Représenter et caractériser les droites du plan

Un vecteur est un objet mathématique qui représente un déplacement. Il est caractérisé par :

• Une direction (la droite sur laquelle il se déplace).
• Un sens (de A vers B, par exemple).
• Une norme ou longueur (la distance parcourue).

On le note $\vec{u}$ ou $\vec{AB}$.

Égalité de deux vecteurs : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Cela signifie qu'ils représentent le même déplacement. Si $\vec{AB} = \vec{CD}$, alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Somme de vecteurs : Pour additionner deux vecteurs, il existe deux méthodes principales :

1. Règle du parallélogramme : Si $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OB}$, alors $\vec{u} + \vec{v} = \vec{OC}$ où OACB est un parallélogramme.
2. Relation de Chasles : Pour tous points A, B, C, on a $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Cette relation est très utile pour simplifier des sommes de vecteurs. Exemple : $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{BC}$, alors $\vec{u} + \vec{v} = \vec{AC}$. C'est comme faire un déplacement de A à B, puis de B à C, ce qui revient à un déplacement direct de A à C.

Pour travailler avec les vecteurs de manière numérique, nous utilisons des repères.

Un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ est constitué :

• D'une origine O.
• De deux vecteurs unitaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$ qui sont orthogonaux (perpendiculaires) et de même longueur (norme 1).
  • $\vec{i}$ définit l'axe des abscisses (souvent horizontal).
  • $\vec{j}$ définit l'axe des ordonnées (souvent vertical).

Coordonnées d'un point : Dans un repère, tout point M est repéré par un couple de nombres $(x_M; y_M)$, appelés ses coordonnées. $x_M$ est l'abscisse et $y_M$ est l'ordonnée. Le vecteur $\vec{OM}$ a pour coordonnées $(x_M; y_M)$.

Coordonnées d'un vecteur à partir de deux points : Si un vecteur $\vec{AB}$ va du point A$(x_A; y_A)$ au point B$(x_B; y_B)$, ses coordonnées $\vec{AB}(x_{AB}; y_{AB})$ sont données par : $x_{AB} = x_B - x_A$ $y_{AB} = y_B - y_A$ C'est la "fin moins le début".

Exemple : Soient A(1; 3) et B(5; 1). $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(5-1; 1-3) = (4; -2)$.

Calcul de la norme d'un vecteur : La norme d'un vecteur $\vec{u}(x; y)$, notée $||\vec{u}||$, est sa longueur. Dans un repère orthonormé, elle est calculée en utilisant le théorème de Pythagore : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Si le vecteur est défini par deux points A$(x_A; y_A)$ et B$(x_B; y_B)$, alors sa norme est la distance AB : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Exemple : Pour $\vec{AB}(4; -2)$, sa norme est $||\vec{AB}|| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Les opérations sur les vecteurs sont très simples avec les coordonnées.

Addition et soustraction de vecteurs : Si $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$, alors :

• $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x + x'; y + y')$.
• $\vec{u} - \vec{v}$ a pour coordonnées $(x - x'; y - y')$.

Exemple : $\vec{u}(2; 3)$ et $\vec{v}(1; -2)$. $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(2+1; 3+(-2)) = (3; 1)$. $\vec{u} - \vec{v}$ a pour coordonnées $(2-1; 3-(-2)) = (1; 5)$.

Multiplication d'un vecteur par un scalaire : Un scalaire est simplement un nombre réel. Si $\vec{u}(x; y)$ et $k$ est un nombre réel, alors le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(k \times x; k \times y)$. Le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$. Son sens est le même si $k>0$, opposé si $k<0$. Sa norme est $|k| \times ||\vec{u}||$.

Exemple : $\vec{u}(2; 3)$ et $k=3$. $3\vec{u}$ a pour coordonnées $(3 \times 2; 3 \times 3) = (6; 9)$.

Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. Graphiquement, cela signifie qu'ils sont portés par des droites parallèles (ou confondues). Algébriquement, $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. En coordonnées, cela se traduit par : $x' = kx$ et $y' = ky$. Une autre condition très pratique est le produit en croix : $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ sont colinéaires si et seulement si $xy' - yx' = 0$. Ce terme $xy' - yx'$ est appelé le déterminant des deux vecteurs, noté $\det(\vec{u}, \vec{v})$.

Exemple : $\vec{u}(2; 4)$ et $\vec{v}(3; 6)$. $2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$. Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. On peut aussi voir que $\vec{v} = 1.5 \vec{u}$ car $3 = 1.5 \times 2$ et $6 = 1.5 \times 4$.

Un vecteur directeur d'une droite (d) est un vecteur non nul qui a la même direction que la droite (d). Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux. Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur, alors $k\vec{u}$ (avec $k \neq 0$) est aussi un vecteur directeur.

Propriétés du vecteur directeur :

• Si A et B sont deux points distincts d'une droite (d), alors $\vec{AB}$ est un vecteur directeur de (d).
• Le vecteur directeur est crucial pour écrire les équations de la droite.

Lien entre colinéarité et parallélisme : Deux droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. C'est une propriété fondamentale pour prouver le parallélisme de droites.

L'équation cartésienne d'une droite (d) est de la forme : $ax + by + c = 0$, où $a$, $b$, $c$ sont des nombres réels, avec $a$ et $b$ non nuls simultanément.

Détermination à partir d'un point et d'un vecteur directeur : Si une droite (d) passe par un point $A(x_A; y_A)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(x_u; y_u)$, alors un point $M(x; y)$ appartient à (d) si et seulement si les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. Les coordonnées de $\vec{AM}$ sont $(x - x_A; y - y_A)$. La condition de colinéarité $x_u(y - y_A) - y_u(x - x_A) = 0$ donne l'équation cartésienne. On remarque également que le vecteur $\vec{n}(-b; a)$ ou $\vec{n}(b; -a)$ est un vecteur normal à la droite (perpendiculaire). Donc, si $\vec{u}(x_u; y_u)$ est un vecteur directeur, alors $a = y_u$ et $b = -x_u$ (ou $a = -y_u$ et $b = x_u$).

Exemple : Droite passant par A(1; 2) et de vecteur directeur $\vec{u}(3; -1)$. Les coordonnées de $\vec{AM}$ sont $(x-1; y-2)$. Condition de colinéarité : $3(y-2) - (-1)(x-1) = 0$ $3y - 6 + x - 1 = 0$ $x + 3y - 7 = 0$. C'est l'équation cartésienne de la droite.

Détermination à partir de deux points : Si une droite (d) passe par deux points distincts $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$.

1. On calcule les coordonnées du vecteur directeur $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)$.
2. On utilise ce vecteur directeur et l'un des points (par exemple A) pour trouver l'équation cartésienne comme précédemment.

Exemple : Droite passant par A(1; 2) et B(4; 1). $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(4-1; 1-2) = (3; -1)$. On reprend l'exemple précédent, car on a le même vecteur directeur et le même point A. L'équation est $x + 3y - 7 = 0$.

L'équation réduite d'une droite (d) est de la forme : $y = mx + p$ (pour les droites non verticales).

• $m$ est la pente ou le coefficient directeur de la droite. Il indique l'inclinaison de la droite.
  • Si $m > 0$, la droite "monte".
  • Si $m < 0$, la droite "descend".
  • Si $m = 0$, la droite est horizontale ($y = p$).
  • $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ pour deux points distincts A et B de la droite.
• $p$ est l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées (quand $x=0$, $y=p$).

Cas des droites verticales : Les droites verticales n'ont pas d'équation réduite de la forme $y=mx+p$ car leur pente est "infinie". Leur équation est de la forme $x = k$, où $k$ est une constante. Exemple : $x = 3$ est la droite verticale passant par tous les points dont l'abscisse est 3 (comme $(3;0)$, $(3;1)$, etc.).

Passage de l'équation cartésienne à l'équation réduite : Si $ax + by + c = 0$ et $b \neq 0$: $by = -ax - c$ $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ Donc $m = -\frac{a}{b}$ et $p = -\frac{c}{b}$.

Exemple : Soit la droite d'équation $x + 3y - 7 = 0$. $3y = -x + 7$ $y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$. Ici, $m = -\frac{1}{3}$ et $p = \frac{7}{3}$.

La forme $y = mx + p$ est la plus pratique pour le tracé.

1. Placer l'ordonnée à l'origine : Le point $(0; p)$ est sur la droite.
2. Utiliser la pente : La pente $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ signifie que pour chaque unité de déplacement horizontal ($\Delta x$), il y a un déplacement vertical de $m$ unités ($\Delta y$).
   • Si $m = \frac{2}{3}$, on avance de 3 unités vers la droite et on monte de 2 unités.
   • Si $m = -2 = \frac{-2}{1}$, on avance de 1 unité vers la droite et on descend de 2 unités. À partir du point $(0; p)$, on peut trouver un deuxième point en appliquant la pente.
3. Tracer la droite : Relier les deux points.

Exemple : Tracer la droite d'équation $y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.

1. L'ordonnée à l'origine est $\frac{7}{3} \approx 2.33$. On place le point $(0; \frac{7}{3})$.
2. La pente est $m = -\frac{1}{3}$. Cela signifie que pour 3 unités vers la droite, on descend de 1 unité. À partir de $(0; \frac{7}{3})$, si on avance de 3 vers la droite, on arrive à $x=3$. Si on descend de 1, l'ordonnée devient $\frac{7}{3} - 1 = \frac{7}{3} - \frac{3}{3} = \frac{4}{3}$. Donc le point $(3; \frac{4}{3})$ est sur la droite.
3. On relie $(0; \frac{7}{3})$ et $(3; \frac{4}{3})$.

Calcul de deux points : Une autre méthode consiste à choisir deux valeurs de $x$ arbitraires, puis à calculer les $y$ correspondants. Exemple : Pour $y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.

• Si $x=0$, $y = \frac{7}{3}$. Point $(0; \frac{7}{3})$.
• Si $x=1$, $y = -\frac{1}{3}(1) + \frac{7}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Point $(1; 2)$. On relie ces deux points.

La forme $ax + by + c = 0$ est moins directe pour le tracé.

1. Recherche de deux points :
   • Choisir une valeur pour $x$ (par exemple $x=0$), puis résoudre l'équation pour trouver $y$. Cela donne le point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
   • Choisir une valeur pour $y$ (par exemple $y=0$), puis résoudre l'équation pour trouver $x$. Cela donne le point d'intersection avec l'axe des abscisses.
   • Si l'un de ces points est difficile à placer ou si les deux points sont trop proches, choisir d'autres valeurs pour $x$ ou $y$.
2. Tracer la droite : Relier les deux points.

Exemple : Tracer la droite d'équation $x + 3y - 7 = 0$.

• Pour $x=0$: $0 + 3y - 7 = 0 \implies 3y = 7 \implies y = \frac{7}{3}$. Point $(0; \frac{7}{3})$.
• Pour $y=0$: $x + 3(0) - 7 = 0 \implies x = 7$. Point $(7; 0)$. On relie les points $(0; \frac{7}{3})$ et $(7; 0)$.

Pour vérifier si un point $M(x_M; y_M)$ appartient à une droite (d) dont on connaît l'équation, il suffit de substituer les coordonnées du point dans l'équation de la droite.

• Si l'équation est vérifiée (l'égalité est vraie), alors le point appartient à la droite.
• Si l'équation n'est pas vérifiée (l'égalité est fausse), alors le point n'appartient pas à la droite.

Interprétation graphique : Si le point est sur la droite, quand on le trace, il doit se trouver sur le tracé de la droite.

Exemple : La droite (d) a pour équation $y = 2x - 3$.

• Le point A(1; -1) appartient-il à (d) ? $-1 = 2(1) - 3$ $-1 = 2 - 3$ $-1 = -1$. Vrai. Donc A appartient à (d).
• Le point B(2; 3) appartient-il à (d) ? $3 = 2(2) - 3$ $3 = 4 - 3$ $3 = 1$. Faux. Donc B n'appartient pas à (d).

Deux droites sont parallèles si elles ont la même direction et ne se coupent jamais (ou sont confondues).

Condition de parallélisme avec les vecteurs directeurs : Deux droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{u}'$ sont colinéaires. Si $\vec{u}(x_u; y_u)$ et $\vec{u}'(x_u'; y_u')$, alors $x_u y_u' - y_u x_u' = 0$.

Condition de parallélisme avec les pentes : Deux droites (d) et (d') d'équations réduites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente : $m = m'$. Cas particulier : Si les droites sont verticales, elles sont de la forme $x=k$ et $x=k'$. Elles sont toujours parallèles.

Exemple :

• (d1) : $y = 2x + 1$
• (d2) : $y = 2x - 5$ Les pentes sont $m_1 = 2$ et $m_2 = 2$. Puisque $m_1 = m_2$, les droites (d1) et (d2) sont parallèles.

Équation d'une droite parallèle passant par un point : Pour trouver l'équation d'une droite (d') parallèle à une droite (d) donnée et passant par un point $P(x_P; y_P)$:

1. Déterminer la pente $m$ de la droite (d).
2. Puisque (d') est parallèle à (d), (d') aura la même pente $m$. Son équation sera donc de la forme $y = mx + p'$.
3. Utiliser les coordonnées du point $P(x_P; y_P)$ pour trouver $p'$ : $y_P = mx_P + p'$. On en déduit $p' = y_P - mx_P$.
4. L'équation de (d') est $y = mx + (y_P - mx_P)$.

Exemple : Trouver l'équation de la droite (d') parallèle à (d) : $y = 3x + 2$ et passant par le point A(1; 4).

1. La pente de (d) est $m=3$.
2. (d') a aussi pour pente 3, donc son équation est $y = 3x + p'$.
3. A(1; 4) est sur (d'), donc $4 = 3(1) + p' \implies 4 = 3 + p' \implies p' = 1$.
4. L'équation de (d') est $y = 3x + 1$.

Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit.

Condition d'orthogonalité des vecteurs directeurs : Si les vecteurs directeurs $\vec{u}(x_u; y_u)$ et $\vec{u}'(x_u'; y_u')$ de deux droites (d) et (d') sont orthogonaux, alors les droites sont perpendiculaires. En Seconde, on utilise principalement la condition sur les pentes. La condition avec le produit scalaire est vue plus tard : $\vec{u} \cdot \vec{u}' = x_u x_u' + y_u y_u' = 0$.

Condition d'orthogonalité avec les pentes : Dans un repère orthonormé, deux droites (d) et (d') d'équations réduites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à -1 : $m \times m' = -1$. Cas particuliers :

• Si une droite est horizontale ($y=p$, $m=0$), la droite perpendiculaire est verticale ($x=k$).
• Si une droite est verticale ($x=k$), la droite perpendiculaire est horizontale ($y=p$).

Exemple :

• (d1) : $y = 2x + 1$ ($m_1 = 2$)
• (d2) : $y = -\frac{1}{2}x - 3$ ($m_2 = -\frac{1}{2}$) $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$. Donc (d1) et (d2) sont perpendiculaires.

Équation d'une droite perpendiculaire passant par un point : Pour trouver l'équation d'une droite (d') perpendiculaire à une droite (d) donnée et passant par un point $P(x_P; y_P)$:

1. Déterminer la pente $m$ de la droite (d).
2. Calculer la pente $m'$ de (d') en utilisant la condition $m \times m' = -1$, donc $m' = -\frac{1}{m}$ (si $m \neq 0$).
   • Si $m=0$ (droite horizontale), (d') est verticale ($x=x_P$).
   • Si (d) est verticale ($x=k$), (d') est horizontale ($y=y_P$).
3. L'équation de (d') est de la forme $y = m'x + p'$.
4. Utiliser les coordonnées du point $P(x_P; y_P)$ pour trouver $p'$ : $y_P = m'x_P + p'$. On en déduit $p' = y_P - m'x_P$.

Exemple : Trouver l'équation de la droite (d') perpendiculaire à (d) : $y = 3x + 2$ et passant par le point A(3; 1).

1. La pente de (d) est $m=3$.
2. La pente de (d') est $m' = -\frac{1}{3}$.
3. (d') a pour équation $y = -\frac{1}{3}x + p'$.
4. A(3; 1) est sur (d'), donc $1 = -\frac{1}{3}(3) + p' \implies 1 = -1 + p' \implies p' = 2$.
5. L'équation de (d') est $y = -\frac{1}{3}x + 2$.

La recherche du point d'intersection de deux droites revient à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ($x$ et $y$). Chaque équation représente une droite. Le couple $(x; y)$ solution du système est le point qui appartient aux deux droites simultanément.

Interprétation graphique des solutions :

• Une solution unique : Les droites sont sécantes. Le point $(x;y)$ est leur unique point d'intersection.
• Aucune solution : Les droites sont parallèles distinctes. Elles ne se coupent jamais.
• Une infinité de solutions : Les droites sont confondues. Elles sont la même droite.

Méthodes de résolution :

1. Méthode par substitution :

   • Exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans l'une des équations.
   • Substituer cette expression dans la deuxième équation pour obtenir une équation à une seule inconnue.
   • Résoudre cette équation.
   • Remplacer la valeur trouvée dans l'expression de la première inconnue.

   Exemple : (d1) : $y = 2x + 1$ (d2) : $x + y = 4$

   1. $y$ est déjà exprimé dans (d1).
   2. Substituons dans (d2) : $x + (2x + 1) = 4$
   3. $3x + 1 = 4 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
   4. Remplaçons $x=1$ dans (d1) : $y = 2(1) + 1 \implies y = 3$. La solution est $(1; 3)$. Le point d'intersection est $(1; 3)$.

2. Méthode par combinaison linéaire (ou addition) :

   • Multiplier chaque équation par un nombre choisi de manière à ce que les coefficients d'une des inconnues soient opposés.
   • Additionner les deux équations membre à membre pour éliminer cette inconnue.
   • Résoudre l'équation restante à une inconnue.
   • Remplacer la valeur trouvée dans l'une des équations de départ pour trouver l'autre inconnue.

   Exemple : (d1) : $2x + y = 7$ (d2) : $3x - 2y = 0$

   1. Multiplions (d1) par 2 : $4x + 2y = 14$.
   2. Le système devient : $4x + 2y = 14$ $3x - 2y = 0$
   3. Additionnons les deux équations : $(4x + 3x) + (2y - 2y) = 14 + 0 \implies 7x = 14 \implies x = 2$.
   4. Remplaçons $x=2$ dans (d1) : $2(2) + y = 7 \implies 4 + y = 7 \implies y = 3$. La solution est $(2; 3)$. Le point d'intersection est $(2; 3)$.

Pour trouver le point d'intersection de deux droites, on résout le système formé par leurs équations.

Cas des droites sécantes : Le système a une solution unique $(x; y)$. Ce couple de coordonnées est le point d'intersection. Exemple : Trouver l'intersection de (d1) : $y = 2x + 1$ et (d2) : $y = -x + 4$. On utilise la substitution : $2x + 1 = -x + 4$ $3x = 3$ $x = 1$ En remplaçant $x=1$ dans $y = 2x+1$, on obtient $y = 2(1) + 1 = 3$. Le point d'intersection est $(1; 3)$.

Cas des droites parallèles distinctes (pas de solution) : Lorsque l'on résout le système, on arrive à une égalité fausse (par exemple $0 = 5$). Cela signifie qu'il n'y a aucune solution, et donc que les droites sont parallèles et ne se coupent pas. Exemple : (d1) : $y = 2x + 1$ et (d2) : $y = 2x + 5$. $2x + 1 = 2x + 5$ $1 = 5$. C'est faux. Il n'y a pas de solution, les droites sont parallèles et distinctes.

Cas des droites confondues (infinité de solutions) : Lorsque l'on résout le système, on arrive à une égalité vraie et toujours vérifiée (par exemple $0 = 0$). Cela signifie qu'il y a une infinité de solutions, et donc que les droites sont les mêmes (confondues). Exemple : (d1) : $y = 2x + 1$ et (d2) : $2y = 4x + 2$. Si on divise (d2) par 2, on obtient $y = 2x + 1$. Les deux équations sont identiques. Le système a une infinité de solutions. Les droites sont confondues.