Représenter algébriquement et graphiquement les fonctions

En mathématiques, une fonction est comme une "machine" qui prend une valeur en entrée, la transforme selon une règle précise, et donne une unique valeur en sortie.

Plus formellement : Une fonction $f$ est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ (appelé ensemble de définition) un unique élément d'un ensemble d'arrivée.

• L'élément de départ est appelé antécédent.
• L'élément d'arrivée est appelé image.

Chaque antécédent a une et une seule image, mais une image peut avoir plusieurs antécédents ou aucun.

Exemple : Soit la fonction $f$ qui à un nombre $x$ associe son carré. Si $x=2$, l'image de 2 par $f$ est $2^2=4$. On écrit $f(2)=4$. Ici, 2 est un antécédent et 4 est son image. Notez que -2 est aussi un antécédent de 4, car $f(-2)=(-2)^2=4$.

Pour parler des fonctions, certains termes sont fondamentaux :

• Variable indépendante ($x$) : C'est la valeur que l'on donne en entrée à la fonction. Elle "varie" indépendamment. On la place généralement sur l'axe des abscisses dans un graphique.
• Variable dépendante ($y$ ou $f(x)$) : C'est la valeur obtenue en sortie de la fonction. Elle "dépend" de la valeur de $x$. $f(x)$ se lit "f de x". On la place généralement sur l'axe des ordonnées dans un graphique.
• Ensemble de définition ($D_f$) : C'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $f(x)$ est définie (c'est-à-dire pour lesquelles on peut calculer une image). On le note souvent $D_f$.
  • Exemple : Pour la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$, l'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R}^*$ (tous les nombres réels sauf 0), car la division par zéro est impossible.

Une fonction peut être présentée de plusieurs façons :

1. Par une formule (expression algébrique) : C'est la méthode la plus courante. On donne une expression mathématique qui relie $x$ à $f(x)$.

   • Exemple : $f(x) = 2x + 3$, $g(x) = x^2 - 5x + 1$, $h(x) = \frac{1}{x-1}$.
   • Cette forme permet de calculer l'image de n'importe quel antécédent dans l'ensemble de définition.

2. Par un tableau de valeurs : On liste des couples $(x, f(x))$ spécifiques.

   $x$	-2	0	1	3
   $f(x)$	4	0	-2	-6

   • Ce tableau indique, par exemple, que l'image de 0 est 0, et l'image de 1 est -2.
   • Limitation : Un tableau ne donne des informations que pour un nombre fini de valeurs de $x$.

3. Par une représentation graphique : On trace une courbe dans un repère. Chaque point de la courbe a pour coordonnées $(x, f(x))$.

   • Cette méthode offre une visualisation intuitive du comportement de la fonction.
   • Elle est très utile pour lire des images, des antécédents, ou étudier les variations de la fonction.

• Calculer $f(x)$ pour une valeur donnée de $x$ (calcul d'image) : Il suffit de remplacer $x$ par la valeur donnée dans l'expression algébrique de la fonction. Exemple : Soit $f(x) = 3x^2 - 5$. Pour calculer l'image de $x=2$ : $f(2) = 3 \times (2)^2 - 5 = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$. L'image de 2 par $f$ est 7.

• Résoudre $f(x) = k$ pour trouver les antécédents (calcul d'antécédents) : On cherche les valeurs de $x$ qui, une fois passées par la fonction, donnent la valeur $k$. Cela revient à résoudre une équation. Exemple : Soit $f(x) = 3x - 1$. On cherche les antécédents de 5. On pose $f(x) = 5$, donc $3x - 1 = 5$. $3x = 5 + 1$ $3x = 6$ $x = \frac{6}{3}$ $x = 2$. L'antécédent de 5 par $f$ est 2.

  Exemple 2 : Soit $g(x) = x^2$. On cherche les antécédents de 9. On pose $g(x) = 9$, donc $x^2 = 9$. $x = \sqrt{9}$ ou $x = -\sqrt{9}$ $x = 3$ ou $x = -3$. Les antécédents de 9 par $g$ sont 3 et -3.

• Utilisation de la calculatrice : La plupart des calculatrices graphiques permettent de définir une fonction et de calculer des images via une table de valeurs ou une fonction de calcul direct. Pour les antécédents, cela revient souvent à résoudre une équation, ce qui peut être fait graphiquement ou numériquement sur la calculatrice.

L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ peut être calculé. Il faut être attentif à certaines restrictions :

1. Contraintes sur les dénominateurs (non nuls) : On ne peut jamais diviser par zéro. Si $f(x)$ contient une fraction $\frac{A(x)}{B(x)}$, il faut que $B(x) \neq 0$. Exemple : $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$. Le dénominateur $x-3$ ne doit pas être nul. $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ (tous les réels sauf 3).

2. Contraintes sur les racines carrées (positives) : On ne peut calculer la racine carrée que d'un nombre positif ou nul. Si $f(x)$ contient $\sqrt{A(x)}$, il faut que $A(x) \geq 0$. Exemple : $g(x) = \sqrt{x+2}$. L'expression sous la racine $x+2$ doit être positive ou nulle. $x+2 \geq 0 \implies x \geq -2$. Donc $D_g = [-2, +\infty[$.

3. Fonctions usuelles :

   • Fonctions affines ($f(x) = ax+b$) et polynômes (comme la fonction carrée $f(x)=x^2$) : $D_f = \mathbb{R}$ (tous les nombres réels). Il n'y a aucune restriction.
   • Fonction inverse ($f(x) = \frac{1}{x}$) : $D_f = \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Deux fonctions $f$ et $g$ sont dites égales si deux conditions sont remplies :

1. Elles ont le même ensemble de définition ($D_f = D_g$).
2. Pour tout $x$ appartenant à cet ensemble de définition commun, elles ont la même expression algébrique (ou, plus précisément, la même image pour chaque $x$, c'est-à-dire $f(x) = g(x)$).

Exemple : Soit $f(x) = x$ et $g(x) = \frac{x^2}{x}$.

• Pour $f(x)=x$, $D_f = \mathbb{R}$.
• Pour $g(x)=\frac{x^2}{x}$, le dénominateur ne doit pas être nul, donc $x \neq 0$. $D_g = \mathbb{R}^*$. Les ensembles de définition ne sont pas les mêmes, donc $f \neq g$. Même si pour $x \neq 0$, $\frac{x^2}{x} = x$, les fonctions ne sont pas égales car elles ne sont pas définies pour les mêmes valeurs de $x$.

La courbe représentative d'une fonction $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est l'ensemble de tous les points $M(x; y)$ du plan tels que $y = f(x)$.

Pour construire une courbe :

1. Tableau de valeurs : Choisissez plusieurs valeurs de $x$ (surtout autour des points "intéressants" ou là où la fonction change de comportement). Calculez les images $f(x)$ correspondantes.

   $x$	...	$x_1$	$x_2$	...	$x_n$
   $f(x)$	...	$f(x_1)$	$f(x_2)$	...	$f(x_n)$

2. Placement des points dans un repère : Dans un repère orthonormé (ou orthogonal), placez chaque point de coordonnées $(x_i; f(x_i))$. L'axe horizontal est l'axe des abscisses (pour $x$), l'axe vertical est l'axe des ordonnées (pour $y$ ou $f(x)$).

3. Tracé de la courbe : Reliez les points placés de manière fluide et continue (si la fonction est continue). N'oubliez pas que la courbe peut s'étendre au-delà des points que vous avez calculés, en respectant la forme générale de la fonction. Utilisez une règle pour les fonctions affines, et soyez plus souple pour les autres.

La courbe permet de trouver visuellement images et antécédents :

• Lire $f(x)$ à partir de $x$ (lecture d'image) :

  1. Placez-vous sur l'axe des abscisses (axe $x$) à la valeur donnée de $x$.
  2. Montez ou descendez verticalement jusqu'à rencontrer la courbe $\mathcal{C}_f$.
  3. Une fois sur la courbe, déplacez-vous horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées (axe $y$). La valeur lue est l'image $f(x)$.

• Lire les antécédents de $k$ (lecture d'antécédent) :

  1. Placez-vous sur l'axe des ordonnées (axe $y$) à la valeur donnée de $k$.
  2. Déplacez-vous horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe $\mathcal{C}_f$. Il peut y avoir un, plusieurs, ou aucun point d'intersection.
  3. Pour chaque point d'intersection, descendez ou montez verticalement jusqu'à l'axe des abscisses (axe $x$). Les valeurs lues sont les antécédents de $k$.
  • Attention : une image peut avoir plusieurs antécédents.

• Interprétation des points d'intersection : Chaque point $(x;y)$ sur la courbe signifie que $y$ est l'image de $x$ par la fonction, c'est-à-dire $y=f(x)$.

Ces points sont importants pour comprendre le comportement de la fonction :

• Intersection avec l'axe des ordonnées (où $x=0$) : C'est le point où la courbe coupe l'axe vertical. Ses coordonnées sont $(0; f(0))$. Pour le trouver algébriquement, il suffit de calculer $f(0)$. Il y a toujours un unique point d'intersection avec l'axe des ordonnées si $0$ est dans l'ensemble de définition.

• Intersection avec l'axe des abscisses (où $f(x)=0$) : Ce sont les points où la courbe coupe l'axe horizontal. Leurs coordonnées sont $(x; 0)$. Les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=0$ sont appelées les racines de la fonction. Pour les trouver algébriquement, il faut résoudre l'équation $f(x)=0$. Il peut y avoir plusieurs, un, ou aucun point d'intersection avec l'axe des abscisses. Ces points sont cruciaux pour déterminer le signe de la fonction.

• Signification graphique :

  • L'intersection avec l'axe des ordonnées indique la valeur de la fonction lorsque $x$ est nul.
  • Les intersections avec l'axe des abscisses indiquent les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction s'annule.

Des logiciels comme GeoGebra, Desmos ou une calculatrice graphique sont des outils puissants :

• Saisie de l'expression de la fonction : Il suffit de taper la formule algébrique de la fonction (ex: f(x) = x^2 - 2x + 1).
• Affichage de la courbe : Le logiciel trace automatiquement la courbe représentative.
• Exploration des propriétés graphiques :
  • On peut déplacer des points sur la courbe pour lire des coordonnées $(x, f(x))$.
  • On peut zoomer/dézoomer pour voir différents aspects de la courbe.
  • On peut souvent trouver les intersections avec les axes, les extrema, etc., directement avec les outils du logiciel.
  • Ces outils permettent de vérifier rapidement des calculs ou d'explorer visuellement le comportement d'une fonction.

Pour tracer une courbe à partir de son expression algébrique :

1. Calcul de points clés :

   • Calculez l'image de 0 ($f(0)$) pour l'intersection avec l'axe des ordonnées.
   • Calculez les antécédents de 0 ($f(x)=0$) pour les intersections avec l'axe des abscisses.
   • Choisissez quelques points supplémentaires, notamment des valeurs négatives et positives, pour avoir une idée de la forme.

2. Analyse de l'expression pour anticiper la forme :

   • Si $f(x) = ax+b$, ce sera une droite.
   • Si $f(x) = x^2$, ce sera une parabole.
   • Si $f(x) = \frac{1}{x}$, ce sera une hyperbole.
   • Pensez à l'ensemble de définition : s'il y a des valeurs interdites, la courbe aura des "trous" ou des asymptotes.

3. Vérification des propriétés :

   • Si la fonction est paire ($f(-x)=f(x)$), la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
   • Si la fonction est impaire ($f(-x)=-f(x)$), la courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Il est plus difficile de retrouver l'expression algébrique exacte à partir d'un graphique sans informations supplémentaires, mais c'est possible pour des cas simples :

• Reconnaissance de fonctions affines : Si le graphique est une ligne droite, c'est une fonction affine de la forme $f(x) = ax + b$.
  • Lecture de l'ordonnée à l'origine ($b$) : C'est la valeur de $y$ lorsque la droite coupe l'axe des ordonnées (c'est-à-dire $f(0)$).
  • Calcul du coefficient directeur ($a$) : Prenez deux points distincts $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ sur la droite. $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Le coefficient directeur $a$ indique la "pente" de la droite.
    • Si $a > 0$, la droite "monte" (la fonction est croissante).
    • Si $a < 0$, la droite "descend" (la fonction est décroissante).
    • Si $a = 0$, la droite est horizontale (fonction constante).

La représentation graphique est très utile pour résoudre des équations et inéquations de manière approximative :

• $f(x) = k$ (intersection avec une droite horizontale) : Tracez la droite horizontale d'équation $y=k$. Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $y=k$.

• $f(x) > k$ ou $f(x) < k$ (position relative de courbes) : Tracez la droite horizontale d'équation $y=k$.

  • Les solutions de $f(x) > k$ sont les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ qui sont au-dessus de la droite $y=k$.
  • Les solutions de $f(x) < k$ sont les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ qui sont en-dessous de la droite $y=k$.

• $f(x) = g(x)$ (intersection de deux courbes) : Tracez les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ des deux fonctions. Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection entre les deux courbes.

• $f(x) > g(x)$ (position relative de deux courbes) : Tracez les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. Les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points où la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$.

• Forme : $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
  • $a$ est le coefficient directeur (pente).
  • $b$ est l'ordonnée à l'origine (valeur de $f(0)$).
• Représentation graphique : Toujours une ligne droite.
• Propriétés :
  • L'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R}$.
  • Si $a > 0$, la fonction est croissante.
  • Si $a < 0$, la fonction est décroissante.
  • Si $a = 0$, la fonction est constante ($f(x) = b$), la droite est horizontale.
  • La droite passe par le point $(0; b)$.

• Forme : $f(x) = x^2$.
• Représentation graphique : Une parabole dont le sommet est l'origine $(0;0)$.
• Propriétés :
  • Ensemble de définition $D_f = \mathbb{R}$.
  • La fonction est décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty[$.
  • Le minimum de la fonction est 0, atteint pour $x=0$.
  • La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (c'est une fonction paire).
  • Toujours positive ou nulle : $x^2 \geq 0$.

• Forme : $f(x) = \frac{1}{x}$.
• Représentation graphique : Une hyperbole composée de deux branches.
• Propriétés :
  • Ensemble de définition $D_f = \mathbb{R}^*$ (tous les réels sauf 0).
  • La fonction est décroissante sur $]-\infty; 0[$ et décroissante sur $]0; +\infty[$.
  • La courbe ne coupe jamais les axes.
  • L'axe des ordonnées ($x=0$) et l'axe des abscisses ($y=0$) sont des asymptotes (la courbe s'approche indéfiniment de ces droites sans jamais les toucher).
  • La courbe est symétrique par rapport à l'origine (c'est une fonction impaire).

• Forme : $f(x) = \sqrt{x}$.
• Représentation graphique : Une demi-parabole "couchée".
• Propriétés :
  • Ensemble de définition $D_f = [0; +\infty[$ (on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif).
  • La fonction est croissante sur son ensemble de définition.
  • Le minimum de la fonction est 0, atteint pour $x=0$.
  • La courbe part de l'origine $(0;0)$.