Nombres et calculs

Comprendre comment les nombres sont construits est crucial. Chaque chiffre a une valeur de position différente selon l'endroit où il se trouve.

Classes de nombres : Les chiffres sont regroupés par trois, en partant de la droite. Ces groupes s'appellent des classes.

• Classe des unités simples : unités, dizaines, centaines
• Classe des milliers : unités de mille, dizaines de mille, centaines de mille
• Classe des millions : unités de million, dizaines de million, centaines de million
• Etc. (milliards, billions...)

Exemple : Le nombre 1 234 567

• Le 7 est le chiffre des unités.
• Le 6 est le chiffre des dizaines.
• Le 5 est le chiffre des centaines.
• Le 4 est le chiffre des unités de mille.
• Le 3 est le chiffre des dizaines de mille.
• Le 2 est le chiffre des centaines de mille.
• Le 1 est le chiffre des unités de million.

Pour lire un grand nombre, on lit chaque classe comme un nombre à part entière, puis on ajoute le nom de la classe. Exemple : 1 234 567 se lit "un million deux cent trente-quatre mille cinq cent soixante-sept".

Écriture en chiffres et en lettres :

• En chiffres : 2 500 000
• En lettres : deux millions cinq cent mille

Comparer des nombres, c'est dire s'ils sont plus grands, plus petits ou égaux. Ranger des nombres, c'est les classer dans un certain ordre.

Symboles de comparaison :

• $<$ : "est plus petit que" (ou "est inférieur à")
• $>$ : "est plus grand que" (ou "est supérieur à")
• $=$ : "est égal à"

Méthode pour comparer :

1. Comptes le nombre de chiffres. Le nombre avec le plus de chiffres est le plus grand.
   • Exemple : $1234 > 987$ (4 chiffres contre 3)
2. Si les nombres ont le même nombre de chiffres, compare les chiffres un par un, en partant de la gauche (le chiffre le plus à gauche a la plus grande valeur).
   • Exemple : Pour comparer 5678 et 5691 :
     • Les milliers sont égaux (5).
     • Les centaines sont égales (6).
     • Les dizaines : $7 < 9$, donc $5678 < 5691$.

Ordre croissant et décroissant :

• Ordre croissant : du plus petit au plus grand. (Comme une plante qui pousse)
  • Exemple : $15 < 23 < 105 < 120$
• Ordre décroissant : du plus grand au plus petit. (Comme une fusée qui descend)
  • Exemple : $120 > 105 > 23 > 15$

Représentation sur une droite graduée : Une droite graduée permet de visualiser l'ordre des nombres. Plus un nombre est à droite, plus il est grand.

---|---|---|---|---|---|---|---|---|--->
   0   1   2   3   4   5   6   7   8

Sur cette droite, 5 est à droite de 3, donc $5 > 3$.

Arrondir un nombre, c'est le remplacer par un nombre "plus simple" (qui se termine souvent par des zéros) qui lui est proche.

Règle d'arrondi : Pour arrondir à la dizaine la plus proche :

• Si le chiffre des unités est 0, 1, 2, 3 ou 4, on arrondit à la dizaine inférieure.
  • Exemple : 43 arrondi à la dizaine est 40.
• Si le chiffre des unités est 5, 6, 7, 8 ou 9, on arrondit à la dizaine supérieure.
  • Exemple : 47 arrondi à la dizaine est 50.

On peut arrondir à la centaine, au millier, etc., en regardant le chiffre juste à droite de la position demandée.

• Exemple : 1234 arrondi à la centaine la plus proche est 1200 (car le chiffre des dizaines est 3).
• Exemple : 1278 arrondi à la centaine la plus proche est 1300 (car le chiffre des dizaines est 7).

Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand qui l'entourent.

• Encadrement entre deux nombres entiers consécutifs :
  • Exemple : $12 < 13 < 14$
• Encadrement à la dizaine près :
  • Exemple : $40 < 43 < 50$
• Encadrement à la centaine près :
  • Exemple : $100 < 123 < 200$

Estimation d'un ordre de grandeur : C'est donner une valeur approchée d'un résultat pour vérifier qu'on ne s'est pas trompé grossièrement. On arrondit les nombres avant de faire le calcul.

• Exemple : Pour calculer $487 + 212$, on peut estimer : $500 + 200 = 700$. Le résultat exact est 699, ce qui est proche de 700.

L'addition posée est la méthode la plus courante.

Addition posée sans retenue : On aligne les chiffres des unités, des dizaines, des centaines, etc., puis on additionne colonne par colonne en commençant par la droite.

  23
+ 45
----
  68

$3+5=8$ (unités) et $2+4=6$ (dizaines).

Addition posée avec retenue : Lorsque la somme des chiffres d'une colonne dépasse 9, on a une retenue que l'on reporte à la colonne suivante (à gauche).

  1  <-- Retenue
  27
+ 35
----
  62

1. $7+5=12$. J'écris 2 et je retiens 1 (dizaine).
2. $2+3+$ la retenue $1 = 6$. J'écris 6.

Propriétés de l'addition :

• Commutativité : L'ordre des nombres n'affecte pas le résultat.
  • $A + B = B + A$
  • Exemple : $3 + 5 = 5 + 3 = 8$
• Associativité : La façon de regrouper les nombres n'affecte pas le résultat.
  • $(A + B) + C = A + (B + C)$
  • Exemple : $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ et $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$
• L'élément neutre de l'addition est 0 : $A + 0 = A$.

La soustraction permet de calculer une différence.

Soustraction posée sans retenue : On aligne les chiffres et on soustrait colonne par colonne, de droite à gauche.

  48
- 23
----
  25

$8-3=5$ (unités) et $4-2=2$ (dizaines).

Soustraction posée avec retenue : Si le chiffre du haut est plus petit que celui du bas dans une colonne, on doit "casser" une dizaine (ou centaine, etc.) de la colonne de gauche. Cela revient à ajouter 10 en haut et 1 en bas à la colonne de gauche.

   4 ¹2  <-- Je "casse" une dizaine, j'ajoute 10 aux unités et j'enlève 1 à la dizaine.
-  2  7
-------
   2  5

1. Je ne peux pas faire $2-7$. Je "casse" une dizaine du 4. Le 2 devient 12, et le 4 devient 3.
2. $12 - 7 = 5$.
3. $3 - 2 = 1$. (Attention, ma méthode est différente de celle de l'exemple, l'exemple montre une autre méthode. Utilise celle que ton professeur t'a enseignée. La mienne : $42 - 27$. $2-7$ impossible. Je prends 1 dizaine au 4 (qui devient 3), le 2 devient 12. $12-7=5$. Puis $3-2=1$. Résultat 15. L'exemple est faux. Refaisons-le avec la méthode des "retenues" standards au collège.)

Reprenons la soustraction avec retenue :

  5 2
- 2 7
-----
  2 5

1. $2-7$ est impossible. On ajoute 10 unités au 2 (il devient 12) et on ajoute +1 dizaine au 2 du bas (il devient 3).
2. $12 - 7 = 5$.
3. $5 - (2+1) = 5 - 3 = 2$. Il est crucial de bien maîtriser la méthode de retenue enseignée par ton professeur.

Vérification par l'addition : Pour vérifier une soustraction, on additionne le résultat (la différence) avec le nombre soustrait. On doit retrouver le nombre de départ.

• Exemple : $52 - 27 = 25$. Vérification : $25 + 27 = 52$. C'est correct !

La clé est de bien lire l'énoncé et de comprendre ce qui est demandé.

Étapes pour résoudre un problème :

1. Identifier les informations pertinentes : Surligne les nombres et les mots-clés (total, reste, différence, ajouter, enlever...).
2. Choisir l'opération appropriée :
   • "Combien en tout ?", "Quel est le total ?" $\rightarrow$ Addition
   • "Quelle est la différence ?", "Combien reste-t-il ?", "Combien de moins/plus ?" $\rightarrow$ Soustraction
3. Effectuer le calcul.
4. Rédiger une phrase réponse claire et complète, en utilisant les unités du problème.

Exemple : Sarah avait 35 billes. Elle en gagne 12 à la récréation, puis en perd 8. Combien de billes a-t-elle maintenant ?

• Informations : 35 billes (départ), +12 (gagnées), -8 (perdues).
• Calcul : $35 + 12 = 47$. Puis $47 - 8 = 39$.
• Phrase réponse : Sarah a maintenant 39 billes.

La multiplication est une addition répétée d'un même nombre.

• Exemple : $3 \times 4$ signifie $4 + 4 + 4$ (4 ajouté 3 fois) ou $3 + 3 + 3 + 3$ (3 ajouté 4 fois). Le résultat est 12.

Vocabulaire : Dans une multiplication comme $A \times B = C$ :

• $A$ et $B$ sont les facteurs.
• $C$ est le produit.

Multiplication par un nombre à un chiffre : On multiplie chaque chiffre du nombre du haut par le chiffre du bas, en partant de la droite et en gérant les retenues.

  1  <-- Retenue
  23
x  4
----
  92

1. $4 \times 3 = 12$. J'écris 2 et je retiens 1.
2. $4 \times 2 = 8$. J'ajoute la retenue $1$, ça fait $9$. J'écris 9.

Multiplication par un nombre à plusieurs chiffres : On multiplie par chaque chiffre du multiplicateur (en bas), puis on additionne les résultats intermédiaires. N'oublie pas de décaler les lignes !

  123
x  45
-----
   615  <- 123 x 5
 4920   <- 123 x 4 (avec un zéro de décalage car 4 est une dizaine)
-----
 5535

1. $123 \times 5 = 615$
2. $123 \times 40 = 4920$ (on met un 0 pour le décalage, puis on fait $123 \times 4$)
3. On additionne $615 + 4920 = 5535$.

Multiplication par 10, 100, 1000 : Pour multiplier un nombre entier par 10, 100, 1000... il suffit d'ajouter un, deux, trois... zéros à la fin du nombre.

• $25 \times 10 = 250$
• $25 \times 100 = 2500$
• $25 \times 1000 = 25000$

• Commutativité : L'ordre des facteurs ne change pas le produit.
  • $A \times B = B \times A$
  • Exemple : $3 \times 5 = 5 \times 3 = 15$
• Associativité : La façon de regrouper les facteurs ne change pas le produit.
  • $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$
  • Exemple : $(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$ et $2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$
• Distributivité de la multiplication sur l'addition/soustraction : C'est une propriété très utile pour calculer mentalement ou simplifier des expressions.
  • $A \times (B + C) = (A \times B) + (A \times C)$
  • Exemple : $5 \times (10 + 2) = (5 \times 10) + (5 \times 2) = 50 + 10 = 60$. (Et $5 \times 12 = 60$).
  • $A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)$
  • Exemple : $5 \times (10 - 2) = (5 \times 10) - (5 \times 2) = 50 - 10 = 40$. (Et $5 \times 8 = 40$).
• Élément neutre : Multiplier par 1 ne change pas le nombre.
  • $A \times 1 = A$
• Élément absorbant : Multiplier par 0 donne toujours 0.
  • $A \times 0 = 0$

Étapes :

1. Modéliser une situation : Repérer les situations où une multiplication est nécessaire (quantités répétées, calcul d'aires pour plus tard...).
   • Mots-clés : "chaque", "par", "fois plus", "au total si..."
2. Calculer un produit.
3. Interpréter le résultat et rédiger une phrase réponse.

Exemple : Un paquet de bonbons coûte 2 euros. Combien coûtent 7 paquets ?

• Calcul : $7 \times 2 = 14$ euros.
• Phrase réponse : 7 paquets de bonbons coûtent 14 euros.

La division euclidienne répond à deux types de questions :

1. Partage équitable : Combien de parts égales peut-on faire ?
   • Exemple : J'ai 10 bonbons à partager entre 3 amis. Combien chacun aura-t-il de bonbons ?
2. Groupements : Combien de groupes de taille donnée peut-on faire ?
   • Exemple : J'ai 10 bonbons, je veux faire des paquets de 3 bonbons. Combien de paquets puis-je faire ?

Vocabulaire : Dans une division euclidienne, on a : $\text{Dividende} = \text{Diviseur} \times \text{Quotient} + \text{Reste}$ Avec la condition essentielle : $0 \le \text{Reste} < \text{Diviseur}$

• Dividende : Le nombre que l'on divise (le total).
• Diviseur : Le nombre par lequel on divise (la taille des groupes ou le nombre de parts).
• Quotient : Le résultat entier de la division (le nombre de groupes ou la taille des parts).
• Reste : Ce qui reste après le partage ou les groupements.

Exemple : $10 \div 3$

• $10 = 3 \times 3 + 1$
• Dividende = 10, Diviseur = 3, Quotient = 3, Reste = 1.
  • Chaque ami aura 3 bonbons et il en restera 1.

La division posée est une méthode pas à pas.

Division par un nombre à un chiffre : Méthode de la "potence".

  74 | 3
- 6  |---
---  | 24
  14
- 12
----
   2

1. Combien de fois 3 dans 7 (dizaines) ? 2 fois. $2 \times 3 = 6$. J'écris 2 au quotient.
2. $7 - 6 = 1$. J'abaisse le 4. J'ai 14 (unités).
3. Combien de fois 3 dans 14 ? 4 fois. $4 \times 3 = 12$. J'écris 4 au quotient.
4. $14 - 12 = 2$. C'est le reste.

Donc $74 = 3 \times 24 + 2$.

Division par un nombre à deux chiffres : C'est la même logique, mais il faut estimer plus souvent.

  257 | 12
- 24  |----
----  | 21
   17
-  12
-----
    5

1. Combien de fois 12 dans 25 (dizaines) ? 2 fois. $2 \times 12 = 24$. J'écris 2 au quotient.
2. $25 - 24 = 1$. J'abaisse le 7. J'ai 17 (unités).
3. Combien de fois 12 dans 17 ? 1 fois. $1 \times 12 = 12$. J'écris 1 au quotient.
4. $17 - 12 = 5$. C'est le reste.

Donc $257 = 12 \times 21 + 5$.

Vérification de la division : Toujours vérifier si $\text{Dividende} = \text{Diviseur} \times \text{Quotient} + \text{Reste}$ et si $\text{Reste} < \text{Diviseur}$.

• Pour l'exemple $74 \div 3$ : $3 \times 24 + 2 = 72 + 2 = 74$. Et $2 < 3$. C'est correct.

Étapes :

1. Identifier la question posée : S'agit-il d'un partage ou de groupements ? Que représente le quotient ? Que représente le reste ?
2. Effectuer la division.
3. Utiliser le quotient et/ou le reste pour répondre précisément à la question.

Exemple 1 (partage) : 145 élèves doivent prendre un car de 50 places. Combien de cars faut-il prévoir ?

• $145 \div 50$. $145 = 50 \times 2 + 45$.
• Le quotient est 2, le reste est 45.
• Deux cars seront pleins, mais il reste 45 élèves. Il faut donc un car supplémentaire.
• Phrase réponse : Il faut prévoir 3 cars.

Exemple 2 (groupements) : Avec 200 euros, combien de livres à 15 euros puis-je acheter ?

• $200 \div 15$. $200 = 15 \times 13 + 5$.
• Le quotient est 13, le reste est 5.
• Phrase réponse : Je peux acheter 13 livres et il me restera 5 euros.

Partie entière et partie décimale :

• Dans 123,45 :
  • 123 est la partie entière.
  • 45 est la partie décimale.
  • La virgule sépare les deux parties.

Valeur de position des chiffres : Après la virgule, les positions des chiffres ont aussi un nom :

• Le 1er chiffre après la virgule : les dixièmes (1/10)
• Le 2ème chiffre après la virgule : les centièmes (1/100)
• Le 3ème chiffre après la virgule : les millièmes (1/1000)
• Etc.

Exemple : 12,34 se lit "douze virgule trente-quatre" ou "douze unités et trente-quatre centièmes".

Écriture fractionnaire et décimale : Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous forme de fraction décimale (dont le dénominateur est 10, 100, 1000...).

• $0,5 = \frac{5}{10}$
• $1,25 = \frac{125}{100}$
• $3,007 = \frac{3007}{1000}$

Attention : Ajouter ou enlever des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre. Exemple : $1,5 = 1,50 = 1,500$

Méthode pour comparer :

1. Compare les parties entières : Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand.
   • Exemple : $15,23 > 12,98$ (car $15 > 12$).
2. Si les parties entières sont égales, on compare la partie décimale chiffre par chiffre, en partant de la gauche (dixièmes, puis centièmes, etc.). Pour éviter les erreurs, tu peux ajouter des zéros pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule.
   • Exemple : Comparer 3,45 et 3,4.
     • Parties entières égales (3).
     • Dixièmes : 4 et 4, égaux.
     • Centièmes : 5 (dans 3,45) et 0 (dans 3,40). Comme $5 > 0$, alors $3,45 > 3,4$.
   • Astuce : Alignez les virgules et ajoutez des zéros pour faciliter la comparaison.
     • 3,45
     • 3,40

Intercaler un nombre décimal : Entre deux nombres décimaux, il y a toujours une infinité d'autres nombres décimaux.

• Exemple : Intercaler un nombre entre 2,3 et 2,4. On peut dire 2,35 ou 2,312 etc.
• Exemple : Intercaler un nombre entre 5,1 et 5,12. On peut écrire 5,10 et 5,12, donc 5,11 est entre les deux.

La règle d'or : aligner les virgules !

Techniques opératoires :

1. Aligner les virgules les unes sous les autres.
2. Aligner les chiffres des mêmes rangs (unités sous unités, dixièmes sous dixièmes...).
3. Tu peux ajouter des zéros inutiles à la fin de la partie décimale pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule et faciliter le calcul.
4. Effectuer l'addition ou la soustraction comme avec des entiers.
5. Placer la virgule au résultat, alignée avec les autres.

Exemple d'addition : $12,3 + 4,56$

  12,30  <-- J'ajoute un zéro
+  4,56
-------
  16,86

Exemple de soustraction : $25,8 - 3,45$

  25,80  <-- J'ajoute un zéro
-  3,45
-------
  22,35

Estimation du résultat : Arrondir les nombres décimaux à l'unité la plus proche pour avoir un ordre de grandeur.

• Exemple : $12,3 + 4,56 \approx 12 + 5 = 17$. (Le résultat 16,86 est proche).

1. Effectuer la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule.
2. Compter le nombre total de chiffres après la virgule dans le nombre décimal de départ.
3. Placer la virgule dans le produit pour qu'il y ait le même nombre de chiffres après la virgule.

Exemple : $12,3 \times 4$

  12,3  (1 chiffre après la virgule)
x   4
-----
  49,2  (Je place la virgule pour avoir 1 chiffre après elle)

Multiplication par 10, 100, 1000 :

• Pour multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1000..., on déplace la virgule de un, deux, trois... rangs vers la droite.
  • $3,45 \times 10 = 34,5$
  • $3,45 \times 100 = 345$
  • $3,45 \times 1000 = 3450$ (on ajoute un zéro)

Les tableaux et les graphiques sont des outils pour organiser et visualiser des données.

Lire et interpréter un tableau : Un tableau organise les données en lignes et en colonnes.

• Regarde toujours le titre du tableau et les en-têtes de colonnes et de lignes pour comprendre ce qu'il représente.

• Question : Combien d'élèves font de la natation ? Réponse : 10 élèves.

Lire et interpréter un graphique en bâtons (ou diagramme en barres) :

• L'axe horizontal (abscisses) indique souvent les catégories (ici, les sports).
• L'axe vertical (ordonnées) indique la quantité (ici, le nombre d'élèves).
• La hauteur de chaque bâton représente la valeur de la catégorie.

Lire et interpréter un graphique circulaire (ou diagramme en secteurs ou "camembert") :

• Le cercle entier représente le total (100%).
• Chaque "part de camembert" (secteur) représente une partie du total. Plus le secteur est grand, plus la proportion est importante.
• Les pourcentages sont souvent indiqués.

Un pourcentage est une proportion sur 100. Le symbole est %.

• $25\%$ signifie $\frac{25}{100}$.

Comprendre la notion de pourcentage :

• Si tu as $50\%$ d'un gâteau, c'est la moitié.
• Si $100\%$ des élèves sont présents, tous les élèves sont là.

Calculer un pourcentage d'une quantité : Pour calculer $X\%$ d'une quantité, on multiplie cette quantité par $\frac{X}{100}$.

• Exemple : Calculer $20\%$ de 150 euros.
  • $150 \times \frac{20}{100} = 150 \times 0,20 = 30$ euros.

Appliquer un pourcentage (réduction, augmentation) :

• Réduction : On calcule le montant de la réduction, puis on le soustrait au prix initial.
  • Exemple : Un article coûte 80 euros. Il y a une réduction de $10\%$.
    • Montant de la réduction : $80 \times \frac{10}{100} = 8$ euros.
    • Nouveau prix : $80 - 8 = 72$ euros.
• Augmentation : On calcule le montant de l'augmentation, puis on l'ajoute au prix initial.
  • Exemple : Un loyer de 500 euros augmente de $2\%$.
    • Montant de l'augmentation : $500 \times \frac{2}{100} = 10$ euros.
    • Nouveau loyer : $500 + 10 = 510$ euros.

Les mathématiques sont partout ! Les problèmes de la vie courante te permettent d'appliquer ce que tu apprends à des situations réelles.

Étapes pour analyser et résoudre un problème :

1. Lire attentivement l'énoncé : Comprendre l'histoire, les personnages, le contexte.
2. Identifier la question posée : Qu'est-ce que je cherche ?
3. Extraire les informations utiles : Quels sont les nombres importants ? Quelles sont les unités ? Y a-t-il des informations inutiles ?
4. Choisir les opérations adaptées : Faut-il additionner, soustraire, multiplier, diviser ? Dans quel ordre ?
5. Effectuer les calculs.
6. Vérifier la cohérence du résultat : Est-ce que mon résultat a du sens dans le contexte du problème ? (Ex: un nombre de personnes ne peut pas être négatif ou décimal).
7. Rédiger une phrase réponse claire et complète.

Exemple : Pour un pique-nique, chaque personne doit apporter 3 sandwichs. Il y a 15 personnes. Combien de sandwichs faut-il préparer en tout ?

• Question : Nombre total de sandwichs.
• Informations : 3 sandwichs/personne, 15 personnes.
• Opération : Multiplication ($15 \times 3$).
• Calcul : $15 \times 3 = 45$.
• Vérification : C'est un nombre positif, logique.
• Phrase réponse : Il faut préparer 45 sandwichs en tout.