Les angles et les triangles

Un angle est une figure géométrique formée par deux demi-droites (appelées côtés de l'angle) qui partent du même point, appelé le sommet de l'angle. Imagine l'ouverture d'une paire de ciseaux : le point d'articulation est le sommet et les lames sont les côtés.

• Sommet et côtés d'un angle :
  • Le sommet est le point commun aux deux demi-droites.
  • Les côtés sont les deux demi-droites qui partent du sommet.
• Notation d'un angle : Un angle peut être désigné de plusieurs manières :
  • Par une lettre majuscule qui représente son sommet, souvent surmontée d'un "chapeau" : $\hat{A}$.
  • Par trois lettres majuscules : la lettre du milieu est toujours le sommet, et les deux autres sont des points situés sur chaque côté. Par exemple, l'angle $\hat{B}$ d'un triangle ABC peut être noté $\widehat{ABC}$.

Pour mesurer l'ouverture d'un angle, on utilise un instrument appelé rapporteur.

• Utilisation du rapporteur :
  1. Place le centre du rapporteur (souvent un petit trou ou une croix) exactement sur le sommet de l'angle.
  2. Aligner un des côtés de l'angle avec le zéro de l'échelle du rapporteur (attention, il y a souvent deux échelles : une qui monte de 0 à 180 dans un sens et l'autre dans le sens inverse).
  3. Lis la graduation sur l'échelle qui correspond au deuxième côté de l'angle.
• Unité de mesure: le degré (°) : L'unité de mesure standard des angles est le degré, noté (°). Un cercle complet mesure 360°.
• Précision de la mesure : Soyez toujours le plus précis possible. Une petite erreur de placement peut entraîner une grande erreur de mesure.

Les angles sont classifiés selon leur mesure :

Un angle droit est souvent marqué par un petit carré au sommet.

Pour tracer un angle avec une mesure spécifique, on utilise aussi le rapporteur.

• Étape par étape avec le rapporteur :
  1. Trace une demi-droite. Ce sera le premier côté de ton angle.
  2. Place le centre du rapporteur sur l'origine de cette demi-droite (ce sera le sommet de l'angle).
  3. Aligner la demi-droite avec le zéro de l'échelle du rapporteur.
  4. Marque un petit point sur ta feuille à la graduation correspondant à la mesure de l'angle que tu veux tracer.
  5. Retire le rapporteur et trace une deuxième demi-droite qui part du sommet et passe par le point que tu as marqué.
• Précision du tracé : Utilise un crayon bien taillé et sois précis avec le rapporteur.
• Vérification de la mesure : Une fois tracé, n'hésite pas à revérifier la mesure avec ton rapporteur.

L'angle droit est fondamental en géométrie.

• Utilisation de l'équerre : Le moyen le plus simple de construire un angle droit est d'utiliser une équerre. Place un des côtés de l'équerre le long d'une ligne, puis trace l'autre côté le long de l'autre bord de l'équerre à partir du même point.
• Vérification avec le rapporteur : Tu peux vérifier que ton angle est bien de 90° avec un rapporteur.
• Perpendicularité : Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont dites perpendiculaires.

Il existe plusieurs méthodes pour reproduire un angle.

• Méthode avec le compas :
  1. Trace une demi-droite pour le nouveau côté de l'angle.
  2. Avec le compas, trace un arc de cercle à partir du sommet de l'angle original, qui coupe les deux côtés de cet angle. Garde la même ouverture.
  3. Reporte cet arc de cercle sur la nouvelle demi-droite, en plaçant la pointe du compas sur le nouveau sommet.
  4. Mesure l'écartement entre les deux points d'intersection de l'arc avec les côtés de l'angle original.
  5. Reporte cet écartement sur le nouvel arc à partir du point d'intersection avec la nouvelle demi-droite.
  6. Trace la deuxième demi-droite à partir du nouveau sommet en passant par le dernier point marqué.
• Méthode avec le rapporteur : La méthode la plus simple est de mesurer l'angle original avec le rapporteur, puis de le tracer avec la même mesure.
• Conservation de la mesure : L'objectif est de créer un nouvel angle qui a exactement la même ouverture que l'angle de départ.

Un triangle est un polygone (une figure plane fermée) qui a trois côtés, trois sommets et trois angles.

• Définition d'un triangle : C'est la figure la plus simple après le segment de droite.
• Sommets, côtés, angles :
  • Les sommets sont les points où les côtés se rejoignent (souvent notés A, B, C).
  • Les côtés sont les segments de droite qui relient les sommets (souvent notés [AB], [BC], [CA]).
  • Les angles sont les angles formés par les côtés aux sommets (souvent notés $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$).
• Notation d'un triangle : On nomme un triangle en citant ses trois sommets, par exemple, le triangle ABC.

C'est une propriété fondamentale et très importante des triangles.

• Somme des angles égale à 180° : Dans n'importe quel triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°. Si un triangle a des angles $\hat{A}$, $\hat{B}$ et $\hat{C}$, alors $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$.
• Application de la propriété : Cette propriété est très utile pour résoudre des problèmes.
• Calcul d'un angle manquant : Si tu connais la mesure de deux angles d'un triangle, tu peux facilement trouver la mesure du troisième angle. Exemple : Si $\hat{A} = 70°$ et $\hat{B} = 60°$, alors $\hat{C} = 180° - (70° + 60°) = 180° - 130° = 50°$.

Les triangles sont classifiés en fonction de la longueur de leurs côtés ou de la mesure de leurs angles.

Pour construire un triangle quelconque, il faut connaître certaines de ses mesures.

• Avec 3 longueurs de côtés (CCC) :
  1. Trace un premier côté (par exemple, [AB]).
  2. Avec le compas, trace un arc de cercle de centre A et de rayon la longueur du deuxième côté (AC).
  3. Trace un deuxième arc de cercle de centre B et de rayon la longueur du troisième côté (BC).
  4. Le point d'intersection des deux arcs est le troisième sommet C. Relie A à C et B à C.
• Avec 2 longueurs et 1 angle (CAC) :
  1. Trace un premier côté (par exemple, [AB]).
  2. Au sommet A, trace l'angle connu en utilisant le rapporteur.
  3. Sur le côté de l'angle que tu viens de tracer, mesure la longueur du deuxième côté (AC) et marque le point C.
  4. Relie B à C.
• Avec 1 longueur et 2 angles (ACA) :
  1. Trace le côté dont la longueur est donnée (par exemple, [AB]).
  2. Au sommet A, trace le premier angle connu avec le rapporteur.
  3. Au sommet B, trace le deuxième angle connu avec le rapporteur.
  4. Le point d'intersection des deux demi-droites est le troisième sommet C.

• Définition et propriétés : Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur et les angles à la base sont égaux. Le sommet principal est celui où les deux côtés égaux se rencontrent.
• Tracé avec le compas :
  1. Trace la base du triangle (le côté qui n'est pas égal aux deux autres).
  2. Ouvre ton compas à la longueur des deux autres côtés.
  3. Pique le compas à une extrémité de la base et trace un arc de cercle.
  4. Pique le compas à l'autre extrémité de la base et trace un deuxième arc de cercle.
  5. Le point d'intersection est le troisième sommet. Relie-le aux extrémités de la base.
• Angles à la base : N'oublie pas que les angles opposés aux côtés égaux sont de même mesure.

• Définition et propriétés : Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur et trois angles égaux, chacun mesurant 60°.
• Tracé avec le compas :
  1. Trace un segment de droite pour le premier côté.
  2. Ouvre ton compas à la longueur de ce segment.
  3. Pique le compas à une extrémité du segment et trace un arc de cercle.
  4. Pique le compas à l'autre extrémité du segment et trace un deuxième arc de cercle.
  5. Le point d'intersection est le troisième sommet. Relie-le aux extrémités du segment initial.
• Angles de 60° : Tu peux vérifier avec ton rapporteur que chaque angle mesure bien 60°.

• Définition et propriétés : Un triangle rectangle a un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse, c'est toujours le plus long côté.
• Tracé avec l'équerre :
  1. Trace un premier côté de l'angle droit.
  2. Place l'équerre de manière à former un angle droit à l'une des extrémités de ce côté.
  3. Trace le deuxième côté de l'angle droit le long de l'équerre.
  4. Mesure les longueurs des côtés de l'angle droit si elles sont données, ou place le troisième sommet à la longueur souhaitée.
  5. Relie les deux extrémités des côtés de l'angle droit pour former l'hypoténuse.
• Hypoténuse et côtés de l'angle droit : Identifie toujours l'hypoténuse, car elle a des propriétés particulières que tu étudieras plus tard.

• Définition de la médiatrice : La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.
• Construction avec le compas :
  1. Ouvre ton compas à une ouverture plus grande que la moitié de la longueur du segment.
  2. Pique le compas à une extrémité du segment et trace un arc de cercle.
  3. Sans changer l'ouverture du compas, pique à l'autre extrémité du segment et trace un deuxième arc de cercle.
  4. Les deux arcs se coupent en deux points. Trace une droite passant par ces deux points : c'est la médiatrice.
• Propriété des points de la médiatrice : Tout point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Cela signifie qu'il est à la même distance des deux extrémités.

• Application de la construction : Tu peux appliquer la méthode de construction de la médiatrice vue précédemment à chacun des côtés d'un triangle.
• Point d'intersection des médiatrices (cercle circonscrit) : Les trois médiatrices d'un triangle se coupent toujours en un unique point. Ce point est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au triangle.
• Utilité en géométrie : La médiatrice est utile pour trouver des centres de cercles et pour certaines constructions géométriques.

• Définition de la hauteur : Dans un triangle, une hauteur est un segment de droite qui part d'un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). Chaque triangle a trois hauteurs.
• Construction avec l'équerre :
  1. Place un côté de l'angle droit de ton équerre sur le côté opposé au sommet dont tu veux tracer la hauteur.
  2. Fais glisser l'équerre le long de ce côté jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par le sommet.
  3. Trace le segment du sommet jusqu'au côté (ou à son prolongement).
• Sommet et côté opposé : Chaque hauteur relie un sommet au côté qui lui fait face.