Nombres entiers et opérations

Un nombre entier est un nombre qui peut s'écrire sans virgule ni fraction. Ce sont les nombres que l'on utilise pour compter des objets entiers.

• Nombres entiers naturels : Ce sont les nombres entiers positifs (ou nuls). On les utilise pour compter.
  • Exemples : 0, 1, 2, 3, 10, 153, 1000...
• Les nombres entiers peuvent être très grands. Il n'y a pas de fin aux nombres entiers.

• Chiffres et nombres :
  • Un chiffre est un symbole (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Il y a 10 chiffres.
  • Un nombre est une quantité, il s'écrit avec un ou plusieurs chiffres.
  • Exemple : Dans 258, il y a trois chiffres (2, 5, 8). 258 est un nombre.
• Valeur de position des chiffres : La position d'un chiffre dans un nombre lui donne sa valeur.
  • Dans 345 :
    • Le 3 est le chiffre des centaines (300)
    • Le 4 est le chiffre des dizaines (40)
    • Le 5 est le chiffre des unités (5)
• Écriture en chiffres et en lettres :
  • En chiffres : 1 234 567
  • En lettres : Un million deux cent trente-quatre mille cinq cent soixante-sept
  • On sépare les classes (unités, milliers, millions...) par un espace, pas par un point.

• Comparer des nombres entiers : Dire si un nombre est plus grand, plus petit ou égal à un autre.
  • Pour comparer, on regarde d'abord le nombre de chiffres. Le nombre avec le plus de chiffres est le plus grand.
  • Si le nombre de chiffres est le même, on compare les chiffres en partant de la gauche (du plus grand rang).
  • Exemple : 456 et 389 $\rightarrow$ 456 > 389 (car 4 centaines > 3 centaines)
  • Exemple : 789 et 791 $\rightarrow$ 789 < 791 (car 8 dizaines < 9 dizaines)
• Ordre croissant et décroissant :
  • Croissant : du plus petit au plus grand. (comme une plante qui "croît")
  • Décroissant : du plus grand au plus petit.
• Utilisation des symboles <, >, = :
  • $<$ : "est plus petit que"
  • $>$ : "est plus grand que"
  • $=$ : "est égal à"
  • Astuce : La pointe du symbole pointe toujours vers le plus petit nombre.

• Représentation sur une droite graduée : Une droite numérique est une ligne sur laquelle on place les nombres à intervalles réguliers.
  • Elle a une origine (le 0) et une unité de longueur.
  • Les nombres entiers sont placés à des marques (graduations) égales.
• Positionner des nombres : Chaque nombre entier correspond à un point unique sur la droite. Plus on va vers la droite, plus les nombres sont grands.
  • Exemple : Placer 3, 7, 1 sur une droite graduée.

    <---•---•---•---•---•---•---•---•--->
        0   1   2   3   4   5   6   7
    

• Distance entre deux nombres : La distance entre deux nombres sur la droite numérique est la valeur absolue de leur différence.
  • Distance entre 2 et 5 : $5 - 2 = 3$.

L'addition est l'opération qui permet de regrouper des quantités ou d'ajouter une quantité à une autre.

• Ajouter des quantités : On met ensemble plusieurs collections d'objets.
  • Exemple : 3 pommes + 2 pommes = 5 pommes.
• Termes et somme :
  • Les nombres que l'on ajoute sont les termes.
  • Le résultat de l'addition est la somme.
  • Exemple : Dans $3 + 2 = 5$, 3 et 2 sont les termes, 5 est la somme.
• Propriétés de l'addition :
  • Commutativité : L'ordre des termes ne change pas la somme. $a + b = b + a$.
    • Exemple : $3 + 5 = 8$ et $5 + 3 = 8$.
  • Associativité : On peut regrouper les termes différemment sans changer la somme. $(a + b) + c = a + (b + c)$.
    • Exemple : $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ et $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$.
  • L'élément neutre de l'addition est 0 : $a + 0 = a$.

• Calcul mental : Utiliser des astuces pour calculer sans poser l'opération.
  • Regroupement par dizaines : $7 + 5 = 7 + 3 + 2 = 10 + 2 = 12$.
  • Ajouter des dizaines/centaines entières : $45 + 20 = 65$.
• Calcul posé sans retenue : On aligne les chiffres des unités, des dizaines, etc., puis on additionne colonne par colonne en commençant par la droite.
  • Exemple :

      123
    + 456
    -----
      579
    

• Calcul posé avec retenue : Si la somme d'une colonne dépasse 9, on met la dizaine en retenue sur la colonne suivante à gauche.
  • Exemple :

      ¹
      27
    + 35
    ----
      62
    

    (7+5=12, je pose 2 et retiens 1. 1+2+3=6, je pose 6.)

La soustraction est l'opération qui permet de retirer une quantité d'une autre, ou de calculer une différence.

• Retirer des quantités : Enlever une partie d'un tout.
  • Exemple : J'ai 5 bonbons, j'en mange 2. Il me reste $5 - 2 = 3$ bonbons.
• Différence : Le résultat d'une soustraction.
  • Exemple : Dans $5 - 2 = 3$, 3 est la différence.
• Relation avec l'addition : La soustraction est l'opération inverse de l'addition.
  • Si $a - b = c$, alors $c + b = a$.
  • Exemple : $5 - 2 = 3$ car $3 + 2 = 5$.

• Calcul mental :
  • Décomposer : $45 - 23 = 45 - 20 - 3 = 25 - 3 = 22$.
  • Passer par la dizaine inférieure : $12 - 5 = 12 - 2 - 3 = 10 - 3 = 7$.
• Calcul posé sans retenue : On aligne les chiffres et on soustrait colonne par colonne, de droite à gauche.
  • Exemple :

      456
    - 123
    -----
      333
    

• Calcul posé avec retenue : Si un chiffre est plus petit que celui qu'on doit soustraire, on "casse" la dizaine (ou centaine...) de la colonne de gauche.
  • Exemple :

      ¹⁰
      ⁵⁶³
    -  ²⁸
    -----
      535
    

    (3-8 impossible. Je "casse" le 6 des dizaines, il devient 5. Le 3 devient 13. 13-8=5. 5-2=3. Le 5 des centaines reste 5.)
  • Autre méthode (la plus courante en France) : on ajoute 10 au chiffre du haut et 1 à la colonne suivante en bas.

      56³
    -  ²⁸
      ¹
    -----
      535
    

    (3-8 impossible. J'ajoute 10 au 3, cela fait 13. 13-8=5. Je retiens 1 que j'ajoute au 2 du bas, cela fait 3. 6-3=3. Le 5 des centaines reste 5.)

La multiplication est une addition répétée d'un même nombre.

• Addition répétée : $3 \times 4$ signifie $4 + 4 + 4$ (4 ajouté 3 fois) ou $3 + 3 + 3 + 3$ (3 ajouté 4 fois). Le résultat est 12.
• Facteurs et produit :
  • Les nombres que l'on multiplie sont les facteurs.
  • Le résultat de la multiplication est le produit.
  • Exemple : Dans $3 \times 4 = 12$, 3 et 4 sont les facteurs, 12 est le produit.
• Propriétés de la multiplication :
  • Commutativité : L'ordre des facteurs ne change pas le produit. $a \times b = b \times a$.
    • Exemple : $3 \times 5 = 15$ et $5 \times 3 = 15$.
  • Associativité : On peut regrouper les facteurs différemment sans changer le produit. $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.
    • Exemple : $(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$ et $2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$.
  • L'élément neutre de la multiplication est 1 : $a \times 1 = a$.
  • Le nombre absorbant de la multiplication est 0 : $a \times 0 = 0$.

• Mémorisation des tables : Connaître les tables de multiplication de 0 à 10 par cœur est essentiel pour la rapidité et la justesse des calculs.
  • Exemple : $7 \times 8 = 56$.
• Utilisation des tables : Elles permettent de trouver rapidement le produit de deux nombres.
• Multiplication par 10, 100, 1000 : Pour multiplier un nombre entier par 10, 100 ou 1000, il suffit d'ajouter un, deux ou trois zéros à la fin du nombre.
  • $25 \times 10 = 250$
  • $25 \times 100 = 2500$
  • $25 \times 1000 = 25000$

• Calcul mental :
  • Décomposition : $12 \times 5 = (10 + 2) \times 5 = (10 \times 5) + (2 \times 5) = 50 + 10 = 60$.
  • Doubler/Moitié : $18 \times 5 = (18 \div 2) \times (5 \times 2) = 9 \times 10 = 90$.
• Multiplication par un nombre à un chiffre : On multiplie chaque chiffre du nombre du haut par le chiffre du bas, en commençant par la droite et en gérant les retenues.
  • Exemple :

      ¹
      123
    x   4
    -----
      492
    

    (4x3=12, je pose 2 et retiens 1. 4x2=8, plus la retenue 1, ça fait 9. 4x1=4.)
• Multiplication par un nombre à plusieurs chiffres : On multiplie le premier nombre par chaque chiffre du deuxième nombre (en décalant les résultats), puis on additionne les résultats partiels.
  • Exemple :

        123
      x  45
      -----
        615  (123 x 5)
      4920 (123 x 40, on décale d'un rang ou on met un zéro)
      -----
      5535
    

La division permet de partager une quantité en parts égales ou de savoir combien de fois une quantité est contenue dans une autre.

• Partage équitable : Distribuer une quantité en parts égales.
  • Exemple : 12 bonbons partagés entre 4 enfants. $12 \div 4 = 3$ bonbons par enfant.
• Groupement : Compter combien de fois une quantité est contenue dans une autre.
  • Exemple : Combien de paquets de 3 crayons puis-je faire avec 12 crayons ? $12 \div 3 = 4$ paquets.
• Dividende, diviseur, quotient, reste :
  • Dividende : Le nombre que l'on divise (le total).
  • Diviseur : Le nombre par lequel on divise (le nombre de parts ou la taille d'une part).
  • Quotient : Le résultat de la division (le nombre de parts ou la taille d'une part).
  • Reste : Ce qui reste après le partage si ce n'est pas un partage "juste". Le reste est toujours plus petit que le diviseur.

La division euclidienne (ou division entière) est une division où le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers. Elle s'écrit :

• Relation : $\text{Dividende} = \text{Diviseur} \times \text{Quotient} + \text{Reste}$
  • Exemple : $17 \div 3$. Le quotient est 5 et le reste est 2. $17 = 3 \times 5 + 2$.
• Condition sur le reste : Le reste doit toujours être plus petit que le diviseur.
  • Si le reste est 0, la division est dite exacte.

• Calcul mental simple : Pour les petits nombres, on peut utiliser les tables de multiplication à l'envers.
  • $24 \div 6 = 4$ car $6 \times 4 = 24$.
  • $25 \div 4 = 6$ reste $1$ car $4 \times 6 = 24$ et $24 + 1 = 25$.
• Division posée par un nombre à un chiffre : On procède étape par étape, en "abaissant" les chiffres du dividende.
  • Exemple : $135 \div 4$

      135 | 4
    - 12  |---
      --- | 33
       15
     - 12
       --
        3
    

    Donc $135 = 4 \times 33 + 3$.
• Division posée par un nombre à deux chiffres : Le principe est le même, mais il faut estimer combien de fois le diviseur "rentre" dans une partie du dividende.
  • Exemple : $578 \div 23$

      578 | 23
    - 46  |----
      --- | 25
      118
    - 115
      ---
        3
    

    Donc $578 = 23 \times 25 + 3$.

Lorsque plusieurs opérations sont présentes dans un calcul, il faut respecter un ordre de priorité.

• Règles de priorité (PEMDAS/Parenthèses, Exposants, Multiplication/Division, Addition/Soustraction) :
  1. Calculer ce qu'il y a entre parenthèses en premier.
  2. Puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
  3. Enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
• Calculs sans parenthèses :
  • $A = 10 + 2 \times 3$
  • $A = 10 + 6$ (multiplication avant addition)
  • $A = 16$
  • $B = 20 - 15 \div 5$
  • $B = 20 - 3$ (division avant soustraction)
  • $B = 17$
• Calculs avec parenthèses :
  • $C = (10 + 2) \times 3$
  • $C = 12 \times 3$ (parenthèses en premier)
  • $C = 36$
  • $D = 20 \div (10 - 5)$
  • $D = 20 \div 5$ (parenthèses en premier)
  • $D = 4$

La résolution de problèmes est une compétence clé en mathématiques.

• Comprendre l'énoncé :
  • Lire attentivement le problème plusieurs fois.
  • Identifier les informations données et ce qui est demandé.
  • Souligner les mots-clés (ex: "total", "partager", "différence", "chaque").
• Choisir la bonne opération :
  • Addition : "ajouter", "en tout", "total", "somme".
  • Soustraction : "retirer", "différence", "reste", "en moins".
  • Multiplication : "fois", "produit", "en tout" (pour des groupes égaux), "chaque" (quand on cherche le total).
  • Division : "partager", "distribuer", "grouper", "combien de fois".
• Rédiger la solution et la phrase réponse :
  • Présenter les calculs clairement.
  • Écrire une phrase réponse qui répond à la question posée dans l'énoncé.
  • N'oublie pas l'unité (euros, km, objets...).

• Arrondir les nombres : Simplifier les nombres pour faciliter le calcul mental.
  • Arrondir à la dizaine, la centaine, le millier le plus proche.
  • Exemple : 47 peut être arrondi à 50. 123 peut être arrondi à 100 ou 120.
• Estimer un résultat : Calculer un résultat approximatif avant de faire le calcul exact. Cela permet d'avoir une idée du résultat attendu.
  • Exemple : Pour $48 \times 21$, on peut estimer $50 \times 20 = 1000$.
• Vérifier la cohérence d'un résultat : Comparer le résultat exact à l'estimation. Si les deux sont très éloignés, il y a probablement une erreur.
  • Si le calcul exact de $48 \times 21$ donne 1008, c'est cohérent avec l'estimation de 1000. Si on trouve 108 ou 10080, il y a une erreur.
  • L'estimation est un outil précieux pour éviter les erreurs grossières.