(3; 1). Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : $I \left( \frac{1+3}{2} ; \frac{5+1}{2} \right) = \left( \frac{4}{2} ; \frac{6}{2} \right) = (2; 3)$.

Les vecteurs sont un outil de choix pour caractériser et prouver la nature de quadrilatères.

Key Concepts:

• Parallélogramme : Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si :
  • $\vec{AB} = \vec{DC}$ (les côtés opposés sont égaux et parallèles).
  • Ou $\vec{AD} = \vec{BC}$.
  • Ou si les diagonales se coupent en leur milieu (ce qui revient à dire que le milieu de [AC] est le même que le milieu de [BD]).
  • C'est la caractérisation vectorielle la plus fréquente.
• Rectangle, losange, carré (caractérisation vectorielle) :
  • Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit. Vectoriellement, cela signifie que les vecteurs de deux côtés adjacents sont orthogonaux (leur produit scalaire est nul, notion vue plus tard, mais on peut vérifier avec la pente ou la distance). Ou que ses diagonales ont la même longueur ($||\vec{AC}|| = ||\vec{BD}||$).
  • Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur ($||\vec{AB}|| = ||\vec{AD}||$). Ou que ses diagonales sont perpendiculaires.
  • Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
• Utilisation des vecteurs pour prouver des propriétés :
  1. Calculer les coordonnées des points.
  2. Calculer les coordonnées des vecteurs pertinents ($\vec{AB}$, $\vec{DC}$, etc.).
  3. Utiliser l'égalité vectorielle pour prouver le parallélogramme.
  4. Utiliser la formule de la norme pour vérifier les longueurs des côtés ou des diagonales.
  5. (Plus tard) Utiliser le produit scalaire pour vérifier l'orthogonalité.

Exemple : Soient A(0; 0), B(3; 1), C(2; 3), D(-1; 2). Calculons les vecteurs : $\vec{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\vec{DC} \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ Puisque $\vec{AB} = \vec{DC}$, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Pour vérifier si c'est un losange, calculons les longueurs de deux côtés adjacents : $||\vec{AB}|| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$. $\vec{AD} \begin{pmatrix} -1 - 0 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ $||\vec{AD}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$. Puisque $||\vec{AB}|| \neq ||\vec{AD}||$, ce n'est pas un losange, donc pas un carré. Pour vérifier si c'est un rectangle, on peut vérifier si un angle est droit. Par exemple, l'angle en A. Les pentes des droites (AB) et (AD) sont $m_{AB} = 1/3$ et $m_{AD} = 2/(-1) = -2$. Le produit des pentes $m_{AB} \times m_{AD} = (1/3) \times (-2) = -2/3 \neq -1$. Donc les droites ne sont pas perpendiculaires. Conclusion : ABCD est un parallélogramme.