Résolution de problèmes numériques

Commencez toujours par une lecture attentive de l'énoncé. Ne lisez pas une seule fois, mais plusieurs fois, en vous posant des questions.

• Identification des données connues : Quels sont les chiffres, les quantités, les informations qui vous sont donnés ? Surlignez-les ou notez-les. Par exemple, si l'on parle d'un prix de départ et d'une réduction, ce sont des données connues.
• Identification de l'inconnue : Qu'est-ce que le problème vous demande de trouver ? C'est la question centrale. Il n'y a souvent qu'une ou deux inconnues principales.
• Reformulation du problème : Essayez de raconter le problème avec vos propres mots, plus simplement. Cela aide à s'assurer que vous avez bien saisi l'essence de la situation. Une bonne reformulation est le signe d'une bonne compréhension.

Exemple : "Un agriculteur possède un champ rectangulaire de 50 mètres de long. Il veut le clôturer et sait qu'il a besoin de 180 mètres de clôture. Quelle est la largeur de son champ ?"

• Données connues : Longueur = 50 m, Périmètre = 180 m.
• Inconnue : Largeur du champ.
• Reformulation : Je connais la longueur d'un rectangle et son périmètre, je dois trouver sa largeur.

Une fois le problème compris, il faut le traduire en langage mathématique. Pour cela, on utilise des variables.

• Définition des variables : Attribuez une lettre (souvent $x$, $y$, $L$, $l$, etc.) à chaque inconnue. Précisez clairement ce que représente chaque variable. Par exemple : "Soit $L$ la longueur du champ en mètres, et $l$ la largeur du champ en mètres."
• Cohérence des unités : Assurez-vous que toutes les quantités sont exprimées dans les mêmes unités. Si vous avez des mètres et des centimètres, convertissez tout dans la même unité avant de commencer les calculs. La cohérence des unités est essentielle pour éviter des erreurs grossières.
• Notation mathématique : Utilisez les symboles mathématiques appropriés ($+$, $-$, $\times$, $/$, $=$, $<$, $>$, etc.).
• Domaine de validité des variables : Réfléchissez aux valeurs possibles pour vos variables. Une longueur ou une largeur, par exemple, ne peut pas être négative. Si vous trouvez $l = -10$ m, c'est que quelque chose ne va pas. Donc, $l > 0$.

Exemple (suite) :

• Variables : Soit $l$ la largeur du champ en mètres. (La longueur $L=50$ m est déjà donnée).
• Unités : Tout est en mètres, donc c'est cohérent.
• Domaine de validité : $l > 0$.

C'est ici que le problème "réel" se transforme en un problème mathématique à résoudre.

• Mise en équation : Si le problème implique une égalité entre deux quantités. C'est la situation la plus fréquente. Une équation est une affirmation que deux expressions sont égales.
• Mise en inéquation : Si le problème implique une comparaison (plus grand que, plus petit que, au moins, au plus). Par exemple, "le coût ne doit pas dépasser 100 €".
• Mise en système : Si vous avez plusieurs inconnues et plusieurs relations entre elles. Par exemple, trouver le prix de deux articles différents alors que vous avez deux informations sur leurs prix combinés.
• Représentation graphique : Parfois, un dessin ou un graphique peut aider à visualiser le problème et à en déduire des relations.

Exemple (suite) : Le périmètre $P$ d'un rectangle est donné par la formule $P = 2 \times (L + l)$. On sait que $L=50$ et $P=180$. Donc, on peut écrire l'équation : $180 = 2 \times (50 + l)$. C'est une équation du premier degré à une inconnue $l$.

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation où l'inconnue (généralement $x$) apparaît avec une puissance de 1 (pas de $x^2$, $x^3$, etc.). Sa forme générale est $ax+b=0$ (où $a \neq 0$).

• Propriétés des égalités :
  • On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres d'une égalité sans changer l'égalité : $A=B \Leftrightarrow A+C = B+C$.
  • On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une égalité par le même nombre (non nul) sans changer l'égalité : $A=B \Leftrightarrow A \times C = B \times C$ (si $C \neq 0$).
• Isolation de l'inconnue : L'objectif est de manipuler l'équation pour obtenir l'inconnue seule d'un côté de l'égalité. C'est ce qu'on appelle "résoudre pour $x$".
  1. Développer et simplifier chaque membre si nécessaire.
  2. Regrouper tous les termes contenant l'inconnue d'un côté de l'égalité.
  3. Regrouper tous les termes constants de l'autre côté.
  4. Diviser par le coefficient de l'inconnue.
• Vérification de la solution : Une fois que vous avez trouvé une solution, remplacez-la dans l'équation de départ pour vérifier si l'égalité est bien respectée. C'est une étape cruciale pour s'assurer de l'exactitude de votre réponse.
• Cas particuliers ($0x=b$) :
  • Si $0x = 0$, l'équation a une infinité de solutions (tout nombre réel est solution).
  • Si $0x = b$ avec $b \neq 0$, l'équation n'a aucune solution (c'est impossible).

Exemple (suite) : $180 = 2 \times (50 + l)$

1. Diviser par 2 des deux côtés : $90 = 50 + l$
2. Soustraire 50 des deux côtés : $90 - 50 = l$
3. $l = 40$ Vérification : $2 \times (50 + 40) = 2 \times 90 = 180$. L'égalité est vérifiée.

Une inéquation du premier degré est similaire à une équation, mais elle utilise des signes d'inégalité ($<$, $>$, $\le$, $\ge$).

• Propriétés des inégalités :
  • On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l'inégalité.
  • On peut multiplier ou diviser les deux membres par un nombre positif sans changer le sens de l'inégalité.
  • ATTENTION : Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité ! Exemple : $2 < 5$. Multiplions par $-1$ : $-2 > -5$.
• Représentation des solutions sur une droite numérique : Les solutions d'une inéquation sont généralement un ensemble de nombres, pas un seul nombre. On les représente sur une droite graduée.
  • Un crochet tourné vers l'extérieur du segment indique que la valeur n'est pas incluse (pour $<$ ou $>$).
  • Un crochet tourné vers l'intérieur du segment indique que la valeur est incluse (pour $\le$ ou $\ge$).
• Intervalle de solutions : L'ensemble des solutions est souvent exprimé sous forme d'intervalle.
  • $x > a \Rightarrow ]a ; +\infty[$
  • $x \le b \Rightarrow ]-\infty ; b]$

Exemple : Résoudre $3x - 7 < 2x + 1$

1. Soustraire $2x$ des deux côtés : $x - 7 < 1$
2. Ajouter $7$ des deux côtés : $x < 8$ Les solutions sont tous les nombres réels strictement inférieurs à 8. Représentation sur une droite numérique : un point vide à 8, et une flèche allant vers la gauche. Intervalle de solutions : $]-\infty ; 8[$

• Traduction du problème : C'est l'étape vue précédemment (choix des variables, mise en équation/inéquation).
• Résolution algébrique : Appliquez les méthodes de résolution vues ci-dessus.
• Interprétation du résultat : Une fois la valeur de $x$ trouvée (ou l'intervalle de solutions), il faut la remettre dans le contexte du problème. Que signifie $x=40$ pour l'agriculteur ?
• Validation de la solution : Le résultat est-il logique ? (Une largeur ne peut pas être négative). Répond-il à toutes les conditions du problème ?

Exemple (suite) : $l=40$. L'agriculteur a un champ de 40 mètres de large. Cette valeur est positive, ce qui est logique pour une largeur.

Un système de deux équations à deux inconnues ($x$ et $y$) a la forme générale :

$$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$$

• Méthode par substitution :
  1. Choisissez l'une des équations et exprimez une inconnue en fonction de l'autre (par exemple, $y$ en fonction de $x$).
  2. Substituez cette expression dans la deuxième équation. Vous obtiendrez une équation à une seule inconnue.
  3. Résolvez cette équation pour trouver la valeur de la première inconnue.
  4. Reportez cette valeur dans l'expression que vous avez trouvée à l'étape 1 pour trouver la valeur de la deuxième inconnue.
• Méthode par combinaison linéaire (ou addition) :
  1. Multipliez une ou les deux équations par des nombres appropriés pour que les coefficients d'une des inconnues soient opposés (par exemple, $3x$ et $-3x$).
  2. Additionnez les deux équations membre à membre. L'inconnue dont les coefficients étaient opposés s'éliminera.
  3. Résolvez l'équation résultante à une inconnue.
  4. Reportez la valeur trouvée dans l'une des équations de départ pour trouver l'autre inconnue.
• Interprétation graphique : Chaque équation linéaire à deux inconnues représente une droite dans un plan cartésien.
  • Droites sécantes : Le système a une solution unique (le point d'intersection des deux droites). C'est le cas le plus fréquent.
  • Droites parallèles distinctes : Le système n'a aucune solution (les droites ne se coupent jamais).
  • Droites confondues : Le système a une infinité de solutions (tous les points de la droite sont solutions).
• Nombre de solutions : Un système linéaire peut avoir 0, 1 ou une infinité de solutions.

Exemple :

$$\begin{cases} 2x + y = 7 \quad (L_1) \\ x - 3y = 0 \quad (L_2) \end{cases}$$

Méthode par substitution : De $(L_2)$, on a $x = 3y$. Substituons dans $(L_1)$ : $2(3y) + y = 7 \Rightarrow 6y + y = 7 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow y = 1$. Ensuite, $x = 3(1) = 3$. La solution est le couple $(x,y) = (3,1)$.

• Mise en système : Identifiez les inconnues et les relations qui les lient pour former un système d'équations.
• Choix de la méthode de résolution : Choisissez la méthode (substitution ou combinaison) qui vous semble la plus simple ou la plus rapide pour le système donné.
• Vérification des solutions : Testez les valeurs trouvées dans les équations originales pour vous assurer qu'elles satisfont toutes les conditions.
• Réponse au problème posé : Formulez clairement la réponse en fonction du contexte du problème.

Exemple : "Deux stylos et un cahier coûtent 7 €. Un stylo et trois cahiers coûtent 9 €. Quel est le prix d'un stylo et d'un cahier ?"

• Inconnues : Soit $x$ le prix d'un stylo en euros, et $y$ le prix d'un cahier en euros.
• Système : $$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$$
• Résolution (par substitution) : De la première équation, $y = 7 - 2x$. Substituons dans la deuxième : $x + 3(7 - 2x) = 9 \Rightarrow x + 21 - 6x = 9 \Rightarrow -5x = 9 - 21 \Rightarrow -5x = -12 \Rightarrow x = \frac{12}{5} = 2,4$. Alors $y = 7 - 2(2,4) = 7 - 4,8 = 2,2$.
• Réponse : Un stylo coûte 2,40 € et un cahier coûte 2,20 €.

Une fonction affine a la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ est le coefficient directeur (ou pente) et $b$ est l'ordonnée à l'origine. Sa représentation graphique est une droite.

• Identification de la relation linéaire : Si une quantité varie de manière constante par rapport à une autre, c'est une relation affine. Par exemple, le coût d'un taxi (prix fixe + prix par km).
• Détermination de la pente et de l'ordonnée à l'origine :
  • La pente $a$ indique le taux de variation. Si $x$ augmente de 1, $f(x)$ augmente de $a$.
  • L'ordonnée à l'origine $b$ est la valeur de $f(x)$ lorsque $x=0$. C'est souvent une valeur de départ ou un coût fixe.
• Représentation graphique : Tracez la droite. Elle passe par le point $(0, b)$ et a une pente $a$.
• Lecture d'informations sur le graphique : On peut lire des valeurs, estimer des intersections, comparer des évolutions.

Exemple : Un forfait téléphonique coûte 10 € par mois, plus 0,10 € par minute de communication.

• Soit $x$ le nombre de minutes de communication.
• Soit $C(x)$ le coût total en euros.
• La fonction modélisant le coût est $C(x) = 0,10x + 10$.
  • Pente $a = 0,10$ (coût par minute)
  • Ordonnée à l'origine $b = 10$ (coût fixe de l'abonnement)

La représentation graphique peut offrir une solution visuelle aux problèmes.

• Intersection de courbes : Pour résoudre $f(x) = g(x)$, on trace les courbes représentatives de $f$ et $g$. Les solutions sont les abscisses des points d'intersection.
• Position relative de courbes : Pour résoudre $f(x) < g(x)$, on cherche les intervalles de $x$ où la courbe de $f$ est en dessous de la courbe de $g$.
• Lecture des abscisses et ordonnées : N'oubliez pas que les abscisses ($x$) sont les entrées de la fonction, et les ordonnées ($y$ ou $f(x)$) sont les sorties.
• Approximation des solutions : Les solutions graphiques sont souvent des approximations. Pour des valeurs exactes, la résolution algébrique est préférable, mais le graphique aide à visualiser et à vérifier la plausibilité.

Exemple : Résoudre graphiquement $0,10x + 10 = 15$. On trace la droite $y = 0,10x + 10$ et la droite horizontale $y = 15$. L'intersection donnera la valeur de $x$ pour laquelle le coût est de 15 €. (Résolution algébrique : $0,10x = 5 \Rightarrow x = 50$. Donc 50 minutes).

L'optimisation consiste à trouver la valeur maximale ou minimale d'une fonction, souvent sous certaines contraintes.

• Fonction objectif : C'est la fonction que l'on cherche à maximiser (ex: profit) ou à minimiser (ex: coût).
• Contraintes : Ce sont les limites ou les conditions imposées au problème (ex: budget limité, nombre d'articles entiers, etc.).
• Recherche de maximum/minimum : Pour les fonctions affines, sur un intervalle donné, le maximum et le minimum se trouvent aux extrémités de l'intervalle. Pour des fonctions plus complexes (vues plus tard), cela peut impliquer des calculs de dérivées.
• Interprétation du résultat : Expliquez ce que signifie la valeur optimale dans le contexte du problème.

Exemple : Un vendeur gagne 5 € par article vendu, moins un coût fixe de 20 € (pour le stand). Il ne peut vendre que 0 à 100 articles. Quel est son profit maximal ?

• Fonction objectif (Profit) : $P(x) = 5x - 20$, où $x$ est le nombre d'articles vendus.
• Contrainte : $0 \le x \le 100$.
• La fonction $P(x)$ est croissante (pente positive). Son maximum sera donc à l'extrémité droite de l'intervalle.
• $P(100) = 5(100) - 20 = 500 - 20 = 480$.
• Interprétation : Le profit maximal est de 480 € s'il vend 100 articles.

Avant de vous lancer dans les calculs, prenez un moment pour planifier votre approche.

• Découpage du problème : Si le problème est complexe, divisez-le en sous-problèmes plus petits et plus faciles à gérer.
• Choix des outils mathématiques : Décidez si vous aurez besoin d'équations, d'inéquations, de fonctions, de systèmes, ou d'autres concepts. Ne choisissez pas un outil au hasard, mais celui qui est le plus adapté.
• Estimation de l'ordre de grandeur : Avant de calculer, essayez d'estimer un résultat plausible. Si vous calculez la largeur d'un champ et que vous trouvez 0,001 m ou 1000 km, vous saurez que c'est probablement faux.
• Anticipation des difficultés : Pensez aux pièges possibles (unités, signe d'une inéquation, cas particuliers).

Une fois que vous avez une solution, le travail n'est pas terminé.

• Cohérence des unités : La réponse a-t-elle les bonnes unités ? Si vous cherchez une longueur, la réponse doit être en mètres, kilomètres, etc.
• Sens physique/concret du résultat : Le résultat est-il logique dans le contexte du problème ? Une quantité ne peut pas être négative si elle représente une distance, un temps, un nombre de personnes.
• Vérification par substitution : Reprenez l'énoncé original et remplacez les inconnues par vos solutions. Toutes les conditions sont-elles respectées ?
• Réponse claire à la question posée : Ne donnez pas juste un chiffre. Reprenez la question de l'énoncé et formulez une phrase complète pour y répondre.

Exemple (suite du champ) : $l=40$. L'unité est le mètre, c'est cohérent. 40 mètres est une largeur plausible pour un champ. En vérifiant avec le périmètre $2 \times (50+40) = 180$, c'est correct. Réponse : "La largeur du champ est de 40 mètres."

• Erreurs de calcul : Les erreurs d'addition, soustraction, multiplication, division sont fréquentes. Prenez votre temps, utilisez une calculatrice si autorisé, et revérifiez vos calculs.
• Erreurs de modélisation : C'est le fait de mal traduire le problème en équations ou inéquations. Relisez attentivement l'énoncé et votre traduction mathématique. Demandez-vous si chaque partie de l'énoncé est bien représentée.
• Oubli des unités : Toujours indiquer les unités dans vos réponses et s'assurer de leur cohérence tout au long du problème.
• Mauvaise interprétation : Ne pas relier la solution mathématique au contexte du problème. Un chiffre seul n'est pas une réponse complète. Expliquez ce qu'il signifie.
• Précipitation : La cause de beaucoup d'erreurs. Prenez le temps de lire, de comprendre, de planifier, de résoudre et de vérifier.

En suivant ces étapes et en étant méthodique, vous augmenterez considérablement vos chances de résoudre correctement les problèmes numériques !