Résoudre des problèmes de géométrie

Les figures planes sont les fondations de la géométrie. Chaque figure a des propriétés uniques.

• Triangles :

  • Triangle isocèle : Il a deux côtés de même longueur et deux angles à la base égaux.
  • Triangle équilatéral : Il a trois côtés de même longueur et trois angles égaux (chacun mesurant $60^\circ$).
  • Triangle rectangle : Il a un angle droit ($90^\circ$). Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse.

• Quadrilatères : Figures à quatre côtés.

  • Carré : Quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Ses diagonales sont de même longueur, se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
  • Rectangle : Quatre angles droits. Ses côtés opposés sont de même longueur. Ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
  • Losange : Quatre côtés de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
  • Parallélogramme : Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Ses diagonales se coupent en leur milieu.

• Cercles et disques :

  • Un cercle est l'ensemble de tous les points situés à une distance égale (le rayon) d'un point fixe (le centre).
  • Un disque est la surface délimitée par un cercle.
  • Le diamètre est la distance entre deux points du cercle passant par le centre ($D = 2 \times R$).

Ces deux théorèmes sont parmi les plus utilisés en géométrie.

• Théorème de Thalès :

  • Conditions d'application : On a deux droites sécantes (qui se coupent) coupées par deux droites parallèles. Typiquement, on a deux triangles "emboîtés" ou "en papillon".
    • Exemple : Soient $(BM)$ et $(CN)$ deux droites sécantes en $A$. Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors : $\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN}$
  • Calcul de longueurs avec Thalès : Ce théorème permet de calculer des longueurs inconnues quand on connaît d'autres longueurs et que les conditions de parallélisme sont remplies.
  • Réciproque du théorème de Thalès : Si $\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN}$ et que les points $A, B, M$ sont alignés ainsi que $A, C, N$ dans le même ordre, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

• Théorème de Pythagore :

  • Conditions d'application : S'applique uniquement dans un triangle rectangle.
  • Formule : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. $BC^2 = AB^2 + AC^2$
  • Calcul de longueurs avec Pythagore : Permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle si on connaît les longueurs des deux autres côtés.
    • Exemple : Si $AB=3$ et $AC=4$, alors $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, donc $BC = \sqrt{25} = 5$.
  • Réciproque du théorème de Pythagore : Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Cela permet de prouver qu'un triangle est rectangle.

Les angles jouent un rôle crucial dans la description des figures.

• Angles alternes-internes et correspondants : Quand deux droites parallèles sont coupées par une droite sécante :

  • Les angles alternes-internes sont égaux. Ils sont situés de part et d'autre de la sécante et entre les parallèles.
  • Les angles correspondants sont égaux. Ils sont situés du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur des parallèles.
  • Ces propriétés sont réciproques : si ces angles sont égaux, alors les droites sont parallèles.

• Somme des angles d'un triangle : La somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à $180^\circ$.

• Angles inscrits et angles au centre :

  • Un angle au centre a son sommet au centre du cercle et ses côtés passent par deux points du cercle.
  • Un angle inscrit a son sommet sur le cercle et ses côtés coupent le cercle en deux autres points.
  • Un angle au centre qui intercepte le même arc qu'un angle inscrit est égal à deux fois la mesure de l'angle inscrit.
  • Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

Ces calculs sont fondamentaux pour quantifier l'espace occupé par les figures ou la longueur de leurs contours.

• Formules d'aires des figures usuelles :

  • Carré : $c \times c = c^2$ (où $c$ est la longueur d'un côté)
  • Rectangle : $L \times l$ (où $L$ est la longueur et $l$ la largeur)
  • Triangle : $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$
  • Disque : $\pi \times R^2$ (où $R$ est le rayon)
  • Parallélogramme : $\text{base} \times \text{hauteur}$

• Formules de périmètres des figures usuelles : Le périmètre est la somme des longueurs des côtés.

  • Carré : $4 \times c$
  • Rectangle : $2 \times (L + l)$
  • Triangle : $a + b + c$ (somme des longueurs des trois côtés)
  • Cercle (circonférence) : $2 \times \pi \times R$ ou $\pi \times D$ (où $D$ est le diamètre)

• Unités de mesure : Il est crucial de toujours utiliser les bonnes unités et de les convertir si nécessaire (mm, cm, dm, m, km pour les longueurs ; $mm^2, cm^2, m^2, km^2$ pour les aires).

• Repère orthonormé : C'est un système de coordonnées où les axes sont perpendiculaires et l'unité de longueur est la même sur les deux axes. On le note $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
• Coordonnées d'un point : Tout point $M$ dans le plan est repéré par un couple de nombres $(x_M; y_M)$, appelés ses coordonnées. $x_M$ est l'abscisse et $y_M$ est l'ordonnée.
• Coordonnées d'un vecteur (AB) : Si $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$, alors les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont : $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$
• Calcul de coordonnées de vecteurs : C'est la base pour toutes les opérations vectorielles. Par exemple, si $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$, alors $\vec{u} + \vec{v} = (x+x'; y+y')$ et $k\vec{u} = (kx; ky)$.

• Formule de la distance entre deux points : La distance $AB$ entre deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ est donnée par : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ C'est une application du théorème de Pythagore dans le repère !
• Formule des coordonnées du milieu d'un segment : Le milieu $M$ d'un segment $[AB]$ avec $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ a pour coordonnées : $M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
• Application à la nature de figures : Ces formules permettent de démontrer la nature de figures :
  • Égalité de longueurs (pour un triangle isocèle, un losange...).
  • Coordonnées du milieu (pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales ont le même milieu).

Les vecteurs sont des outils puissants pour prouver l'alignement ou le parallélisme.

• Condition d'alignement de trois points (colinéarité de vecteurs) : Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ (ou $\vec{BC}$) sont colinéaires.
  • Deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont colinéaires si et seulement si $xy' - yx' = 0$ (leur déterminant est nul) ou si l'un est un multiple de l'autre ($\vec{u} = k\vec{v}$ avec $k \in \mathbb{R}$).
• Condition de parallélisme de deux droites (colinéarité de vecteurs) : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.
• Démonstrations géométriques par le calcul vectoriel : Ces propriétés permettent de prouver des relations géométriques par le calcul des coordonnées, ce qui est souvent plus direct que des démonstrations purement géométriques.

• Produit scalaire (introduction intuitive ou rappel) : En Seconde, le produit scalaire est souvent introduit comme un outil pour la perpendicularité. Pour deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$, leur produit scalaire est $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
• Condition d'orthogonalité de deux vecteurs : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux (leurs directions sont perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff xx' + yy' = 0$
• Démonstration de triangles rectangles : Pour prouver qu'un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, il suffit de montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire que leur produit scalaire est nul. C'est une alternative à la réciproque du théorème de Pythagore.

• Définition d'une translation par un vecteur : Une translation est une transformation qui "glisse" une figure dans une direction et une distance donnée, définie par un vecteur $\vec{u}$. Chaque point $M$ est transformé en un point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{u}$.
• Image d'un point, d'une figure par translation : Pour trouver l'image d'un point $M(x;y)$ par une translation de vecteur $\vec{u}(a;b)$, le point image $M'(x';y')$ aura pour coordonnées $(x+a; y+b)$. L'image d'une figure est une figure identique, simplement déplacée.
• Propriétés des translations : Les translations conservent les longueurs, les angles, les aires, l'orientation et le parallélisme. La figure image est superposable à la figure originale.

• Définition d'une rotation (centre, angle, sens) : Une rotation fait "tourner" une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation $O$, d'un certain angle et dans un sens (horaire ou anti-horaire).
• Image d'un point, d'une figure par rotation : L'image $M'$ d'un point $M$ par une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ est telle que $OM = OM'$ et l'angle $\widehat{MOM'} = \alpha$.
• Propriétés des rotations : Les rotations conservent les longueurs, les angles, les aires et la forme des figures. Elles ne conservent pas l'orientation si l'angle est non nul.

• Définition d'une symétrie axiale (axe) : La symétrie axiale (ou réflexion) par rapport à une droite $D$ (l'axe) transforme un point $M$ en $M'$ tel que $D$ est la médiatrice du segment $[MM']$. C'est comme un effet miroir.
• Définition d'une symétrie centrale (centre) : La symétrie centrale par rapport à un point $O$ (le centre) transforme un point $M$ en $M'$ tel que $O$ est le milieu du segment $[MM']$. C'est équivalent à une rotation de $180^\circ$.
• Propriétés des symétries : Les symétries axiales et centrales conservent les longueurs, les angles et les aires. La symétrie axiale inverse l'orientation, tandis que la symétrie centrale la conserve.

• Définition d'une homothétie (centre, rapport) : Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un centre $O$ et selon un rapport $k$ (un nombre non nul).
  • Si $|k| > 1$, c'est un agrandissement.
  • Si $0 < |k| < 1$, c'est une réduction.
  • Si $k < 0$, la figure est inversée par rapport au centre.
• Image d'un point, d'une figure par homothétie : L'image $M'$ d'un point $M$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ est telle que $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.
• Effet sur les longueurs, aires et volumes :
  • Les longueurs sont multipliées par $|k|$.
  • Les aires sont multipliées par $k^2$.
  • Les volumes (pour les solides) sont multipliés par $|k|^3$.
  • Les homothéties conservent les angles et le parallélisme.

• Pavé droit (parallélépipède rectangle), cube :
  • Le pavé droit a six faces rectangulaires.
  • Le cube est un pavé droit dont toutes les faces sont des carrés (donc toutes les arêtes ont la même longueur).
  • Ils ont 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces.
• Pyramide, cône, cylindre, sphère :
  • Pyramide : Base polygonale et faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet (l'apex).
  • Cône : Base circulaire et une surface latérale courbe qui se rejoint en un sommet.
  • Cylindre : Deux bases circulaires parallèles et une surface latérale courbe.
  • Sphère : Ensemble des points de l'espace équidistants d'un point fixe (le centre).
• Patrons et vues en perspective :
  • Un patron est une figure plane qui permet de reconstituer un solide par pliage.
  • Les vues en perspective (cavalière, centrale) permettent de représenter un solide en 3D sur une surface 2D.
• Vocabulaire (faces, arêtes, sommets) :
  • Face : Surface plane qui délimite le solide.
  • Arête : Segment commun à deux faces.
  • Sommet : Point d'intersection de plusieurs arêtes.

• Formules de volumes des solides usuels :
  • Pavé droit : $L \times l \times h$ (longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur)
  • Cube : $c^3$ (côté $\times$ côté $\times$ côté)
  • Prisme droit (dont cylindre) : $A_{base} \times h$
  • Pyramide et cône : $\frac{1}{3} \times A_{base} \times h$
  • Sphère : $\frac{4}{3} \times \pi \times R^3$
• Formules d'aires latérales et totales :
  • Aire latérale : Somme des aires des faces latérales (ou surface courbe latérale).
  • Aire totale : Aire latérale + $A_{base}$ (pour une pyramide, un cône) ou + $2 \times A_{base}$ (pour un prisme, un cylindre).
  • Aire d'une sphère : $4 \times \pi \times R^2$.
• Conversion d'unités de volume : Attention aux conversions ! $1 m^3 = 1000 dm^3 = 1000 L$. $1 cm^3 = 1 mL$.

Une section plane est la figure obtenue en coupant un solide par un plan.

• Section d'un cube, pavé droit par un plan :
  • Par un plan parallèle à une face : la section est un rectangle (ou un carré) identique à la face.
  • Par un plan parallèle à une arête : la section est un rectangle.
  • Par un plan coupant les arêtes : la section peut être un triangle, un quadrilatère, etc.
• Section d'une pyramide, cône par un plan parallèle à la base : La section est une figure semblable à la base.
  • Pour une pyramide, c'est une petite pyramide.
  • Pour un cône, c'est un petit cône.
• Agrandissement et réduction (rapports de longueurs, aires, volumes) :
  • Lors d'une réduction ou d'un agrandissement (par exemple, une section parallèle à la base d'une pyramide), s'il y a un rapport de longueurs $k$ :
    • Les longueurs sont multipliées par $k$.
    • Les aires sont multipliées par $k^2$.
    • Les volumes sont multipliés par $k^3$.

• Lecture attentive et surlignage des informations clés : Lisez l'énoncé plusieurs fois. Surlignez les nombres, les relations (parallèle, perpendiculaire, milieu, etc.) et ce qui est demandé.
• Schématisation du problème : Si ce n'est pas déjà fait, faites un schéma clair et précis. Nommez les points, les droites, indiquez les longueurs connues, les angles, les symboles de perpendicularité ou de parallélisme. C'est essentiel pour visualiser le problème.
• Identification des grandeurs connues et inconnues : Listez ce que vous savez (données) et ce que vous cherchez (inconnues). Cela vous aidera à choisir les bons outils.

• Sélection des théorèmes et propriétés pertinents : En fonction des données et de ce qui est demandé, identifiez les théorèmes (Thalès, Pythagore, etc.), les propriétés des figures (diagonales du parallélogramme, angles d'un triangle, etc.) ou les formules (aires, volumes) qui pourraient être utiles.
  • Exemple : Si un triangle est rectangle et qu'il faut trouver une longueur, pensez à Pythagore ou à la trigonométrie. Si des droites sont parallèles et qu'il y a des longueurs à calculer, pensez à Thalès.
• Utilisation de la géométrie plane ou repérée :
  • La géométrie plane est souvent plus intuitive pour les démonstrations de propriétés (alignement, parallélisme) ou l'utilisation de théorèmes classiques.
  • La géométrie repérée est idéale pour les calculs de longueurs, de milieux, pour prouver l'alignement, le parallélisme ou la perpendicularité par le calcul des coordonnées.
• Décomposition du problème en sous-problèmes : Les problèmes complexes peuvent souvent être divisés en étapes plus simples. Résolvez chaque petite étape une par une.

• Argumentation claire et structurée : Votre solution doit être un raisonnement logique.
  • Commencez par "On sait que..." (données de l'énoncé, propriétés connues).
  • Ensuite, "Or..." (théorème, propriété que vous appliquez).
  • Concluez par "Donc..." (le résultat).
  • Rédigez des phrases complètes et utilisez le vocabulaire géométrique approprié.
• Justification de chaque étape : Ne laissez aucune étape sans explication. Indiquez clairement quel théorème ou quelle propriété vous utilisez à chaque fois.
• Vérification de la cohérence des résultats :
  • Est-ce que le résultat a du sens par rapport au schéma ? (Une longueur ne peut pas être négative, l'hypoténuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle...).
  • Avez-vous répondu à toutes les questions posées ?
  • Les unités sont-elles correctes ?
  • Refaites les calculs si vous avez un doute.