Résolution de problèmes géométriques

Les figures planes sont les briques de base de la géométrie. Connaître leurs propriétés est primordial.

• Triangles :
  • Un triangle est une figure à trois côtés et trois angles.
  • La somme des angles d'un triangle est toujours égale à $180^\circ$.
  • Triangle isocèle : Il a deux côtés de même longueur et deux angles (à la base) de même mesure.
  • Triangle équilatéral : Il a trois côtés de même longueur et trois angles égaux à $60^\circ$. C'est un cas particulier de triangle isocèle.
  • Triangle rectangle : Il a un angle droit ($90^\circ$). Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse.
• Quadrilatères : Figures à quatre côtés et quatre angles. La somme des angles d'un quadrilatère est $360^\circ$.
  • Carré : Quatre côtés égaux et quatre angles droits. Les diagonales sont égales, se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
  • Rectangle : Quatre angles droits. Les côtés opposés sont égaux et parallèles. Les diagonales sont égales et se coupent en leur milieu.
  • Losange : Quatre côtés égaux. Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
  • Parallélogramme : Les côtés opposés sont parallèles et égaux. Les diagonales se coupent en leur milieu. Le rectangle, le losange et le carré sont des cas particuliers de parallélogrammes.
• Cercles et disques :
  • Un cercle est l'ensemble de tous les points équidistants d'un point central (le centre). Cette distance est le rayon ($R$).
  • Un disque est la surface délimitée par un cercle.
  • Circonférence (périmètre du cercle) : $C = 2 \pi R$.
  • Aire du disque : $A = \pi R^2$.
  • Tout triangle inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés est un triangle rectangle.

Ces deux théorèmes sont parmi les plus utilisés en géométrie pour calculer des longueurs ou prouver des alignements/perpendicularités.

Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs dans des configurations avec des droites parallèles.

• Conditions d'application du théorème de Thalès :

  1. On a deux droites sécantes (qui se coupent) en un point $A$.
  2. Sur ces droites, on place des points $B, M$ sur l'une et $C, N$ sur l'autre.
  3. Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

• Calcul de longueurs avec Thalès : Dans cette configuration, on a les égalités de rapports suivantes : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ Ces rapports sont utiles pour trouver une longueur inconnue si on en connaît suffisamment d'autres. Exemple : Si $AM = 3$, $AB = 9$, $BC = 12$ et qu'on cherche $MN$. $\frac{3}{9} = \frac{MN}{12} \implies MN = \frac{3 \times 12}{9} = \frac{36}{9} = 4$.

• Réciproque du théorème de Thalès : Elle permet de prouver que deux droites sont parallèles.

  1. On a deux droites sécantes en un point $A$.
  2. Les points $A, B, M$ sont alignés dans le même ordre que $A, C, N$.
  3. Si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. Attention à l'ordre des points ! C'est une condition souvent oubliée.

Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est exclusivement applicable aux triangles rectangles.

• Conditions d'application du théorème de Pythagore : Le triangle doit être un triangle rectangle.

• Calcul de longueurs avec Pythagore : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, l'hypoténuse est le côté $BC$. Le théorème dit : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ Cela signifie que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Exemple : Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm. $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Donc $BC = \sqrt{25} = 5$ cm.

• Réciproque du théorème de Pythagore : Elle permet de prouver qu'un triangle est rectangle. Dans un triangle $ABC$, si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en A. Exemple : Un triangle a des côtés de longueurs 5 cm, 12 cm et 13 cm. Le plus long côté est 13 cm. $13^2 = 169$. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Comme $13^2 = 5^2 + 12^2$, le triangle est rectangle.

Les angles jouent un rôle clé en géométrie. La trigonométrie permet de relier les angles et les longueurs dans un triangle rectangle.

• Angles associés :

  • Angles alternes-internes : Formés par deux droites parallèles coupées par une sécante. Ils sont de même mesure.
  • Angles correspondants : Formés par deux droites parallèles coupées par une sécante. Ils sont de même mesure.
  • Angles opposés par le sommet : Formés par l'intersection de deux droites. Ils sont de même mesure.

• Somme des angles d'un triangle : Toujours égale à $180^\circ$. Si on connaît deux angles, on peut trouver le troisième. Exemple : Dans un triangle, si deux angles mesurent $50^\circ$ et $70^\circ$, le troisième mesure $180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

• Relations trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) : Elles s'appliquent uniquement dans un triangle rectangle. Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$. Pour l'angle $\widehat{B}$ :

  • Le côté opposé est $AC$.

  • Le côté adjacent est $AB$.

  • L'hypoténuse est $BC$. Les formules mnémotechniques (type "SOH CAH TOA") sont très utiles :

  • Sinus = Opposé / Hypoténuse : $\sin(\widehat{B}) = \frac{AC}{BC}$

  • Cosinus = Adjacent / Hypoténuse : $\cos(\widehat{B}) = \frac{AB}{BC}$

  • Tangente = Opposé / Adjacent : $\tan(\widehat{B}) = \frac{AC}{AB}$

• Calcul d'angles et de longueurs : Ces relations permettent de :

  • Calculer une longueur si on connaît un angle aigu et une autre longueur.
  • Calculer la mesure d'un angle aigu si on connaît les longueurs de deux côtés. Pour cela, on utilise les fonctions réciproques : $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Exemple 1 (longueur) : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{B} = 30^\circ$ et $BC = 10$ cm. Calculer $AC$. $\sin(\widehat{B}) = \frac{AC}{BC} \implies \sin(30^\circ) = \frac{AC}{10} \implies AC = 10 \times \sin(30^\circ) = 10 \times 0.5 = 5$ cm. Exemple 2 (angle) : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, $AB = 6$ cm et $BC = 12$ cm. Calculer $\widehat{B}$. $\cos(\widehat{B}) = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{12} = 0.5$. $\widehat{B} = \arccos(0.5) = 60^\circ$.

• Coordonnées d'un point : Dans un repère orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$, un point $M$ est repéré par ses coordonnées $(x_M; y_M)$. $x_M$ est l'abscisse et $y_M$ est l'ordonnée.
• Calcul de la distance entre deux points : Soient deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$. La distance $AB$ est donnée par la formule : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ C'est une application du théorème de Pythagore dans un repère. Exemple : $A(1; 2)$ et $B(4; 6)$. $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
• Coordonnées du milieu d'un segment : Soient $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$. Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ Le milieu est la "moyenne" des coordonnées des extrémités. Exemple : $A(1; 2)$ et $B(4; 6)$. $M\left(\frac{1+4}{2}; \frac{2+6}{2}\right) = M\left(\frac{5}{2}; \frac{8}{2}\right) = M(2.5; 4)$.

Les vecteurs représentent un déplacement. Ils ont une direction, un sens et une longueur (norme).

• Définition d'un vecteur : Un vecteur $\vec{AB}$ est défini par :
  • Son origine ($A$) et son extrémité ($B$).
  • Sa direction (celle de la droite $(AB)$).
  • Son sens (de $A$ vers $B$).
  • Sa norme (sa longueur $AB$), notée $||\vec{AB}||$. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
• Coordonnées d'un vecteur : Soient $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$. Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont : $\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ Exemple : $A(1; 2)$ et $B(4; 6)$. $\vec{AB}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 6 - 2 \end{pmatrix} = \vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. La norme du vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ est $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Pour $\vec{AB}$, $||\vec{AB}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. C'est bien la distance $AB$.
• Somme de vecteurs : Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, alors $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix}$. Géométriquement, on utilise la relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Ou la règle du parallélogramme.
• Multiplication d'un vecteur par un réel : Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $k$ est un nombre réel, alors $k\vec{u} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$.
  • Si $k > 0$, $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont même sens.
  • Si $k < 0$, $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont un sens opposé.
  • Si $k = 0$, $k\vec{u} = \vec{0}$ (vecteur nul).

La colinéarité des vecteurs est un concept fondamental pour prouver le parallélisme de droites ou l'alignement de points.

• Critère de colinéarité de deux vecteurs : Deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ (ou $\vec{v} = k\vec{u}$). En termes de coordonnées, ils sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $xy' - yx' = 0$ Exemple : $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$. $2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$. Les vecteurs sont colinéaires. On voit bien que $\vec{v} = 2\vec{u}$.
• Alignement de trois points : Les points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Il suffit de calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ et de vérifier le critère de colinéarité. Exemple : $A(1; 1)$, $B(3; 3)$, $C(5; 5)$. $\vec{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$. $2 \times 4 - 2 \times 4 = 8 - 8 = 0$. Les vecteurs sont colinéaires, donc les points $A, B, C$ sont alignés.
• Parallélisme de droites : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires. C'est logique, car des droites parallèles ont la même direction. Exemple : $A(0; 0)$, $B(1; 2)$, $C(3; 1)$, $D(4; 3)$. $\vec{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{CD}\begin{pmatrix} 4-3 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \vec{CD}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. $1 \times 2 - 2 \times 1 = 0$. Les vecteurs sont colinéaires, donc $(AB)$ est parallèle à $(CD)$.

Une translation est un "glissement" d'une figure.

• Définition d'une translation par un vecteur : La translation de vecteur $\vec{u}$ est la transformation qui, à tout point $M$, associe le point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{u}$. Cela signifie que $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$. Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x_u \\ y_u \end{pmatrix}$ et $M(x_M; y_M)$, alors $M'(x_M + x_u; y_M + y_u)$.
• Image d'un point, d'une figure par translation : Pour trouver l'image d'une figure (segment, triangle, cercle...), il suffit de trouver l'image de chacun de ses points constitutifs (extrémités, sommets, centre). L'image d'une droite est une droite parallèle. L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
• Propriétés des translations :
  • Elles conservent les longueurs, les angles, les aires.
  • Elles conservent le parallélisme et la perpendicularité.
  • L'image d'un segment est un segment de même longueur.
  • L'image d'une droite est une droite parallèle à la droite initiale.

Une rotation est un "tournement" d'une figure autour d'un point fixe.

• Définition d'une rotation (centre, angle, sens) : Une rotation est définie par :
  • Un centre $O$ (le point fixe).
  • Un angle $\alpha$ (l'amplitude du tournement).
  • Un sens (direct ou positif = anti-horaire ; indirect ou négatif = horaire). Si $M'$ est l'image de $M$ par une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ :
  1. $OM = OM'$ (la distance au centre est conservée).
  2. L'angle $\widehat{MOM'}$ (orienté) est égal à $\alpha$.
• Image d'un point, d'une figure par rotation : Comme pour la translation, on détermine l'image des points clés de la figure.
• Propriétés des rotations :
  • Elles conservent les longueurs, les angles, les aires.
  • Elles conservent le parallélisme et la perpendicularité.
  • Le centre de rotation est le seul point invariant (qui ne bouge pas).

Les symétries sont des transformations qui "retournent" une figure.

• Définition d'une symétrie axiale : La symétrie axiale d'axe $(d)$ transforme un point $M$ en $M'$ tel que $(d)$ est la médiatrice du segment $[MM']$. Si $M$ est sur l'axe $(d)$, alors $M' = M$. C'est comme un effet miroir.
• Définition d'une symétrie centrale : La symétrie centrale de centre $O$ transforme un point $M$ en $M'$ tel que $O$ est le milieu du segment $[MM']$. C'est l'équivalent d'une rotation de $180^\circ$ autour du centre $O$. Si $M(x_M; y_M)$ et $O(x_O; y_O)$, alors $M'(2x_O - x_M; 2y_O - y_M)$.
• Propriétés des symétries :
  • Elles conservent les longueurs, les angles, les aires.
  • Elles conservent le parallélisme et la perpendicularité (pour la symétrie centrale).
  • Pour la symétrie axiale, l'image d'une droite est une droite, l'image d'un cercle est un cercle de même rayon. L'orientation peut être inversée.

C'est la première étape cruciale. Une bonne compréhension de l'énoncé est la moitié de la solution.

• Identification des données et de l'objectif :
  • Lisez attentivement l'énoncé.
  • Soulignez ou listez toutes les informations numériques (longueurs, angles) et qualitatives (parallèle, perpendiculaire, milieu, etc.).
  • Reformulez clairement la question : "Que dois-je trouver ?" (une longueur, un angle, une preuve d'alignement, une aire...).
• Schématisation de la situation :
  • Dessinez la figure ! Même si un dessin est fourni, redessinez-le si nécessaire, en le rendant plus clair et en y ajoutant les informations de l'énoncé.
  • Codez la figure : utilisez des symboles pour les angles droits, les côtés égaux, les droites parallèles, les milieux. Un bon schéma est une aide précieuse pour visualiser le problème.
• Choix des outils géométriques pertinents :
  • Une fois les données et l'objectif clairs, réfléchissez aux théorèmes et propriétés que vous connaissez et qui pourraient être utiles.
  • Exemple : Si on parle de triangle rectangle et de longueurs, pensez à Pythagore ou à la trigonométrie. Si on a des droites parallèles et des points alignés, pensez à Thalès. Si on doit prouver un alignement, pensez à la colinéarité des vecteurs ou à la réciproque de Thalès.
  • N'hésitez pas à essayer plusieurs pistes si la première ne mène à rien.

Une démonstration est une suite logique d'arguments qui prouve une affirmation.

• Rédaction structurée d'une démonstration : Une démonstration doit être claire et logique. Utilisez une structure type :
  1. Hypothèses (Ce que l'on sait) : "On sait que..." ou "On a un triangle $ABC$ tel que..."
  2. Théorème/Propriété utilisé(e) : "Or, d'après le théorème de..." ou "Or, la propriété d'un rectangle est que..."
  3. Conclusion (Ce que l'on en déduit) : "Donc..." ou "Par conséquent..."
• Utilisation des propriétés et théorèmes : Chaque étape de votre raisonnement doit être justifiée par une définition, une propriété, un théorème ou une donnée de l'énoncé. Ne laissez rien au hasard.
• Justification de chaque étape : Ne jamais affirmer sans justifier. C'est la clé d'une bonne démonstration. Si vous dites que deux droites sont parallèles, expliquez pourquoi (par exemple, "car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite", ou "d'après la réciproque du théorème de Thalès").

Ces calculs sont souvent la finalité des problèmes géométriques.

• Formules d'aires des figures usuelles :
  • Carré de côté $c$ : $A = c^2$
  • Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$ : $A = L \times l$
  • Triangle de base $b$ et hauteur $h$ : $A = \frac{b \times h}{2}$
  • Disque de rayon $R$ : $A = \pi R^2$
  • Parallélogramme de base $b$ et hauteur $h$ : $A = b \times h$
  • Trapèze de bases $B$ et $b$ et hauteur $h$ : $A = \frac{(B+b) \times h}{2}$
• Formules de volumes des solides usuels :
  • Pavé droit (parallélépipède rectangle) de longueur $L$, largeur $l$, hauteur $h$ : $V = L \times l \times h$
  • Cube de côté $c$ : $V = c^3$
  • Cylindre de rayon $R$ et hauteur $h$ : $V = \pi R^2 h$ (Aire de la base $\times$ hauteur)
  • Prisme droit d'aire de base $A_{base}$ et hauteur $h$ : $V = A_{base} \times h$
  • Pyramide d'aire de base $A_{base}$ et hauteur $h$ : $V = \frac{1}{3} A_{base} \times h$
  • Cône de révolution de rayon $R$ et hauteur $h$ : $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$
  • Boule de rayon $R$ : $V = \frac{4}{3} \pi R^3$
• Application des théorèmes de géométrie pour les calculs : Souvent, avant de pouvoir appliquer une formule d'aire ou de volume, il faut d'abord calculer des longueurs ou des hauteurs manquantes en utilisant Pythagore, Thalès, la trigonométrie, les propriétés des figures, ou les coordonnées. C'est là que la stratégie d'analyse de l'énoncé est fondamentale.

Comprendre comment les solides sont construits et représentés est essentiel.

• Parallélépipède rectangle, cube, pyramide, cône :
  • Parallélépipède rectangle (pavé droit) : Solide dont les six faces sont des rectangles.
  • Cube : Cas particulier de parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés (donc six faces carrées égales).
  • Pyramide : Solide avec une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet unique (l'apex).
  • Cône : Solide avec une base circulaire et une surface latérale courbe qui se rétrécit jusqu'à un sommet unique.
• Patrons de solides : Un patron est un développement à plat de toutes les faces d'un solide, permettant de le reconstituer par pliage. C'est utile pour visualiser toutes les surfaces qui composent le solide et pour calculer des aires latérales ou totales.
  • Le patron d'un cube est composé de 6 carrés.
  • Le patron d'un cylindre est composé de deux disques (les bases) et d'un rectangle (la surface latérale).
• Sections planes de solides simples : Une section plane est la figure obtenue en coupant un solide par un plan.
  • La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle.
  • La section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque.
  • La section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à sa base est une figure de même nature que la base, mais plus petite (réduction).

Les formules de volume ont été vues précédemment. Il est crucial de savoir les appliquer.

• Formules de volumes des solides usuels : (Rappel)
  • Pavé droit : $V = L \times l \times h$
  • Cube : $V = c^3$
  • Prisme droit : $V = A_{base} \times h$
  • Cylindre : $V = \pi R^2 h$
  • Pyramide : $V = \frac{1}{3} A_{base} \times h$
  • Cône : $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$
  • Boule : $V = \frac{4}{3} \pi R^3$
• Calcul d'aires latérales et totales :
  • L'aire latérale est l'aire de toutes les faces latérales du solide (sans les bases).
  • L'aire totale est l'aire de toutes les faces du solide (incluant les bases).
  • Exemple pour un cylindre :
    • Aire de la base : $\pi R^2$. Il y a deux bases, donc $2 \pi R^2$.
    • Aire latérale (rectangle du patron) : $2 \pi R \times h$ (circonférence de la base $\times$ hauteur).
    • Aire totale : $2 \pi R^2 + 2 \pi R h = 2 \pi R (R + h)$.
• Effets d'un agrandissement/réduction sur les volumes et aires : Si un solide est agrandi ou réduit par un coefficient $k$ :
  • Les longueurs sont multipliées par $k$.
  • Les aires (faces, aire latérale, aire totale) sont multipliées par $k^2$.
  • Les volumes sont multipliés par $k^3$.
  • Si $k > 1$, c'est un agrandissement. Si $0 < k < 1$, c'est une réduction. Exemple : Si un objet est réduit de moitié (donc $k = 0.5$), son volume sera réduit par $0.5^3 = 0.125$ (soit 8 fois plus petit). Son aire sera réduite par $0.5^2 = 0.25$ (soit 4 fois plus petite). C'est un concept très important pour les problèmes de sections ou de maquettes.