Utiliser le calcul littéral

En mathématiques, une variable est une lettre (comme $x$, $y$, $a$, $b$, etc.) qui représente un nombre dont la valeur peut changer ou est encore inconnue.

Une expression littérale est une écriture mathématique qui contient une ou plusieurs variables, des nombres et des opérations ($+$, $-$, $\times$, $/$, puissances). Ces expressions ne sont pas des équations car elles ne contiennent pas de signe égal ($=$).

Exemples d'expressions littérales :

• $3x + 5$ (contient la variable $x$)
• $a^2 - 2ab + b^2$ (contient les variables $a$ et $b$)
• $7(y - 4)$ (contient la variable $y$)
• $\frac{x+1}{2}$ (contient la variable $x$)

Une expression littérale est une sorte de "formule" où les lettres tiennent la place de nombres.

Simplifier une expression littérale, c'est l'écrire de la manière la plus courte et la plus claire possible, sans changer sa valeur.

Règles de simplification :

1. Multiplication : Le signe $\times$ peut être omis entre un nombre et une lettre, entre deux lettres, ou devant une parenthèse.
   • $3 \times x$ s'écrit $3x$
   • $a \times b$ s'écrit $ab$
   • $2 \times (x+y)$ s'écrit $2(x+y)$
2. Produit de la même variable : $x \times x$ s'écrit $x^2$. De même, $x \times x \times x$ s'écrit $x^3$.
3. Coefficient : Le nombre qui multiplie une variable est appelé le coefficient. On l'écrit toujours avant la variable. $x \times 3$ s'écrit $3x$. Si le coefficient est 1, on ne l'écrit pas : $1x$ s'écrit $x$.

Réduction de termes semblables : Les termes semblables sont des termes qui ont la même partie littérale (la même variable ou les mêmes variables avec les mêmes puissances). On peut les additionner ou les soustraire entre eux.

Exemple : $5x + 3y - 2x + 7y + 4$

• Les termes en $x$ sont $5x$ et $-2x$. On les regroupe : $5x - 2x = 3x$.
• Les termes en $y$ sont $3y$ et $7y$. On les regroupe : $3y + 7y = 10y$.
• Le terme constant est $4$. L'expression simplifiée est $3x + 10y + 4$.

Ordre des opérations : Respectez toujours l'ordre PEMDAS/Priorités Opératoires (Parenthèses, Exposants, Multiplications et Divisions, Additions et Soustractions).

Exemple de simplification : Simplifier $A = 2x + 5 - 3(x - 2) + x^2$

1. Développer la parenthèse : $A = 2x + 5 - 3x + 6 + x^2$ (attention au signe moins devant la parenthèse !)
2. Regrouper les termes semblables :
   • Termes en $x^2$ : $x^2$
   • Termes en $x$ : $2x - 3x = -x$
   • Termes constants : $5 + 6 = 11$
3. Réécrire l'expression dans l'ordre décroissant des puissances : $A = x^2 - x + 11$.

Substituer signifie remplacer une variable par une valeur numérique donnée. Ensuite, on calcule la valeur de l'expression.

Méthode :

1. Remplacez chaque occurrence de la variable par sa valeur numérique.
2. Utilisez des parenthèses pour les nombres négatifs ou les fractions lors de la substitution afin d'éviter les erreurs de calcul.
3. Effectuez les calculs en respectant l'ordre des opérations.

Exemple 1 : Calculer $E = 3x + 5$ pour $x = 2$. $E = 3 \times (2) + 5$ $E = 6 + 5$ $E = 11$

Exemple 2 : Calculer $F = x^2 - 4x + 1$ pour $x = -3$. $F = (-3)^2 - 4 \times (-3) + 1$ $F = 9 - (-12) + 1$ $F = 9 + 12 + 1$ $F = 22$

Importance des parenthèses : Si $x = -2$, alors :

• $x^2 = (-2)^2 = 4$
• $-x^2 = -(-2)^2 = -4$
• $-x = -(-2) = 2$

La distributivité simple est la règle qui permet de multiplier un nombre (ou une variable) par une somme ou une différence.

Règle : Pour tous nombres $k$, $a$, $b$ :

• $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ ou $k(a+b) = ka + kb$
• $k \times (a - b) = k \times a - k \times b$ ou $k(a-b) = ka - kb$

Application avec des nombres : $5 \times (3 + 7) = 5 \times 3 + 5 \times 7 = 15 + 35 = 50$ On peut vérifier : $5 \times (10) = 50$.

Application avec des variables :

• Développer $A = 3(x + 4)$ $A = 3 \times x + 3 \times 4$ $A = 3x + 12$

• Développer $B = -2(y - 5)$ $B = -2 \times y - (-2) \times 5$ $B = -2y + 10$

• Développer $C = x(x + 7)$ $C = x \times x + x \times 7$ $C = x^2 + 7x$

Attention aux signes lors du développement, surtout quand $k$ est négatif.

La double distributivité est utilisée pour développer le produit de deux sommes ou de deux différences.

Règle : Pour tous nombres $a$, $b$, $c$, $d$ : $(a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d = ac + ad + bc + bd$

On distribue chaque terme de la première parenthèse à chaque terme de la seconde.

Exemple : Développer $D = (x + 3)(x + 5)$ $D = x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5$ $D = x^2 + 5x + 3x + 15$ $D = x^2 + 8x + 15$ (Après réduction des termes semblables $5x+3x$)

Exemple avec des signes négatifs : Développer $E = (2x - 1)(x + 4)$ $E = 2x \times x + 2x \times 4 - 1 \times x - 1 \times 4$ $E = 2x^2 + 8x - x - 4$ $E = 2x^2 + 7x - 4$

Erreurs courantes à éviter :

• Oublier de multiplier certains termes.
• Faire des erreurs de signe, surtout avec les nombres négatifs.
• Oublier de réduire les termes semblables à la fin.

Les identités remarquables sont des égalités qui permettent de développer ou de factoriser plus rapidement certaines expressions. Il y en a trois principales à connaître par cœur.

1. Carré d'une somme : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

   • C'est comme faire $(a+b)(a+b)$ avec la double distributivité : $(a+b)(a+b) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

   Exemple : Développer $(x + 5)^2$ Ici, $a = x$ et $b = 5$. $(x+5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2$ $= x^2 + 10x + 25$

2. Carré d'une différence : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

   • C'est comme faire $(a-b)(a-b)$ : $(a-b)(a-b) = a \times a - a \times b - b \times a + b \times b = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

   Exemple : Développer $(3x - 4)^2$ Ici, $a = 3x$ et $b = 4$. $(3x-4)^2 = (3x)^2 - 2 \times (3x) \times 4 + 4^2$ $= 9x^2 - 24x + 16$

Apprendre ces formules par cœur est essentiel pour gagner du temps et éviter les erreurs.

La factorisation par facteur commun est la méthode la plus simple. Elle utilise la distributivité dans le sens inverse : $ka + kb = k(a + b)$.

Pour factoriser une expression, on cherche un terme (un nombre, une variable ou une expression entre parenthèses) qui est présent dans tous les termes de l'expression. Ce terme est le facteur commun.

Méthode de factorisation par facteur commun :

1. Identifier le facteur commun à tous les termes.
2. Écrire ce facteur commun.
3. Ouvrir une parenthèse.
4. Écrire ce qui reste dans la parenthèse pour chaque terme, après avoir "enlevé" le facteur commun.

Exemple 1 : Factoriser $A = 5x + 10$

• Le facteur commun est $5$ car $10 = 5 \times 2$.
• $A = 5 \times x + 5 \times 2$
• $A = 5(x + 2)$

Exemple 2 : Factoriser $B = 7x^2 - 21x$

• Le facteur commun est $7x$ car $7x^2 = 7x \times x$ et $21x = 7x \times 3$.
• $B = 7x \times x - 7x \times 3$
• $B = 7x(x - 3)$

Factorisation avec des expressions complexes (facteur commun est une parenthèse) : Exemple 3 : Factoriser $C = (x+1)(2x-3) + 5(x+1)$

• Le facteur commun est $(x+1)$.
• $C = (x+1) \times (2x-3) + 5 \times (x+1)$
• $C = (x+1) [(2x-3) + 5]$
• $C = (x+1) [2x - 3 + 5]$
• $C = (x+1)(2x + 2)$
• On peut même factoriser par 2 dans la deuxième parenthèse : $C = 2(x+1)(x+1) = 2(x+1)^2$.

La troisième identité remarquable est très utile pour la factorisation.

3. Différence de deux carrés : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Pour l'utiliser, il faut reconnaître une expression qui est la soustraction de deux termes qui sont eux-mêmes des carrés.

Factorisation à partir de la forme développée : Exemple 1 : Factoriser $F = x^2 - 9$

• On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = x$ et $b = 3$ (car $9 = 3^2$).
• $F = x^2 - 3^2$
• $F = (x - 3)(x + 3)$

Exemple 2 : Factoriser $G = 25x^2 - 49$

• On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = 5x$ (car $25x^2 = (5x)^2$) et $b = 7$ (car $49 = 7^2$).
• $G = (5x)^2 - 7^2$
• $G = (5x - 7)(5x + 7)$

Application à des expressions numériques : On peut utiliser cette identité pour simplifier des calculs numériques : Calculer $101^2 - 99^2$ C'est de la forme $a^2 - b^2$ avec $a = 101$ et $b = 99$. $101^2 - 99^2 = (101 - 99)(101 + 99)$ $= (2)(200)$ $= 400$ C'est beaucoup plus rapide que de calculer $101^2$ et $99^2$ séparément !

Parfois, il faut combiner les méthodes de factorisation.

Stratégie :

1. Toujours chercher d'abord un facteur commun.
2. Si ce n'est pas possible, vérifier si l'expression correspond à une identité remarquable.
3. Parfois, une fois le facteur commun trouvé, l'expression restante peut être factorisée par une identité remarquable (ou vice-versa).

Exemple 1 : Factoriser $H = 2x^2 - 18$

• Il y a un facteur commun : $2$.
• $H = 2(x^2 - 9)$
• La parenthèse $(x^2 - 9)$ est une identité remarquable ($a^2 - b^2$).
• $H = 2(x - 3)(x + 3)$

Exemple 2 (Factorisation par regroupement) : Factoriser $I = xy + 3x + 2y + 6$

• Il n'y a pas de facteur commun à tous les termes.
• On peut regrouper les termes deux par deux :
  • $xy + 3x = x(y + 3)$
  • $2y + 6 = 2(y + 3)$
• Donc $I = x(y + 3) + 2(y + 3)$
• Maintenant, $(y+3)$ est un facteur commun :
• $I = (y+3)(x + 2)$

Vérification par développement : Pour vérifier si une factorisation est correcte, on peut développer l'expression factorisée et voir si on retrouve l'expression initiale. Pour l'exemple $I = (y+3)(x + 2)$ : $(y+3)(x+2) = yx + 2y + 3x + 6 = xy + 3x + 2y + 6$. C'est correct !

Une équation du premier degré (ou linéaire) est une égalité qui contient une inconnue (souvent $x$) et où la puissance la plus élevée de cette inconnue est 1. La résoudre, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

Principe d'équilibre : Une équation est comme une balance à deux plateaux. Pour qu'elle reste en équilibre, toute opération effectuée d'un côté doit être effectuée de manière identique de l'autre côté.

Opérations inverses :

• L'inverse de l'addition est la soustraction.
• L'inverse de la soustraction est l'addition.
• L'inverse de la multiplication est la division.
• L'inverse de la division est la multiplication.

Méthode de résolution :

1. Simplifier chaque côté de l'équation (développer, réduire).
2. Regrouper tous les termes en $x$ d'un côté de l'équation (généralement à gauche) et tous les termes constants de l'autre côté (généralement à droite). Pour cela, on "déplace" les termes en effectuant l'opération inverse.
3. Isoler $x$ en divisant (ou multipliant) par le coefficient de $x$.

Exemple : Résoudre $4x - 7 = 2x + 5$

1. Pas de simplification nécessaire ici.
2. Regrouper les $x$ à gauche et les constantes à droite :
   • On soustrait $2x$ des deux côtés : $4x - 7 - 2x = 2x + 5 - 2x$ $2x - 7 = 5$
   • On ajoute $7$ des deux côtés : $2x - 7 + 7 = 5 + 7$ $2x = 12$
3. Isoler $x$ :
   • On divise par $2$ des deux côtés : $\frac{2x}{2} = \frac{12}{2}$ $x = 6$

Vérification des solutions : Pour s'assurer que la solution est correcte, on remplace $x$ par la valeur trouvée dans l'équation de départ. $4(6) - 7 = 24 - 7 = 17$ $2(6) + 5 = 12 + 5 = 17$ Les deux côtés sont égaux, la solution $x=6$ est correcte.

Traduire un problème concret en langage mathématique (une équation) est une compétence clé.

Étapes pour résoudre un problème avec une équation :

1. Lire attentivement l'énoncé et comprendre la situation.
2. Choisir l'inconnue : Identifier la quantité que l'on cherche et lui attribuer une variable (souvent $x$).
3. Mettre le problème en équation : Traduire les informations de l'énoncé en une égalité mathématique. C'est souvent la partie la plus délicate.
4. Résoudre l'équation.
5. Vérifier la solution dans le contexte du problème.
6. Rédiger une phrase de conclusion répondant clairement à la question posée.

Exemple : "J'ai acheté 3 stylos et 2 cahiers pour 12 euros. Un cahier coûte 1,50 euro de plus qu'un stylo. Quel est le prix d'un stylo ?"

1. On cherche le prix d'un stylo.
2. Soit $x$ le prix d'un stylo (en euros). Alors le prix d'un cahier est $x + 1,50$.
3. Mise en équation : Prix de 3 stylos : $3x$ Prix de 2 cahiers : $2(x + 1,50)$ Coût total : $3x + 2(x + 1,50) = 12$
4. Résolution : $3x + 2x + 3 = 12$ $5x + 3 = 12$ $5x = 12 - 3$ $5x = 9$ $x = \frac{9}{5} = 1,80$
5. Vérification : Un stylo coûte 1,80€. Un cahier coûte $1,80 + 1,50 = 3,30€$. $3 \times 1,80 + 2 \times 3,30 = 5,40 + 6,60 = 12$. C'est correct.
6. Conclusion : Le prix d'un stylo est de 1,80 euros.

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie. Les solutions sont souvent un intervalle de nombres.

Propriétés des inégalités :

• On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres d'une inégalité sans changer son sens. Si $a < b$, alors $a + c < b + c$ et $a - c < b - c$.
• On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre positif sans changer son sens. Si $a < b$ et $c > 0$, alors $ac < bc$ et $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.
• ATTENTION : On doit changer le sens de l'inégalité si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif. Si $a < b$ et $c < 0$, alors $ac > bc$ et $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.

Méthode de résolution : La méthode est la même que pour les équations, avec la règle cruciale du changement de sens.

Exemple 1 : Résoudre $2x + 3 < 7$ $2x < 7 - 3$ $2x < 4$ $x < \frac{4}{2}$ (On divise par 2, qui est positif, donc on ne change pas le sens) $x < 2$ Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à 2.

Exemple 2 : Résoudre $-3x + 1 \ge 10$ $-3x \ge 10 - 1$ $-3x \ge 9$ $x \le \frac{9}{-3}$ (On divise par -3, qui est négatif, donc on change le sens de $\ge$ à $\le$) $x \le -3$ Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à -3.

Représentation des solutions sur une droite numérique : Les solutions d'une inéquation sont un ensemble de nombres, souvent représenté par un intervalle sur une droite graduée.

• $x < 2$ : on hachure la partie gauche de 2. Le crochet est tourné vers l'extérieur du côté des solutions, car 2 n'est pas inclus.

  -----|-----|-----|-----|----->
       0     1     2     3
             <-----|
  

• $x \le -3$ : on hachure la partie gauche de -3. Le crochet est tourné vers l'intérieur du côté des solutions, car -3 est inclus.

  -----|-----|-----|-----|----->
      -4    -3    -2    -1
            |----->
  

Le calcul littéral est fondamental en géométrie pour exprimer des périmètres, des aires, des volumes, et pour démontrer des propriétés générales.

Périmètres et aires avec des variables :

• Rectangle : Soit un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$.
  • Périmètre $P = 2L + 2l = 2(L + l)$
  • Aire $A = L \times l$
• Carré : Soit un carré de côté $c$.
  • Périmètre $P = 4c$
  • Aire $A = c^2$
• Triangle : Soit un triangle de base $b$ et de hauteur $h$.
  • Aire $A = \frac{b \times h}{2}$

Exemple : Un rectangle a une longueur $x+5$ et une largeur $x$.

• Exprimer son périmètre $P$ en fonction de $x$. $P = 2((x+5) + x) = 2(2x+5) = 4x + 10$
• Exprimer son aire $A$ en fonction de $x$. $A = (x+5) \times x = x^2 + 5x$

Expressions de volumes :

• Cube : Côté $c$, Volume $V = c^3$
• Parallélépipède rectangle : Longueur $L$, largeur $l$, hauteur $h$, Volume $V = L \times l \times h$

Démonstrations géométriques : Le calcul littéral permet de prouver des résultats pour toutes les figures d'un certain type. Par exemple, prouver que si on augmente la longueur d'un carré de $x$ et diminue sa largeur de $x$, l'aire diminue.

Modéliser une situation, c'est la traduire en une expression littérale ou une équation/inéquation pour pouvoir l'analyser et la résoudre mathématiquement.

Traduction de problèmes en expressions littérales :

• "Le triple d'un nombre augmenté de 7" se traduit par $3x + 7$.
• "La différence entre le carré d'un nombre et le nombre lui-même" se traduit par $x^2 - x$.

Exemple : Un club de sport propose deux tarifs annuels :

• Tarif A : 50€ d'adhésion et 10€ par séance.
• Tarif B : 15€ par séance, sans adhésion.

1. Exprimer le coût pour $n$ séances avec chaque tarif.
   • Coût A : $C_A = 50 + 10n$
   • Coût B : $C_B = 15n$
2. Pour quel nombre de séances le tarif A est-il plus avantageux que le tarif B ? On cherche $n$ tel que $C_A < C_B$. $50 + 10n < 15n$ $50 < 15n - 10n$ $50 < 5n$ $\frac{50}{5} < n$ $10 < n$ Le tarif A est plus avantageux à partir de la 11ème séance.

Le calcul littéral est un outil puissant pour prouver des propriétés générales en mathématiques, car il permet de travailler avec des nombres indéterminés.

Utilisation du calcul littéral pour prouver des propriétés : Exemple : Prouver que la somme de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de 4.

1. Représenter un nombre impair : Un nombre impair peut s'écrire sous la forme $2n + 1$, où $n$ est un entier.
2. Représenter le nombre impair consécutif : Le nombre impair suivant est $(2n + 1) + 2 = 2n + 3$.
3. Calculer leur somme : Somme $S = (2n + 1) + (2n + 3)$ $S = 2n + 1 + 2n + 3$ $S = 4n + 4$
4. Factoriser la somme : $S = 4(n + 1)$
5. Conclusion : Puisque $n$ est un entier, $n+1$ est aussi un entier. Donc $4(n+1)$ est un multiple de 4. La propriété est démontrée de manière générale pour tous les nombres impairs consécutifs.

Rigueur de la démonstration : Une démonstration doit être logique, claire et chaque étape doit être justifiée. Le calcul littéral permet d'assurer cette rigueur en manipulant des expressions générales plutôt que des exemples spécifiques.