Les longueurs les aires et les volumes

L'unité de référence internationale pour les longueurs est le mètre (m). Il existe des unités plus grandes (multiples) et plus petites (sous-multiples) pour mesurer différentes choses.

Conversions d'unités de longueur : Pour passer d'une unité à l'autre, on utilise un tableau de conversion ou on multiplie/divise par 10. Exemple : $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$ ou $2,5 \text{ km} = 2500 \text{ m}$.

Pour mesurer les longueurs, on utilise différents outils :

• La règle graduée : pour les petites longueurs (quelques centimètres à quelques dizaines de centimètres).
• Le double-décimètre : une règle de 20 cm, pratique pour les cahiers.
• Le mètre-ruban : souple, pour mesurer des objets courbes ou de grandes longueurs (plusieurs mètres).

Il est important de bien placer l'instrument et de lire la graduation au niveau de l'objet à mesurer.

Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. C'est comme si tu faisais le tour de la figure et que tu mesurais la distance parcourue.

• Périmètre d'un carré : Un carré a 4 côtés de même longueur. Si $c$ est la longueur d'un côté, le périmètre $P$ est : $P = c + c + c + c = 4 \times c$ Exemple : un carré de côté 5 cm a un périmètre de $4 \times 5 = 20 \text{ cm}$.

• Périmètre d'un rectangle : Un rectangle a 2 longueurs ($\text{L}$) et 2 largeurs ($\text{l}$). Le périmètre $P$ est : $P = \text{L} + \text{l} + \text{L} + \text{l} = 2 \times (\text{L} + \text{l})$ Exemple : un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 3 cm a un périmètre de $2 \times (8 + 3) = 2 \times 11 = 22 \text{ cm}$.

• Périmètre d'un polygone quelconque : Pour un polygone (une figure avec plusieurs côtés droits), il suffit d'additionner la longueur de tous ses côtés. Exemple : un triangle avec des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm a un périmètre de $3 + 4 + 5 = 12 \text{ cm}$.

L'unité d'aire de référence est le mètre carré (m²). C'est l'aire d'un carré de 1 mètre de côté. Comme pour les longueurs, il y a des multiples et des sous-multiples :

Attention : pour les aires, on multiplie ou divise par 100 à chaque changement d'unité ! Exemple : $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10~000 \text{ cm}^2$.

• Aire d'un carré : Si $c$ est la longueur d'un côté, l'aire $A$ est : $A = c \times c = c^2$ Exemple : un carré de côté 5 cm a une aire de $5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 25 \text{ cm}^2$.

• Aire d'un rectangle : Si $\text{L}$ est la longueur et $\text{l}$ la largeur, l'aire $A$ est : $A = \text{L} \times \text{l}$ Exemple : un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 3 cm a une aire de $8 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2$.

Ces formules sont très importantes, il faut les connaître par cœur !

Parfois, une figure n'est ni un carré, ni un rectangle. Pour calculer son aire, on peut la décomposer (la découper) en plusieurs formes plus simples (carrés, rectangles).

1. Découper la figure en plusieurs rectangles ou carrés.
2. Calculer l'aire de chaque petite partie.
3. Additionner toutes les aires calculées pour obtenir l'aire totale de la figure complexe.

Exemple : une figure en forme de L peut être découpée en deux rectangles. On calcule l'aire de chaque rectangle, puis on les additionne.

L'unité de volume de référence est le mètre cube (m³). C'est le volume d'un cube de 1 mètre de côté. Les multiples et sous-multiples sont :

Attention : pour les volumes, on multiplie ou divise par 1000 à chaque changement d'unité ! Exemple : $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1~000~000 \text{ cm}^3$.

Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est une boîte. Il a trois dimensions : une longueur ($\text{L}$), une largeur ($\text{l}$) et une hauteur ($\text{h}$). Le volume $V$ d'un pavé droit est : $V = \text{L} \times \text{l} \times \text{h}$ Exemple : un pavé droit de longueur 5 cm, largeur 2 cm et hauteur 3 cm a un volume de $5 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^3$.

La capacité est la quantité de liquide qu'un récipient peut contenir. L'unité principale de capacité est le litre (L). Il existe une relation très importante à retenir : ==$1 \text{ litre} = 1 \text{ décimètre cube}$== ($1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$)

On utilise aussi des multiples et sous-multiples du litre :

• Hectolitre (hL) : $1 \text{ hL} = 100 \text{ L}$
• Décalitre (daL) : $1 \text{ daL} = 10 \text{ L}$
• Décilitre (dL) : $1 \text{ dL} = 0,1 \text{ L}$
• Centilitre (cL) : $1 \text{ cL} = 0,01 \text{ L}$
• Millilitre (mL) : $1 \text{ mL} = 0,001 \text{ L}$

Grâce à la relation $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$, on peut facilement convertir des volumes en capacités et inversement. Exemple : un récipient de $2000 \text{ cm}^3$ a un volume de $2 \text{ dm}^3$, donc une capacité de $2 \text{ L}$.

• Choisir la bonne unité : Si tu mesures la taille d'une pièce, le mètre est plus adapté que le centimètre. Pour la distance entre deux villes, c'est le kilomètre.
• Calculer des périmètres dans des situations concrètes : Combien de clôture faut-il pour entourer un jardin rectangulaire ? Il faut calculer le périmètre !
• Estimer des longueurs : Avant de mesurer, essaie d'estimer la longueur. Cela développe ton sens des grandeurs.

• Calculer l'aire d'une surface à carreler ou peindre : Si tu veux poser du carrelage dans une pièce, tu dois calculer l'aire de cette pièce pour savoir combien de carrelage acheter.
• Comparer des aires : Quel est le plus grand terrain, celui de 100 m² ou celui de 1 dam² ? (Réponse : 1 dam² = 100 m², donc ils sont égaux !)
• Estimer des aires : Pour se faire une idée de la taille d'une surface.

• Calculer le volume d'un réservoir : Combien d'eau peut contenir une piscine de forme rectangulaire ? C'est le volume qu'il faut calculer.
• Convertir des volumes en capacités et inversement : Une bouteille de $1500 \text{ cm}^3$, c'est combien de litres ? ($1500 \text{ cm}^3 = 1,5 \text{ dm}^3 = 1,5 \text{ L}$).
• Problèmes de remplissage et de vidange : Si un robinet remplit une baignoire à un certain débit, combien de temps faudra-t-il pour la remplir ? Il faut calculer le volume de la baignoire.

N'oublie pas de toujours vérifier les unités et de bien les convertir si nécessaire avant de faire tes calculs !