La proportionnalite

La proportionnalité est une relation entre deux quantités où l'une est toujours égale à l'autre multipliée par un même nombre. C'est comme si, quand une quantité augmente, l'autre augmente de la même manière, et vice-versa.

On rencontre la proportionnalité tous les jours !

• Exemples courants :

  • Le prix des fruits : si 1 kg de pommes coûte 2 €, alors 2 kg coûteront 4 €, et 3 kg coûteront 6 €. Le prix est proportionnel à la quantité.
  • Les recettes de cuisine : si pour un gâteau il faut 2 œufs pour 4 personnes, il en faudra 4 pour 8 personnes. Le nombre d'œufs est proportionnel au nombre de personnes.
  • La vitesse constante : si une voiture roule à 50 km/h, la distance parcourue est proportionnelle au temps de trajet.

• Contre-exemples (situations NON proportionnelles) :

  • L'âge et la taille : un enfant de 2 ans mesurant 80 cm ne mesurera pas 160 cm à 4 ans. La taille n'est pas directement proportionnelle à l'âge.
  • Le prix d'un taxi : il y a souvent un coût de départ fixe (prise en charge), puis un prix par kilomètre. Le prix total n'est pas directement proportionnel à la distance.

Dans une situation de proportionnalité, si l'une des quantités devient deux fois plus grande, l'autre quantité devient aussi deux fois plus grande.

Pour savoir si une situation est proportionnelle, on utilise souvent un tableau de valeurs.

• Tableaux de valeurs : On organise les données en colonnes (ou en lignes).

  Quantité 1	Quantité 2
  2	6
  3	9
  5	15

• Relation de multiplication constante : Pour vérifier la proportionnalité, on cherche si l'on peut passer de la première ligne (ou colonne) à la deuxième en multipliant toujours par le même nombre. Dans l'exemple ci-dessus :

  • $2 \times 3 = 6$
  • $3 \times 3 = 9$
  • $5 \times 3 = 15$ Oui, il y a une relation de proportionnalité, et le nombre constant est 3.

• Absence de proportionnalité : Si ce nombre change, alors il n'y a pas de proportionnalité.

  Quantité 1	Quantité 2
  2	5
  3	7
  5	11

  • $5 \div 2 = 2,5$
  • $7 \div 3 \approx 2,33$
  • $11 \div 5 = 2,2$ Les résultats sont différents. Cette situation n'est PAS proportionnelle.

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première quantité pour obtenir les valeurs correspondantes de la deuxième quantité.

• Calcul du coefficient : On le trouve en divisant une valeur de la deuxième quantité par la valeur correspondante de la première quantité. Coefficient = $\frac{\text{Valeur de la quantité 2}}{\text{Valeur de la quantité 1}}$

  Exemple : Pour le tableau des pommes, 1 kg coûte 2 €. Coefficient = $\frac{2€}{1kg} = 2$ €/kg.

• Signification du coefficient : Il indique la relation entre les deux quantités. Dans l'exemple des pommes, le coefficient de 2 signifie que chaque kilogramme coûte 2 €. C'est le prix unitaire.

• Utilisation pour compléter un tableau : Une fois que l'on connaît le coefficient, on peut facilement compléter le tableau.

  Poids (kg)	Prix (€)
  1	2
  3	?
  ?	10

  Le coefficient est 2.

  • Pour 3 kg : $3 \times 2 = 6$ €.
  • Pour trouver le poids si le prix est 10 € : $10 \div 2 = 5$ kg.

  Poids (kg)	Prix (€)
  1	2
  3	6
  5	10

Le coefficient de proportionnalité est un outil très puissant.

• Appliquer le coefficient : Si vous savez que 1 litre d'essence coûte 1,50 €, alors le coefficient est 1,50. Pour trouver le prix de 5 litres : $5 \times 1,50 = 7,50$ €.

• Passage à l'unité : C'est une méthode qui consiste à calculer la valeur pour une unité (par exemple, le prix pour 1 kg, la distance pour 1 heure). Exemple : 4 stylos coûtent 6 €. Combien coûtent 7 stylos ?

  1. Calcul du prix d'un stylo (passage à l'unité) : $6 € \div 4 \text{ stylos} = 1,50$ €/stylo.
  2. Calcul du prix de 7 stylos : $7 \times 1,50 € = 10,50$ €. Le "prix d'un stylo" est le coefficient de proportionnalité !

• Produits en croix (introduction) : C'est une méthode rapide pour trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité. On la verra plus en détail, mais l'idée est de multiplier les nombres en diagonale. Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$.

  Stylos	Prix (€)
  4	6
  7	x

  $4 \times x = 6 \times 7$ $4x = 42$ $x = \frac{42}{4} = 10,50$ €.

La règle de trois est une technique pour résoudre les problèmes de proportionnalité. Elle regroupe souvent le "passage à l'unité" et le "produit en croix".

• Méthode par retour à l'unité : (Déjà vue ci-dessus)

  1. On divise pour trouver la valeur pour "1" (l'unité).
  2. On multiplie par le nombre souhaité.

• Organisation des données : Il est crucial de bien organiser les informations, souvent sous forme de tableau.

  Problème : Si 3 ouvriers construisent un mur en 8 heures, combien de temps mettront 6 ouvriers (en supposant la même efficacité) ? Attention ! Ce n'est pas une situation de proportionnalité directe. Plus d'ouvriers = moins de temps. C'est une proportionnalité inverse. Prenons un exemple simple de proportionnalité directe : Si 3 kg de farine coûtent 4,50 €, combien coûtent 5 kg ?

  Quantité de farine (kg)	Prix (€)
  3	4,50
  5	x

• Calcul de la quatrième proportionnelle : La valeur "x" est appelée la quatrième proportionnelle. Avec le produit en croix : $3 \times x = 4,50 \times 5$ $3x = 22,50$ $x = \frac{22,50}{3}$ $x = 7,50$ €. Donc, 5 kg de farine coûtent 7,50 €.

Les propriétés de linéarité sont des astuces très utiles pour résoudre des problèmes de proportionnalité sans forcément calculer le coefficient.

• Addition et soustraction : Si on additionne (ou soustrait) deux colonnes d'un tableau de proportionnalité, on obtient une nouvelle colonne qui est aussi proportionnelle. Exemple :

  Nombre de stylos	Prix (€)
  2	3
  3	4,50
  5	?

  On remarque que $2 + 3 = 5$. Donc, le prix de 5 stylos sera la somme des prix de 2 stylos et de 3 stylos : $3 € + 4,50 € = 7,50$ €. Donc, 5 stylos coûtent 7,50 €.

• Multiplication par un nombre : Si on multiplie une colonne par un nombre, la nouvelle colonne est aussi proportionnelle. Exemple :

  Nombre de stylos	Prix (€)
  2	3
  6	?

  On remarque que $2 \times 3 = 6$. Donc, le prix de 6 stylos sera le prix de 2 stylos multiplié par 3 : $3 € \times 3 = 9$ €. Donc, 6 stylos coûtent 9 €.

• Combinaisons de propriétés : On peut combiner ces propriétés. Exemple : 2 kg de cerises coûtent 8 €. Combien coûtent 7 kg ?

  1. On sait que 2 kg coûtent 8 €.
  2. Pour trouver 1 kg (en divisant par 2) : $8 € \div 2 = 4$ €.
  3. Pour trouver 6 kg (en multipliant 1 kg par 6) : $4 € \times 6 = 24$ €.
  4. Pour trouver 7 kg (en ajoutant 1 kg et 6 kg) : $4 € + 24 € = 28$ €. Ces propriétés sont très utiles pour le calcul mental !

Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction de 100. Le symbole "%" signifie "pour cent".

• Définition d'un pourcentage : $25\%$ signifie $\frac{25}{100}$. $50\%$ signifie $\frac{50}{100}$, c'est-à-dire la moitié. $100\%$ signifie $\frac{100}{100}$, c'est-à-dire la totalité.

• Calculer une partie d'un tout : Pour calculer un pourcentage d'une quantité, on multiplie la quantité par la fraction correspondante. Exemple : Calculer $20\%$ de 150 €. $20\%$ de $150 = \frac{20}{100} \times 150 = 0,20 \times 150 = 30$ €.

• Appliquer un pourcentage à une quantité : Cela revient à la même chose. Exemple : Un article coûte 80 €. Il y a une réduction de $10\%$. Montant de la réduction : $10\%$ de $80 € = \frac{10}{100} \times 80 = 0,10 \times 80 = 8$ €. Nouveau prix : $80 € - 8 € = 72$ €.

Les pourcentages sont des cas particuliers de proportionnalité.

• Tableau de proportionnalité : On peut toujours représenter un pourcentage dans un tableau. Exemple : $25\%$ des 200 élèves d'une école sont des filles.

  Nombre d'élèves	Pourcentage (%)
  200	100
  x	25

  On peut trouver le coefficient de proportionnalité : $\frac{200}{100} = 2$. Donc $x = 2 \times 25 = 50$ filles.

• Coefficient multiplicateur : Pour calculer le résultat d'une augmentation ou d'une diminution en pourcentage, on peut utiliser un coefficient multiplicateur.

  • Augmentation de $10\%$ : multiplier par $(1 + \frac{10}{100}) = 1,10$.
  • Diminution de $10\%$ : multiplier par $(1 - \frac{10}{100}) = 0,90$. Exemple : Un prix de 50 € augmente de $20\%$. Nouveau prix = $50 \times (1 + \frac{20}{100}) = 50 \times 1,20 = 60$ €.

• Situations concrètes : Les soldes, les taxes, les statistiques sont des applications des pourcentages et de la proportionnalité. Comprendre les pourcentages est essentiel dans la vie quotidienne.

Une échelle est un coefficient de proportionnalité qui indique le rapport entre une dimension sur un plan (ou une carte) et la dimension réelle correspondante.

• Définition d'une échelle : L'échelle est souvent exprimée sous forme de fraction, par exemple $1:100$ ou $\frac{1}{100}$. Cela signifie que 1 unité sur le plan représente 100 unités dans la réalité. Si l'échelle est $1:100$, alors 1 cm sur le plan représente 100 cm (soit 1 mètre) dans la réalité.

• Calculer une dimension réelle : Pour passer de la dimension sur le plan à la dimension réelle, on multiplie par le dénominateur de l'échelle. Dimension réelle = Dimension sur le plan $\times$ Dénominateur de l'échelle. Exemple : Sur une carte à l'échelle $1:50000$, la distance entre deux villes est de 3 cm. Distance réelle = $3 \text{ cm} \times 50000 = 150000 \text{ cm}$. On convertit : $150000 \text{ cm} = 1500 \text{ m} = 1,5 \text{ km}$.

• Calculer une dimension sur un plan : Pour passer de la dimension réelle à la dimension sur le plan, on divise par le dénominateur de l'échelle. Dimension sur le plan = $\frac{\text{Dimension réelle}}{\text{Dénominateur de l'échelle}}$. Exemple : Une pièce mesure 6 mètres de long. Quelle sera sa longueur sur un plan à l'échelle $1:200$ ? On convertit tout dans la même unité : $6 \text{ mètres} = 600 \text{ cm}$. Longueur sur le plan = $\frac{600 \text{ cm}}{200} = 3 \text{ cm}$. L'unité doit toujours être la même pour le calcul de l'échelle.

Un repère est un système de deux axes perpendiculaires qui permet de localiser des points.

• Axes et origine :

  • L'axe horizontal est appelé l'axe des abscisses (souvent pour la première quantité).
  • L'axe vertical est appelé l'axe des ordonnées (souvent pour la deuxième quantité).
  • Le point où les deux axes se coupent est l'origine, et ses coordonnées sont $(0;0)$.

• Placer des points : Chaque couple de valeurs (par exemple, poids et prix) peut être représenté par un point dans le repère. Un point est défini par ses coordonnées $(x;y)$, où $x$ est l'abscisse et $y$ est l'ordonnée.

  Exemple : Tableau de proportionnalité (prix des pommes)

  Poids (kg)	Prix (€)
  1	2
  2	4
  3	6

  Ces données donnent les points : $(1;2)$, $(2;4)$, $(3;6)$.

• Coordonnées d'un point : Pour placer le point $(1;2)$, on part de l'origine, on avance de 1 unité sur l'axe horizontal, puis on monte de 2 unités sur l'axe vertical.

La représentation graphique est un excellent moyen de reconnaître la proportionnalité.

• Points alignés : Si une situation est proportionnelle, alors tous les points que l'on place dans le repère sont alignés.

• Passage par l'origine : De plus, cette ligne droite doit obligatoirement passer par l'origine $(0;0)$. Pourquoi ? Si vous avez 0 kg de pommes, le prix est 0 €. Si vous roulez 0 heure, vous parcourez 0 km. C'est le point de départ de la relation. Une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l'origine.

• Interprétation du graphique :

  • Si les points forment une ligne droite passant par l'origine, il y a proportionnalité.
  • Si les points sont alignés mais ne passent PAS par l'origine, il n'y a PAS proportionnalité (c'est une fonction affine, que vous verrez plus tard).
  • Si les points ne sont pas alignés du tout, il n'y a PAS de proportionnalité.

Le graphique peut aussi servir à trouver des valeurs.

• Lecture de valeurs : Une fois la droite tracée, on peut lire des valeurs intermédiaires ou vérifier des calculs. Exemple (prix des pommes) :

  • Pour 2,5 kg de pommes, je monte jusqu'à la droite, puis je lis sur l'axe des ordonnées : cela fait 5 €.
  • Si je paie 7 €, je vais sur l'axe des ordonnées à 7, je vais jusqu'à la droite, puis je lis sur l'axe des abscisses : cela correspond à 3,5 kg.

• Interpolation et extrapolation simple :

  • Interpolation : Estimer des valeurs qui se trouvent entre les points déjà connus (par exemple, le prix de 2,5 kg quand on connaît le prix de 2 kg et 3 kg).
  • Extrapolation : Estimer des valeurs au-delà des points connus (par exemple, le prix de 4 kg si le graphique s'arrête à 3 kg). Il faut prolonger la droite.

• Vérification des résultats : Le graphique est un bon moyen de vérifier visuellement la cohérence de vos calculs. Si un point calculé ne tombe pas sur la droite, il y a probablement une erreur de calcul.