Les nombres

Les nombres entiers naturels sont les nombres que l'on utilise pour compter des choses. Ils commencent à zéro et continuent indéfiniment : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Ils n'ont pas de virgule et ne sont pas négatifs.

On les utilise pour savoir « combien » il y a d'éléments ou pour « ordonner » des choses.

Exemples concrets :

• Le nombre d'élèves dans ta classe (25 élèves)
• Le nombre de doigts sur une main (5 doigts)
• Ton âge (11 ans)
• Le numéro d'une page dans un livre (page 123)

Pour lire et écrire de grands nombres, on utilise la valeur de position de chaque chiffre. Chaque chiffre a une valeur différente selon sa place dans le nombre.

On regroupe les chiffres par classes de trois, en partant de la droite.

Exemple : Le nombre 123 456

• Le 6 est le chiffre des unités.
• Le 5 est le chiffre des dizaines.
• Le 4 est le chiffre des centaines.
• Le 3 est le chiffre des unités de mille.
• Le 2 est le chiffre des dizaines de mille.
• Le 1 est le chiffre des centaines de mille.

Pour l'écrire en lettres : cent-vingt-trois-mille-quatre-cent-cinquante-six. N'oublie pas les tirets entre les mots qui composent un nombre, sauf si "et" est présent.

Comparer des nombres, c'est dire s'ils sont égaux ou si l'un est plus grand que l'autre. On utilise les symboles :

• < (plus petit que)
• > (plus grand que)
• = (égal à)

Méthode de comparaison :

1. Compter le nombre de chiffres : Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand.
   • Exemple : 345 > 98 (car 3 chiffres > 2 chiffres)
2. Comparer chiffre par chiffre (en partant de la gauche) : Si les nombres ont le même nombre de chiffres, on compare les chiffres de gauche à droite jusqu'à trouver une différence.
   • Exemple : 4567 et 4589
     • Les milliers sont les mêmes (4 = 4).
     • Les centaines sont les mêmes (5 = 5).
     • Les dizaines sont différentes (6 < 8). Donc, 4567 < 4589.

Ranger des nombres, c'est les classer dans un certain ordre :

• Ordre croissant : Du plus petit au plus grand.
• Ordre décroissant : Du plus grand au plus petit.

Une demi-droite graduée est une ligne sur laquelle on place des points correspondant à des nombres. Elle a une origine (le 0) et une unité de longueur.

Pour construire une demi-droite graduée :

1. Trace une ligne droite.
2. Place une origine (0) à gauche.
3. Choisis une unité (par exemple, 1 carreau = 1 unité, ou 1 cm = 1 unité).
4. Place les nombres entiers régulièrement espacés.

Pour placer un nombre : Tu trouves la graduation qui correspond à ce nombre. Pour lire l'abscisse d'un point : Tu regardes le nombre qui correspond à la position du point.

Exemple : Sur une demi-droite graduée où 1 carreau = 1 unité, le point A placé sur la 5ème graduation après le 0 a pour abscisse 5.

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur (le chiffre du bas) est 10, 100, 1000, etc. (une puissance de 10).

Exemples :

• $\frac{1}{10}$ (un dixième) : signifie que l'on a partagé une unité en 10 parts égales et qu'on en a pris 1.
• $\frac{25}{100}$ (vingt-cinq centièmes) : signifie que l'on a partagé une unité en 100 parts égales et qu'on en a pris 25.
• $\frac{123}{1000}$ (cent-vingt-trois millièmes)

Les fractions décimales permettent d'exprimer des parties d'une unité de manière plus précise que les nombres entiers.

Les fractions décimales peuvent être écrites sous forme de nombres décimaux en utilisant une virgule. Un nombre décimal est composé de deux parties :

• La partie entière (avant la virgule).
• La partie décimale (après la virgule).

Règle simple : Le nombre de zéros au dénominateur indique le nombre de chiffres après la virgule.

• $\frac{1}{10} = 0,1$ (1 zéro, 1 chiffre après la virgule)
• $\frac{25}{100} = 0,25$ (2 zéros, 2 chiffres après la virgule)
• $\frac{123}{1000} = 0,123$ (3 zéros, 3 chiffres après la virgule)
• $\frac{34}{10} = 3,4$ (3 est la partie entière, 4 est la partie décimale)

Tout comme pour les nombres entiers, chaque chiffre dans un nombre décimal a une valeur de position. La virgule sépare la partie entière de la partie décimale.

Exemple : 123,456

• 1 est le chiffre des centaines
• 2 est le chiffre des dizaines
• 3 est le chiffre des unités
• 4 est le chiffre des dixièmes
• 5 est le chiffre des centièmes
• 6 est le chiffre des millièmes

La position des chiffres après la virgule est cruciale pour la valeur du nombre.

Écriture en chiffres : On utilise la virgule. Par exemple : 1,5 ; 12,03 ; 0,75. Écriture en lettres :

• On lit la partie entière.
• On dit "virgule".
• On lit la partie décimale chiffre par chiffre.
  • Exemple : 2,5 se lit "deux virgule cinq".
  • Exemple : 12,03 se lit "douze virgule zéro trois".

Une autre façon de lire, surtout pour les mesures :

• 2,5 se lit "deux unités et cinq dixièmes" ou "deux et demi".
• 12,03 se lit "douze unités et trois centièmes".

Différentes écritures d'un même nombre décimal : On peut ajouter ou supprimer des zéros à la fin de la partie décimale sans changer la valeur du nombre.

• $2,5 = 2,50 = 2,500$
• $0,7 = 0,70 = 0,700$
• $12 = 12,0 = 12,00$

Ceci est très utile pour comparer les nombres décimaux !

Pour comparer des nombres décimaux, on suit une méthode précise :

1. Comparer les parties entières : Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand.
   • Exemple : 5,7 > 3,98 (car 5 > 3)
2. Si les parties entières sont égales, comparer les parties décimales :
   • Égalise le nombre de chiffres après la virgule en ajoutant des zéros si nécessaire.
   • Exemple : Comparer 4,5 et 4,25
     • Parties entières égales (4 = 4).
     • On ajoute un zéro à 4,5 pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule : 4,50 et 4,25.
     • On compare la partie décimale : 50 > 25. Donc, 4,5 > 4,25.

Pour ranger des nombres décimaux (ordre croissant ou décroissant), on utilise la même méthode de comparaison.

Exemple : Ranger 3,2 ; 3,05 ; 3,21 ; 3,1 par ordre croissant.

1. Toutes les parties entières sont égales (3).
2. On égalise le nombre de chiffres après la virgule (ici, 2 chiffres max) : 3,20 ; 3,05 ; 3,21 ; 3,10.
3. On compare les parties décimales (20, 05, 21, 10).
4. Ordre croissant : 0,05 < 0,10 < 0,20 < 0,21.
5. Donc, l'ordre est : 3,05 < 3,1 < 3,2 < 3,21.

Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand qui le "coincent".

• Encadrement à l'unité près : On cherche l'entier le plus proche inférieur et l'entier le plus proche supérieur.

  • Exemple : Encadrer 7,4
    • $7 < 7,4 < 8$
  • Exemple : Encadrer 12,9
    • $12 < 12,9 < 13$

• Encadrement au dixième près : On cherche le nombre avec un chiffre après la virgule le plus proche inférieur et supérieur.

  • Exemple : Encadrer 5,37
    • $5,3 < 5,37 < 5,4$
  • Exemple : Encadrer 0,82
    • $0,8 < 0,82 < 0,9$

Pour placer des nombres décimaux, on subdivise les unités en dixièmes, centièmes, etc.

Exemple : Placer 2,5 sur une demi-droite graduée.

1. Entre 2 et 3, on divise l'espace en 10 petites graduations (chaque graduation représente un dixième).
2. 2,5 se trouvera sur la 5ème petite graduation après le 2.

Plus tu as de chiffres après la virgule, plus la graduation doit être précise.

Arrondir un nombre, c'est le remplacer par une valeur plus simple, plus proche, pour faciliter les calculs ou l'estimation.

Règle d'arrondi :

• Si le chiffre juste après celui où tu arrondis est 0, 1, 2, 3 ou 4, tu arrondis par défaut (tu gardes le chiffre tel quel et tu supprimes les suivants).
• Si le chiffre juste après celui où tu arrondis est 5, 6, 7, 8 ou 9, tu arrondis par excès (tu augmentes le chiffre de 1 et tu supprimes les suivants).

Exemples :

• Arrondir à l'unité la plus proche :
  • 3,2 $\rightarrow$ 3 (car le chiffre des dixièmes est 2)
  • 7,8 $\rightarrow$ 8 (car le chiffre des dixièmes est 8)
  • 4,5 $\rightarrow$ 5 (car le chiffre des dixièmes est 5)
• Arrondir au dixième près :
  • 1,23 $\rightarrow$ 1,2 (car le chiffre des centièmes est 3)
  • 5,67 $\rightarrow$ 5,7 (car le chiffre des centièmes est 7)

Un ordre de grandeur est une valeur approchée d'un résultat. Cela permet de vérifier rapidement si un calcul est plausible.

Méthode : On arrondit les nombres de l'opération à des valeurs simples avant de calculer.

Exemple : Estimer la somme de 19,80 € + 31,15 €

• Arrondir 19,80 € à 20 €
• Arrondir 31,15 € à 30 €
• Ordre de grandeur : $20 + 30 = 50$ €. Le résultat exact (50,95 €) est proche de 50 €, donc l'estimation est bonne.

L'ordre de grandeur est un excellent moyen de détecter une erreur de calcul importante.

Les nombres sont partout dans notre quotidien !

• Prix : Calculer le coût des courses, rendre la monnaie.
• Mesures : Longueur (m, cm), poids (kg, g), volume (L, mL).
• Quantités : Recettes de cuisine, nombre d'ingrédients.
• Temps : Lire l'heure, calculer une durée.

Résolution de problèmes simples : Les mathématiques te donnent les outils pour comprendre et résoudre des situations de la vie courante.

• Problème : Tu as 15 € et tu veux acheter un livre à 9,50 €. Combien te restera-t-il ?
  • Opération : $15 - 9,50 = 5,50$ €
  • Réponse : Il te restera 5,50 €.

Apprendre à bien manipuler les nombres te rendra plus autonome et plus astucieux dans la vie de tous les jours !