Fractions et nombres décimaux

Une fraction est une manière d'exprimer une partie d'un tout. Imagine que tu as un gâteau et que tu le coupes en plusieurs parts égales. Une fraction représente une ou plusieurs de ces parts.

Une fraction s'écrit sous la forme $\frac{a}{b}$, où :

• $a$ est le numérateur : il indique combien de parts on prend.
• $b$ est le dénominateur : il indique en combien de parts égales l'unité est divisée.
• La barre entre les deux s'appelle la barre de fraction.

Le dénominateur ne peut jamais être zéro ($b \neq 0$), car on ne peut pas diviser par zéro.

Exemple : Si tu manges 3 parts d'une pizza coupée en 8 parts égales, tu as mangé $\frac{3}{8}$ de la pizza. Ici, 3 est le numérateur et 8 est le dénominateur.

On peut représenter les fractions de différentes manières pour mieux les comprendre.

• Représentation graphique :

  • Avec des disques : Imagine un cercle (une unité) divisé en parts égales.
    • Exemple : $\frac{1}{4}$ d'un disque est une part sur quatre.
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  • Avec des bandes : Imagine une bande (une unité) divisée en parts égales.
    • Exemple : $\frac{2}{3}$ d'une bande sont deux parts sur trois.
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• Fraction d'une quantité : Une fraction peut aussi représenter une partie d'une quantité totale.

  • Exemple : Si tu as 12 billes et que tu en donnes $\frac{1}{3}$ à ton ami, tu donnes $\frac{1}{3}$ de 12 billes. Pour calculer cela, tu divises la quantité totale par le dénominateur, puis tu multiplies par le numérateur : $(12 \div 3) \times 1 = 4$ billes.

Deux fractions sont dites égales si elles représentent la même quantité.

• Amplification de fractions : On peut multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre (non nul) sans changer sa valeur. Cela s'appelle l'amplification.

  • Exemple : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$. Une moitié est égale à deux quarts.

• Simplification de fractions : On peut diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre (non nul) sans changer sa valeur. Cela s'appelle la simplification.

  • Exemple : $\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.
  • Une fraction est dite irréductible quand on ne peut plus la simplifier (le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseurs communs autres que 1).

Pour comparer des fractions qui ont le même dénominateur, il suffit de comparer leurs numérateurs.

• La fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande.

Exemple : Compare $\frac{3}{5}$ et $\frac{2}{5}$. Comme $3 > 2$, alors $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$.

• Ordre croissant : $\frac{1}{5} < \frac{2}{5} < \frac{3}{5} < \frac{4}{5}$.

Pour comparer des fractions qui ont le même numérateur, il faut regarder leurs dénominateurs.

• La fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande. Plus le dénominateur est petit, plus les parts sont grandes.

Exemple : Compare $\frac{3}{4}$ et $\frac{3}{8}$. Comme $4 < 8$, alors $\frac{3}{4} > \frac{3}{8}$. (3 quarts sont plus grands que 3 huitièmes).

• Ordre décroissant : $\frac{3}{2} > \frac{3}{4} > \frac{3}{5} > \frac{3}{10}$.

Pour comparer des fractions avec des dénominateurs différents, la méthode la plus courante est de les mettre au même dénominateur.

1. Cherche un multiple commun aux deux dénominateurs (le plus petit multiple commun est souvent le plus simple).
2. Amplifie chaque fraction pour qu'elle ait ce nouveau dénominateur.
3. Compare les nouvelles fractions (qui ont maintenant le même dénominateur).

Exemple : Compare $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$.

1. Un multiple commun de 3 et 4 est 12.
2. $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
3. Comme $8 < 9$, alors $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, ce qui signifie $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

On peut aussi comparer une fraction à 1 :

• Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est $< 1$. (Ex: $\frac{3}{5} < 1$)
• Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est $= 1$. (Ex: $\frac{5}{5} = 1$)
• Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est $> 1$. (Ex: $\frac{7}{5} > 1$)

Une droite graduée est une ligne sur laquelle on a marqué des points qui correspondent à des nombres. Pour placer des fractions :

1. Trace une droite et marque le 0 et le 1.
2. Pour placer une fraction $\frac{a}{b}$, divise l'unité (l'espace entre 0 et 1) en $b$ parts égales.
3. Compte $a$ de ces parts à partir de 0.

Exemple : Pour placer $\frac{1}{3}$ et $\frac{5}{3}$ :

• Entre 0 et 1, divise l'espace en 3 parts égales. Le premier trait est $\frac{1}{3}$.
• Pour $\frac{5}{3}$, tu peux continuer après 1 (qui est $\frac{3}{3}$). $\frac{5}{3}$ sera deux graduations après 1.
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Encadrement de fractions : Placer une fraction sur une droite graduée permet de l'encadrer entre deux nombres entiers. Par exemple, $\frac{5}{3}$ est entre 1 et 2 ($1 < \frac{5}{3} < 2$).

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000, etc. (une puissance de 10). Pour passer d'une fraction décimale à un nombre décimal, on effectue la division du numérateur par le dénominateur.

• Il suffit de placer la virgule dans le numérateur en décalant d'autant de rangs vers la gauche qu'il y a de zéros dans le dénominateur.

Exemples :

• $\frac{3}{10} = 0,3$ (un zéro, on décale d'un rang)
• $\frac{25}{100} = 0,25$ (deux zéros, on décale de deux rangs)
• $\frac{145}{1000} = 0,145$ (trois zéros, on décale de trois rangs)
• $\frac{7}{100} = 0,07$ (on ajoute un zéro devant le 7 pour décaler de deux rangs)

Pour transformer un nombre décimal en fraction décimale :

1. Écris le nombre sans la virgule comme numérateur.
2. Le dénominateur sera 1 suivi d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule dans le nombre décimal.

Exemples :

• $0,7 = \frac{7}{10}$ (un chiffre après la virgule, donc 10)
• $3,25 = \frac{325}{100}$ (deux chiffres après la virgule, donc 100)
• $0,013 = \frac{13}{1000}$ (trois chiffres après la virgule, donc 1000)

Tu peux ensuite simplifier la fraction si possible. Par exemple, $\frac{325}{100}$ peut être simplifiée en $\frac{13}{4}$ en divisant par 25.

Toutes les fractions ne peuvent pas s'écrire comme des nombres décimaux exacts (par exemple, $\frac{1}{3}$). Dans ce cas, on utilise une valeur approchée. On effectue la division du numérateur par le dénominateur.

• Arrondi : C'est la valeur approchée la plus proche.

  • Pour arrondir à l'unité : si le premier chiffre après la virgule est 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde l'unité ; s'il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on ajoute 1 à l'unité.
  • Exemple : $\frac{7}{3} \approx 2,333...$
    • Arrondi à l'unité : $2$ (car le chiffre des dixièmes est 3)
    • Arrondi au dixième : $2,3$ (car le chiffre des centièmes est 3)
    • Arrondi au centième : $2,33$ (car le chiffre des millièmes est 3)
  • Exemple : $\frac{11}{4} = 2,75$
    • Arrondi à l'unité : $3$ (car le chiffre des dixièmes est 7)
    • Arrondi au dixième : $2,8$ (car le chiffre des centièmes est 5, on arrondit au supérieur)

• Troncature : C'est la valeur approchée obtenue en "coupant" le nombre décimal après un certain rang, sans se soucier des chiffres suivants.

  • Exemple : $\frac{7}{3} \approx 2,333...$
    • Troncature à l'unité : $2$
    • Troncature au dixième : $2,3$
    • Troncature au centième : $2,33$

Pour additionner ou soustraire des fractions qui ont le même dénominateur :

1. On garde le dénominateur commun.
2. On additionne ou on soustrait les numérateurs.
3. On simplifie le résultat si possible.

Exemples :

• $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$
• $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9}$ (qui se simplifie en $\frac{1}{3}$)

Si les dénominateurs sont différents, il faut d'abord les mettre au même dénominateur (comme pour la comparaison).

Pour multiplier une fraction par un nombre entier :

1. On multiplie le numérateur de la fraction par ce nombre entier.
2. On garde le dénominateur inchangé.
3. On simplifie le résultat si possible.

Exemple : $3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5}$ Interprétation : Si tu prends $\frac{2}{5}$ d'un gâteau trois fois, tu as pris $\frac{6}{5}$ du gâteau (plus qu'un gâteau entier !).

Prendre une fraction d'une quantité signifie la même chose que multiplier cette quantité par la fraction. Pour calculer $\frac{a}{b}$ d'une quantité $Q$ :

• On peut faire : $(Q \div b) \times a$
• Ou : $(Q \times a) \div b$
• Ou : $Q \times \frac{a}{b}$ (ce qui revient à $\frac{Q \times a}{b}$)

Exemple : Calculer $\frac{2}{3}$ de 18 bonbons.

• Méthode 1 : $(18 \div 3) \times 2 = 6 \times 2 = 12$ bonbons.
• Méthode 2 : $(18 \times 2) \div 3 = 36 \div 3 = 12$ bonbons.

Un nombre décimal est composé de deux parties séparées par une virgule :

• La partie entière (à gauche de la virgule) : elle contient les unités, dizaines, centaines, etc.
• La partie décimale (à droite de la virgule) : elle contient les dixièmes, centièmes, millièmes, etc.

Exemple : Pour le nombre $123,456$

• $123$ est la partie entière.
• $456$ est la partie décimale.
• Le chiffre 4 est le chiffre des dixièmes.
• Le chiffre 5 est le chiffre des centièmes.
• Le chiffre 6 est le chiffre des millièmes.

Écriture en lettres : $123,456$ se lit "cent-vingt-trois et quatre-cent-cinquante-six millièmes".

Pour comparer deux nombres décimaux :

1. Compare les parties entières : Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand.
   • Exemple : $12,5$ et $9,8 \rightarrow 12 > 9$, donc $12,5 > 9,8$.
2. Si les parties entières sont égales, compare les chiffres décimaux rang par rang, en commençant par les dixièmes.
   • Exemple : $7,35$ et $7,41$
     • Parties entières égales (7).
     • Chiffres des dixièmes : $3 < 4$, donc $7,35 < 7,41$.
   • Astuce : On peut ajouter des zéros à la fin de la partie décimale sans changer la valeur pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule.
     • Exemple : $5,2$ et $5,18 \rightarrow$ On compare $5,20$ et $5,18$.
     • Parties entières égales (5).
     • Chiffres des dixièmes : $2 > 1$, donc $5,2 > 5,18$.

Rangement sur une droite graduée : Comme pour les fractions, on peut placer les nombres décimaux sur une droite graduée pour les ordonner.

Encadrement : Encadrer un nombre décimal, c'est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand.

• Encadrement à l'unité près : $12 < 12,5 < 13$.
• Encadrement au dixième près : $12,5 < 12,54 < 12,6$.

Ces concepts sont les mêmes que ceux vus pour les fractions, mais appliqués directement aux nombres décimaux.

• Troncature : On coupe le nombre décimal à un certain rang, en ignorant les chiffres suivants.

  • $5,782$ tronqué à l'unité est $5$.
  • $5,782$ tronqué au dixième est $5,7$.
  • $5,782$ tronqué au centième est $5,78$.

• Arrondi : On cherche la valeur la plus proche.

  • $5,782$ arrondi à l'unité est $6$ (car le chiffre des dixièmes est 7, supérieur ou égal à 5).
  • $5,782$ arrondi au dixième est $5,8$ (car le chiffre des centièmes est 8, supérieur ou égal à 5).
  • $5,782$ arrondi au centième est $5,78$ (car le chiffre des millièmes est 2, inférieur à 5).

La troncature "coupe", l'arrondi "ajuste" à la valeur la plus proche.