Notion de fonction

Une fonction est un processus qui, à chaque nombre d'un ensemble de départ, associe un unique nombre d'un ensemble d'arrivée. C'est comme une "machine" mathématique : vous lui donnez un nombre (l'entrée), et elle vous en donne un autre (la sortie).

• Le nombre de départ est appelé antécédent. On le note souvent $x$.
• Le nombre d'arrivée, qui est le résultat de la fonction appliquée à l'antécédent, est appelé image. On le note souvent $y$ ou $f(x)$. La notation $f(x)$ se lit "f de x".
• L'ensemble de définition (ou domaine de définition) d'une fonction $f$, noté $D_f$, est l'ensemble de tous les antécédents pour lesquels la fonction peut être calculée.

Exemple : Si une fonction $f$ associe à un nombre son carré, alors :

• L'antécédent $x=3$ a pour image $3^2=9$. On écrit $f(3)=9$.
• L'antécédent $x=-2$ a pour image $(-2)^2=4$. On écrit $f(-2)=4$.

Vocabulaire clé :

• Fonction : une règle qui associe à chaque antécédent une unique image.
• Antécédent : le nombre de départ (la "cause").
• Image : le nombre d'arrivée (la "conséquence").
• $f(x)$ : notation pour l'image de $x$ par la fonction $f$.
• Ensemble de définition ($D_f$) : l'ensemble des valeurs de départ possibles.

Une fonction peut être présentée de plusieurs manières différentes, chacune ayant ses avantages.

1. Par un programme de calcul : C'est une suite d'opérations à effectuer sur le nombre de départ.

   • Exemple : "Choisir un nombre, le multiplier par 3, ajouter 5."
     • Si on choisit 2 : $2 \times 3 + 5 = 11$. L'image de 2 est 11.

2. Par une expression algébrique (une formule) : C'est la manière la plus courante en mathématiques. Elle traduit le programme de calcul en une équation.

   • Exemple : Pour le programme précédent, l'expression est $f(x) = 3x + 5$.
     • Pour $x=2$, $f(2) = 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11$.

3. Par un tableau de valeurs : Il liste des couples (antécédent, image).

   • Exemple : Pour $f(x) = 3x + 5$ :

*   Ce tableau indique que $f(0)=5$, $f(1)=8$, etc.

4. Par une représentation graphique : C'est une courbe tracée dans un repère, où l'axe horizontal représente les antécédents ($x$) et l'axe vertical les images ($y$ ou $f(x)$). Chaque point de la courbe a pour coordonnées $(x, f(x))$. * Exemple : La droite représentant $f(x) = 3x + 5$.

Ces différentes représentations sont complémentaires et permettent de mieux comprendre le comportement d'une fonction.

Il est crucial de bien comprendre la condition "un unique nombre" dans la définition d'une fonction.

Exemples de relations fonctionnelles :

• L'aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté.
  • Si le côté est $c$, l'aire est $A(c) = c^2$. Pour chaque longueur $c$ (positive), il n'y a qu'une seule aire possible.
• Le prix à payer pour des pommes en fonction de leur poids.
  • Si le prix est de 2€/kg, alors $P(poids) = 2 \times poids$. Chaque poids correspond à un seul prix.
• La fonction $f(x) = x^2$.
  • $f(2) = 4$. $f(-2) = 4$. Ici, deux antécédents différents (2 et -2) ont la même image (4). C'est autorisé ! Ce qui est important, c'est que pour UN antécédent (par exemple 2), il n'y a qu'UNE image (4).

Contre-exemples (relations qui ne sont PAS des fonctions) :

• Associer à un nombre son ou ses antécédents par $f(x) = x^2$.
  • Si on prend le nombre 4, quels sont ses antécédents par $f(x)=x^2$ ? Ce sont 2 et -2. Ici, à un nombre (4), on associe DEUX nombres (2 et -2). Ce n'est pas une fonction.
• Représentation graphique : un cercle.
  • Tracez un cercle dans un repère. Si vous prenez une valeur de $x$ (différente des extrémités), vous trouverez deux points sur le cercle ayant cette abscisse, donc deux valeurs de $y$. Par exemple, pour $x=0$ dans un cercle centré à l'origine, vous avez $y=R$ et $y=-R$. Ce n'est pas une fonction. Une courbe est la représentation graphique d'une fonction si toute droite verticale la coupe en au plus un point.

La clé est l'unicité de l'image : un antécédent NE PEUT PAS avoir deux images différentes. Par contre, plusieurs antécédents peuvent avoir la même image.

Calculer l'image d'un nombre par une fonction, c'est trouver la "sortie" de la machine quand on lui donne une "entrée" spécifique.

1. Avec l'expression algébrique : C'est la méthode la plus précise. Il suffit de remplacer la variable $x$ par la valeur de l'antécédent donné dans la formule de la fonction.

   • Exemple : Soit la fonction $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Calculons l'image de 4. $f(4) = 2 \times (4)^2 - 3 \times (4) + 1$ $f(4) = 2 \times 16 - 12 + 1$ $f(4) = 32 - 12 + 1$ $f(4) = 21$ L'image de 4 par $f$ est 21.

2. Avec un tableau de valeurs : Il suffit de chercher l'antécédent dans la première ligne (ou colonne) et de lire l'image correspondante dans la deuxième ligne (ou colonne).

   • Exemple :

    L'image de 0 est 1. On lit $f(0)=1$.

3. Avec une courbe représentative : * On se place sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal) à la valeur de l'antécédent $x$. * On monte ou on descend verticalement jusqu'à rencontrer la courbe. * À partir de ce point sur la courbe, on se déplace horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées (l'axe vertical). La valeur lue est l'image $f(x)$. * La lecture graphique est souvent approximative.

Déterminer les antécédents d'un nombre, c'est trouver toutes les "entrées" de la machine qui donnent une "sortie" spécifique.

1. Avec l'expression algébrique : C'est la méthode la plus précise. Il faut résoudre l'équation $f(x) = k$, où $k$ est le nombre dont on cherche les antécédents.

   • Exemple : Soit la fonction $f(x) = 3x - 7$. Cherchons les antécédents de 5. On doit résoudre $f(x) = 5$. $3x - 7 = 5$ $3x = 5 + 7$ $3x = 12$ $x = \frac{12}{3}$ $x = 4$ L'antécédent de 5 par $f$ est 4. (Il n'y en a qu'un ici).

   • Exemple avec plusieurs antécédents : Soit $g(x) = x^2$. Cherchons les antécédents de 9. On doit résoudre $g(x) = 9$. $x^2 = 9$ $x = \sqrt{9}$ ou $x = -\sqrt{9}$ $x = 3$ ou $x = -3$ Les antécédents de 9 par $g$ sont 3 et -3.

2. Avec un tableau de valeurs : Il faut chercher la valeur $k$ dans la deuxième ligne (images) et identifier les antécédents correspondants dans la première ligne.

   • Exemple : (même tableau que précédemment)

    Un antécédent de 5 est -2. (Attention, le tableau ne liste pas forcément tous les antécédents s'il y en a plusieurs).

3. Avec une courbe représentative : * On se place sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical) à la valeur de l'image $k$. * On se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe. * À partir de chaque point rencontré sur la courbe, on descend ou on monte verticalement jusqu'à l'axe des abscisses. Les valeurs lues sont les antécédents $x$. * Il peut y avoir zéro, un, ou plusieurs antécédents pour une image donnée.

Les fonctions sont utilisées pour modéliser une multitude de situations.

• Problème de coût : Une entreprise fabrique des stylos. Le coût de production $C(x)$ (en euros) de $x$ stylos est donné par la fonction $C(x) = 0,5x + 100$.

  • Calculer l'image de 200 : $C(200) = 0,5 \times 200 + 100 = 100 + 100 = 200$.
    • Interprétation : Produire 200 stylos coûte 200 euros.
  • Déterminer l'antécédent de 350 : $C(x) = 350 \implies 0,5x + 100 = 350 \implies 0,5x = 250 \implies x = 500$.
    • Interprétation : Pour un coût de 350 euros, l'entreprise a produit 500 stylos.

• Vitesse et distance : La distance parcourue $D(t)$ (en km) par une voiture roulant à 90 km/h pendant $t$ heures est $D(t) = 90t$.

  • Image de 2 : $D(2) = 90 \times 2 = 180$.
    • Interprétation : En 2 heures, la voiture parcourt 180 km.
  • Antécédent de 270 : $D(t) = 270 \implies 90t = 270 \implies t = 3$.
    • Interprétation : Il faut 3 heures pour parcourir 270 km.

Ces exemples montrent comment les fonctions nous aident à comprendre et à prédire des phénomènes.

Pour construire la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère orthogonal (avec deux axes perpendiculaires, l'axe des abscisses $x$ et l'axe des ordonnées $y$ ou $f(x)$) :

1. Choisir des valeurs de $x$ : Sélectionnez plusieurs antécédents, en particulier des nombres positifs, négatifs et zéro.
2. Calculer les images $f(x)$ correspondantes : Utilisez l'expression algébrique de la fonction pour obtenir les images.
3. Créer un tableau de valeurs : Organisez vos couples $(x, f(x))$.
   • Exemple : $f(x) = x^2 - 2x$

4. Placer les points dans le repère : Chaque couple $(x, f(x))$ correspond à un point de coordonnées $(x; y)$. Placez ces points sur le graphique.
   • Pour $x=-1$, $y=3 \implies$ point $(-1; 3)$.
   • Pour $x=0$, $y=0 \implies$ point $(0; 0)$.
   • Etc.
5. Relier les points : Tracez une courbe lisse et continue (si la fonction est continue) qui passe par tous les points que vous avez placés. ==N'oubliez pas d'indiquer le nom de la courbe, souvent $C_f$ ou $y=f(x)$.==

Les calculatrices graphiques ou les logiciels (comme GeoGebra) peuvent automatiser cette construction et sont très utiles pour visualiser rapidement une fonction.

La lecture graphique permet de trouver des images ou des antécédents rapidement, même si elle est moins précise que le calcul.

• Lire l'image de $a$ :

  1. Placez-vous sur l'axe des abscisses (horizontal) à la valeur $a$.
  2. Montez ou descendez verticalement jusqu'à la courbe.
  3. Lisez la valeur sur l'axe des ordonnées (vertical) en vous déplaçant horizontalement depuis la courbe. C'est $f(a)$.

• Lire les antécédents de $b$ :

  1. Placez-vous sur l'axe des ordonnées (vertical) à la valeur $b$.
  2. Déplacez-vous horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe. Il peut y avoir un, plusieurs, ou aucun point d'intersection.
  3. Depuis chaque point d'intersection, descendez ou montez verticalement jusqu'à l'axe des abscisses (horizontal). Les valeurs lues sont les antécédents de $b$.

Ces points sont particulièrement importants car ils ont une signification clé.

• Intersection avec l'axe des ordonnées (axe $y$) :

  • La courbe coupe l'axe des ordonnées lorsque $x=0$. Le point d'intersection a pour coordonnées $(0; f(0))$.
  • La valeur $f(0)$ est appelée l'ordonnée à l'origine.
  • Interprétation : C'est la valeur de départ, ou la valeur de la fonction quand l'antécédent est nul.

• Intersection avec l'axe des abscisses (axe $x$) :

  • La courbe coupe l'axe des abscisses lorsque $f(x)=0$. Les points d'intersection ont pour coordonnées $(x; 0)$.
  • Les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=0$ sont appelées les zéros de la fonction ou les racines de la fonction.
  • Interprétation : Ce sont les antécédents qui ont pour image 0.

Pour savoir si un point $A(x_A; y_A)$ appartient à la courbe représentative d'une fonction $f$ :

1. Par le calcul :

   • Calculez l'image de l'abscisse du point, c'est-à-dire $f(x_A)$.
   • Comparez le résultat avec l'ordonnée du point, $y_A$.
   • Si $f(x_A) = y_A$, alors le point $A$ appartient à la courbe. Sinon, il n'y appartient pas.
   • Exemple : La fonction $f(x) = x^2 - 3$. Le point $A(2; 1)$ appartient-il à la courbe ? $f(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Puisque $f(2) = 1$, et l'ordonnée de $A$ est 1, le point $A(2; 1)$ appartient bien à la courbe.

2. Par la lecture graphique :

   • Placez le point $A(x_A; y_A)$ dans le repère.
   • Observez si ce point se trouve SUR la courbe tracée.
   • Cette méthode est moins précise et ne permet de conclure avec certitude que si la courbe est tracée avec une grande exactitude.

Toutes les fonctions ne sont pas définies pour tous les nombres réels. Il existe des contraintes mathématiques qui peuvent empêcher le calcul de $f(x)$ pour certaines valeurs de $x$. Parfois, des contraintes contextuelles (liées à un problème concret) limitent aussi l'ensemble de définition.

Exemples de contraintes mathématiques courantes :

• Division par zéro : On ne peut pas diviser par zéro. Donc, si l'expression de la fonction contient un dénominateur, ce dénominateur doit être non nul.
• Racine carrée d'un nombre négatif : La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie dans l'ensemble des nombres réels. Donc, l'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle.

L'ensemble de définition est souvent exprimé sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.

Si la fonction $f(x)$ contient une fraction, le dénominateur ne doit jamais être égal à zéro. Pour trouver l'ensemble de définition :

1. Posez l'équation : dénominateur = 0.
2. Résolvez cette équation pour trouver les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur.
3. Ces valeurs doivent être exclues de l'ensemble de définition.

• Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x}$

  • Le dénominateur est $x$. $x=0$ annule le dénominateur.
  • Donc, $x$ ne peut pas être 0.
  • $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (tous les réels sauf 0) ou $D_f = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.

• Exemple 2 : $g(x) = \frac{2x+1}{x-3}$

  • Le dénominateur est $x-3$. $x-3=0 \implies x=3$.
  • Donc, $x$ ne peut pas être 3.
  • $D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ ou $D_g = ]-\infty; 3[ \cup ]3; +\infty[$.

• Exemple 3 : $h(x) = \frac{5}{x^2+1}$

  • Le dénominateur est $x^2+1$. $x^2+1=0 \implies x^2=-1$.
  • Cette équation n'a pas de solution réelle (un carré ne peut pas être négatif).
  • Le dénominateur n'est jamais nul.
  • $D_h = \mathbb{R}$ (tous les nombres réels).

Si la fonction $f(x)$ contient une racine carrée $\sqrt{A}$, l'expression sous la racine ($A$) doit être positive ou nulle. Pour trouver l'ensemble de définition :

1. Posez l'inéquation : expression sous la racine $\ge 0$.
2. Résolvez cette inéquation pour trouver les valeurs de $x$ qui rendent l'expression positive ou nulle.

• Exemple 1 : $f(x) = \sqrt{x}$

  • L'expression sous la racine est $x$. On doit avoir $x \ge 0$.
  • $D_f = [0; +\infty[$.

• Exemple 2 : $g(x) = \sqrt{x-5}$

  • L'expression sous la racine est $x-5$. On doit avoir $x-5 \ge 0$.
  • $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$.
  • $D_g = [5; +\infty[$.

• Exemple 3 : $h(x) = \sqrt{4-2x}$

  • L'expression sous la racine est $4-2x$. On doit avoir $4-2x \ge 0$.
  • $4-2x \ge 0 \implies -2x \ge -4$.
  • En divisant par -2, on change le sens de l'inégalité : $x \le \frac{-4}{-2} \implies x \le 2$.
  • $D_h = ]-\infty; 2]$.

L'ensemble de définition peut également être déterminé en observant la courbe représentative d'une fonction.

1. Projection sur l'axe des abscisses : L'ensemble de définition correspond à l'ensemble des abscisses $x$ pour lesquelles la courbe existe.
2. Imaginez que vous "écrasez" la courbe sur l'axe des abscisses. L'intervalle (ou les intervalles) sur lesquels l'axe est "couvert" par la courbe représente l'ensemble de définition.
3. Points exclus : S'il y a des "trous" ou des "sauts" dans la courbe, cela indique des valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction n'est pas définie.
   • Une asymptote verticale (la courbe s'approche d'une droite verticale sans jamais la toucher) indique une valeur exclue.
   • Un point vide sur la courbe indique aussi une valeur exclue.

• Exemple : Si une courbe commence à $x=-3$ (inclu) et se termine à $x=5$ (exclu), et qu'il n'y a pas d'interruption entre les deux, alors $D_f = [-3; 5[$.

La détermination de l'ensemble de définition est une étape fondamentale pour comprendre le comportement d'une fonction et pour éviter des erreurs de calcul.