La symétrie

La symétrie axiale est une transformation géométrique. Imagine que tu plies une feuille de papier : si les deux moitiés se superposent parfaitement, tu as créé une figure symétrique.

• Définition de la symétrie : C'est une transformation qui "renvoie" une figure de l'autre côté d'une ligne, comme un miroir.
• Axe de symétrie : C'est la ligne par rapport à laquelle la figure est réfléchie. C'est comme le pli de ta feuille de papier ou la surface d'un miroir.
• Figures symétriques : Une figure est dite symétrique si elle est superposable à elle-même par rapport à un axe. Deux figures sont symétriques l'une de l'autre si l'une est l'image de l'autre par cette transformation.
• Exemples du quotidien : Un papillon (son corps est l'axe), ton visage (plus ou moins !), une lettre comme "A" ou "H", un flocon de neige, le reflet d'un arbre dans l'eau.

Pour savoir si une figure possède un axe de symétrie, tu peux utiliser ces méthodes :

1. Pliage et Superposition :

   • Dessine la figure sur une feuille de papier.
   • Essaie de plier la feuille de manière à ce que les deux parties de la figure se superposent exactement.
   • Si tu trouves un tel pli, alors cette ligne de pliage est un axe de symétrie.

2. Figures usuelles :

   • Carré : Il a 4 axes de symétrie (les deux diagonales et les deux médianes).
   • Rectangle : Il a 2 axes de symétrie (les deux médianes).
   • Cercle : Il en a une infinité ! Chaque diamètre est un axe de symétrie.
   • Triangle isocèle : 1 axe de symétrie.
   • Triangle équilatéral : 3 axes de symétrie.
   • Losange : 2 axes de symétrie (les deux diagonales).

Le nombre d'axes de symétrie dépend de la forme de la figure. Certaines figures n'en ont aucun (comme un triangle quelconque), d'autres un seul, plusieurs ou même une infinité.

Pour construire le point $A'$ (appelé point image) symétrique d'un point $A$ par rapport à une droite $(d)$ (l'axe de symétrie), suis ces étapes :

1. Place ton équerre de façon à ce qu'un de ses côtés soit sur l'axe $(d)$ et que le coin de l'angle droit soit sur le point $A$.
2. Trace une droite passant par $A$ et perpendiculaire à l'axe $(d)$. Prolonge cette droite de l'autre côté de l'axe.
3. Mesure la distance entre le point $A$ et l'axe $(d)$ sur cette droite perpendiculaire.
4. Reporte cette même longueur de l'autre côté de l'axe, sur la droite perpendiculaire. Le point que tu obtiens est $A'$.
   • La droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA']$.
   • Le segment $[AA']$ est perpendiculaire à l'axe de symétrie $(d)$ et l'axe $(d)$ coupe $[AA']$ en son milieu.

Pour construire le symétrique d'un segment $[AB]$ par rapport à un axe $(d)$ :

1. Construis le symétrique $A'$ du point $A$ par rapport à $(d)$.
2. Construis le symétrique $B'$ du point $B$ par rapport à $(d)$.
3. Relie les points $A'$ et $B'$. Le segment $[A'B']$ est le symétrique de $[AB]$.
   • La longueur du segment est conservée : $AB = A'B'$.
   • Le segment $[A'B']$ n'est pas forcément parallèle à $[AB]$, sauf si l'axe $(d)$ est perpendiculaire ou parallèle à $[AB]$.

Pour une droite :

1. Choisis deux points $A$ et $B$ sur la droite $(D)$.
2. Construis leurs symétriques $A'$ et $B'$ par rapport à l'axe $(d)$.
3. Trace la droite $(A'B')$. C'est le symétrique de $(D)$.
   • Si l'axe $(d)$ est sécant à $(D)$, le point d'intersection est son propre symétrique.
   • Si l'axe $(d)$ est parallèle à $(D)$, alors la droite symétrique $(D')$ sera aussi parallèle à $(D)$ et à $(d)$.
   • La symétrie axiale conserve l'alignement des points.

Pour une demi-droite :

1. Construis le symétrique de son origine.
2. Construis le symétrique d'un autre point de la demi-droite.
3. Trace la demi-droite à partir de l'origine symétrique en passant par l'autre point symétrique.

Pour construire le symétrique d'un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $r$ par rapport à un axe $(d)$ :

1. Construis le symétrique $O'$ du centre $O$ par rapport à l'axe $(d)$.
2. Trace le cercle de centre $O'$ et de même rayon $r$.
   • Le rayon du cercle est conservé. Le cercle image $\mathcal{C}'$ a le même rayon que $\mathcal{C}$.

Pour construire le symétrique d'une figure comme un triangle $ABC$ ou un quadrilatère $ABCD$ :

1. Identifie tous les sommets de la figure.
2. Construis le symétrique de chaque sommet par rapport à l'axe $(d)$ (par exemple $A'$, $B'$, $C'$ pour un triangle).
3. Relie les points images dans le même ordre que les sommets originaux. Par exemple, pour un triangle, relie $A'$ à $B'$, $B'$ à $C'$ et $C'$ à $A'$.
   • La figure image a exactement la même forme et les mêmes angles que la figure de départ.

• Si un segment $[AB]$ a pour symétrique $[A'B']$, alors sa longueur est conservée : ==$AB = A'B'$==.
• Cela signifie que le périmètre d'une figure est aussi conservé (le périmètre de la figure image est égal au périmètre de la figure originale).

• Si un angle $\widehat{ABC}$ a pour symétrique $\widehat{A'B'C'}$, alors la mesure de l'angle est conservée : ==$\widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'}$==.
• L'orientation des angles n'est pas conservée (un angle "tournant" dans le sens des aiguilles d'une montre sera inversé dans la figure symétrique).

• Si une figure $\mathcal{F}$ a pour symétrique $\mathcal{F}'$, alors l'aire de la figure est conservée : ==Aire($\mathcal{F}$) = Aire($\mathcal{F}'$)==.
• Cela signifie que la figure image occupe la même surface que la figure originale.

• Conservation de l'alignement : Si trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés, alors leurs symétriques $A'$, $B'$, $C'$ sont aussi alignés.
• Conservation du parallélisme : Si deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$ sont parallèles, alors leurs symétriques $(D_1')$ et $(D_2')$ sont aussi parallèles.
• Conservation de la perpendicularité : Si deux droites sont perpendiculaires, leurs symétriques le sont aussi.

La symétrie centrale est une autre transformation géométrique. Imagine que tu fais tourner une figure autour d'un point fixe.

• Définition : C'est une transformation qui fait tourner une figure de 180° autour d'un point fixe. Elle peut être vue comme un "demi-tour".
• Centre de symétrie : C'est le point fixe autour duquel la rotation de 180° s'effectue.
• Rotation de 180° : Chaque point de la figure est "projeté" à travers le centre de symétrie, de l'autre côté, à la même distance.
• Exemples concrets : Un moulin à vent (si tu regardes l'ensemble des pales), une croix, la lettre "N" ou "Z", le logo de l'Yin et le Yang.

Pour savoir si une figure possède un centre de symétrie :

1. Essaie de trouver un point tel que si tu fais tourner la figure de 180° autour de ce point, elle se superpose parfaitement à elle-même.
2. Figures usuelles :
   • Parallélogramme : Le point d'intersection de ses diagonales est un centre de symétrie.
   • Rectangle, Carré, Losange : Le point d'intersection de leurs diagonales est un centre de symétrie.
   • Cercle : Son centre est un centre de symétrie.
   • Le point milieu d'un segment est le centre de symétrie de ce segment.

Pour construire le point $A'$ (point image) symétrique d'un point $A$ par rapport à un point $O$ (le centre de symétrie) :

1. Trace la droite passant par $A$ et $O$.
2. Prolonge cette droite au-delà du point $O$.
3. Mesure la distance entre $A$ et $O$.
4. Reporte cette même longueur sur la droite prolongée, à partir de $O$. Le point que tu obtiens est $A'$.
   • Le point $O$ est le milieu du segment $[AA']$.

Pour construire le symétrique d'un segment $[AB]$ par rapport à un point $O$ :

1. Construis le symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $O$.
2. Construis le symétrique $B'$ de $B$ par rapport à $O$.
3. Relie $A'$ et $B'$. Le segment $[A'B']$ est le symétrique de $[AB]$.
   • La longueur est conservée : $AB = A'B'$.
   • Le segment $[A'B']$ est toujours parallèle à $[AB]$.

Pour une droite $(D)$ :

1. Choisis deux points $A$ et $B$ sur $(D)$.
2. Construis leurs symétriques $A'$ et $B'$ par rapport à $O$.
3. Trace la droite $(A'B')$. C'est le symétrique de $(D)$.
   • La droite $(D')$ est parallèle à $(D)$. Si le centre $O$ est sur la droite $(D)$, alors la droite $(D)$ est sa propre symétrique.

Pour un cercle $\mathcal{C}$ de centre $M$ et de rayon $r$ par rapport à un centre $O$ :

1. Construis le symétrique $M'$ du centre $M$ par rapport à $O$.
2. Trace le cercle de centre $M'$ et de même rayon $r$.
   • Le rayon du cercle est conservé.

Pour une figure simple (triangle, quadrilatère) :

1. Construis le symétrique de chaque sommet de la figure par rapport au centre $O$.
2. Relie les sommets images dans le même ordre.
   • La figure image est identique à la figure originale, mais "tournée" de 180°.

La symétrie centrale est également une isométrie, elle conserve les mêmes propriétés que la symétrie axiale, mais avec une orientation différente.

• Conservation des longueurs : La longueur d'un segment et son image sont égales. Le périmètre est conservé.
• Conservation des angles : La mesure d'un angle et son image sont égales. L'orientation des angles est conservée (un angle "tournant" dans le sens des aiguilles d'une montre reste dans ce sens).
• Conservation des aires : L'aire d'une figure et son image sont égales.
• Conservation de l'alignement : Des points alignés ont des images alignées.
• Conservation du parallélisme : Des droites parallèles ont des images parallèles.
• Conservation de la perpendicularité : Des droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires.