Proportionnalité et pourcentages

La proportionnalité est une relation particulière entre deux grandeurs. On dit que deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsque l'on multiplie ou divise la première par un nombre, la deuxième est multipliée ou divisée par le même nombre.

Imagine que tu achètes des bonbons :

• Si 1 bonbon coûte 1 euro.
• Alors 2 bonbons coûteront 2 euros (1 x 2 = 2 euros).
• Et 3 bonbons coûteront 3 euros (1 x 3 = 3 euros). Le prix est proportionnel au nombre de bonbons achetés.

Situations de la vie courante :

• Le prix payé pour des fruits au kilo.
• La quantité d'essence consommée en fonction de la distance parcourue à vitesse constante.
• La recette d'un gâteau : si tu doubles les ingrédients, tu doubles la quantité de gâteau.

Exemples et contre-exemples :

• Exemple de proportionnalité : Le prix des timbres. Si un timbre coûte 1,20 €, deux timbres coûtent 2,40 €, trois timbres coûtent 3,60 €. Le prix est proportionnel au nombre de timbres.
• Contre-exemple : L'âge d'une personne et sa taille. Quand tu avais 5 ans, tu mesurais peut-être 1 mètre. À 10 ans, tu ne mesurais pas forcément 2 mètres ! La taille ne double pas quand l'âge double. Ce n'est pas proportionnel.
• Contre-exemple : Le prix d'un trajet en taxi. Il y a souvent un coût de prise en charge fixe (non proportionnel à la distance) auquel s'ajoute un prix proportionnel à la distance.

Pour savoir si une situation est proportionnelle, on utilise souvent un tableau de valeurs.

Pour vérifier la proportionnalité, on calcule le rapport de la deuxième grandeur sur la première pour chaque colonne. Si ce rapport est toujours le même, alors il y a proportionnalité. Ce rapport constant est appelé le coefficient de proportionnalité.

Vérification par le calcul :

• Colonne 1 : $\frac{0,40}{2} = 0,20$
• Colonne 2 : $\frac{0,80}{4} = 0,20$
• Colonne 3 : $\frac{1,20}{6} = 0,20$

Puisque le rapport est constant (0,20), le prix est proportionnel au nombre d'œufs.

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première grandeur pour obtenir les valeurs de la deuxième grandeur.

Dans l'exemple des œufs ci-dessus, le coefficient de proportionnalité est 0,20. Cela signifie que pour trouver le prix, on multiplie le nombre d'œufs par 0,20.

• $2 \times 0,20 = 0,40$
• $4 \times 0,20 = 0,80$
• $6 \times 0,20 = 1,20$

Calcul du coefficient : Pour le calculer, on divise une valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première grandeur. Coefficient = $\frac{\text{Valeur de la grandeur 2}}{\text{Valeur de la grandeur 1}}$

Utilisation du coefficient : Une fois que tu as le coefficient, tu peux calculer n'importe quelle valeur manquante. Si tu veux savoir le prix de 10 œufs : $10 \times 0,20 = 2,00$ €. Si tu as payé 3,00 €, combien d'œufs as-tu acheté ? $3,00 \div 0,20 = 15$ œufs.

Sens du coefficient : Le coefficient de proportionnalité a souvent un sens concret. Dans notre exemple, 0,20 est le prix d'un œuf (en euros). C'est le prix unitaire.

C'est la méthode la plus directe une fois que le coefficient est connu.

Passage à l'unité : C'est une façon de trouver le coefficient.

• Si 5 stylos coûtent 10 €.
• Pour trouver le prix d'un stylo (l'unité), on divise le prix total par le nombre de stylos : $\frac{10}{5} = 2$ €. Le coefficient est 2.
• Ainsi, 1 stylo coûte 2 €.

Calcul de la quatrième proportionnelle : C'est trouver une valeur manquante quand trois autres sont connues.

1. Trouver le coefficient : $\frac{10}{5} = 2$.
2. Utiliser le coefficient : $7 \times 2 = 14$. Donc 7 stylos coûtent 14 €.

Application à des problèmes concrets :

• Problème : Un robinet remplit une piscine de 150 litres en 30 minutes. Combien de temps faudra-t-il pour remplir une piscine de 250 litres, si le débit est constant ?
• Solution :
  1. Calcul du coefficient (litres par minute ou minutes par litre). Le plus simple est le débit : $\frac{150 \text{ litres}}{30 \text{ minutes}} = 5$ litres/minute.
  2. Pour remplir 250 litres : $\frac{250 \text{ litres}}{5 \text{ litres/minute}} = 50$ minutes. Il faudra 50 minutes.

La règle de trois est une méthode très utilisée pour trouver la quatrième proportionnelle, surtout quand le coefficient n'est pas un nombre simple.

Présentation de la méthode : On organise les données dans un tableau et on utilise un produit en croix.

Mise en place du tableau :

• Problème : Si 3 kg de pommes coûtent 4,50 €, combien coûtent 5 kg de pommes ?

Calcul de la valeur manquante : On multiplie les nombres en diagonale et on divise par le troisième nombre. $x = \frac{5 \times 4,50}{3}$ $x = \frac{22,50}{3}$ $x = 7,50$ Donc 5 kg de pommes coûtent 7,50 €.

Ces propriétés permettent de simplifier les calculs dans un tableau de proportionnalité.

1. Addition ou soustraction de colonnes : Si tu additionnes (ou soustrais) les valeurs de deux colonnes, tu obtiens une nouvelle colonne qui respecte aussi la proportionnalité.

   Nombre de stylos	Prix (€)
   2	4
   3	6
   (2+3=) 5	(4+6=) 10

   La colonne "5 stylos coûtent 10 €" est correcte.

2. Multiplication ou division d'une colonne par un nombre : Si tu multiplies (ou divises) toutes les valeurs d'une colonne par un même nombre, tu obtiens une nouvelle colonne qui respecte la proportionnalité.

   Nombre de stylos	Prix (€)
   2	4
   (2x3=) 6	(4x3=) 12

   La colonne "6 stylos coûtent 12 €" est correcte.

Applications pratiques : Ces propriétés sont très utiles pour compléter un tableau de proportionnalité sans toujours repasser par le coefficient ou la règle de trois.

Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction de 100. Le symbole "%" signifie "pour cent".

• "50%" signifie 50 sur 100, soit $\frac{50}{100}$.
• "25%" signifie 25 sur 100, soit $\frac{25}{100}$.

Lien avec les fractions : Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100.

• $75\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
• $10\% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

Exemples courants :

• Soldes : "20% de réduction" signifie que le prix est réduit de 20 € pour chaque 100 € du prix initial.
• Statistiques : "60% des élèves aiment les maths" signifie que sur 100 élèves, 60 aiment les maths.
• Composition : "Un jus de fruits contient 30% de jus d'orange" signifie que sur 100 mL de jus, il y a 30 mL de jus d'orange.

Calculer un pourcentage d'une quantité, c'est appliquer une situation de proportionnalité.

Méthode par la proportionnalité :

• Problème : Il y a 300 élèves dans une école. 20% des élèves sont en 6ème. Combien y a-t-il d'élèves en 6ème ?

On utilise la règle de trois : $x = \frac{300 \times 20}{100} = \frac{6000}{100} = 60$. Il y a 60 élèves en 6ème.

Utilisation de la fraction décimale : C'est souvent plus rapide. Pour calculer $p\%$ d'une quantité, on multiplie la quantité par $\frac{p}{100}$.

• $20\%$ de 300 élèves = $300 \times \frac{20}{100} = 300 \times 0,20 = 60$ élèves.
• $50\%$ de 80 € = $80 \times \frac{50}{100} = 80 \times 0,5 = 40$ €.

Calcul mental et écrit :

• Mental : Pour trouver 10% d'un nombre, on le divise par 10 (ou on décale la virgule d'un rang à gauche). Pour trouver 50%, on divise par 2.
  • 10% de 250 = 25
  • 50% de 60 = 30
• Écrit : Pour des calculs plus complexes, on utilise la multiplication par la fraction décimale.
  • $15\%$ de 180 = $180 \times 0,15 = 27$.

Les pourcentages sont très utilisés pour calculer des augmentations ou des réductions.

Augmentations et réductions :

• Réduction : Un article coûte 80 € et est soldé à -25%.
  1. Calcul de la réduction : $25\%$ de 80 € = $80 \times 0,25 = 20$ €.
  2. Calcul du nouveau prix : $80 - 20 = 60$ €. Autre méthode : si le prix est réduit de 25%, il reste $100\% - 25\% = 75\%$ du prix à payer. Nouveau prix = $80 \times 0,75 = 60$ €.
• Augmentation : Un loyer de 500 € augmente de 2%.
  1. Calcul de l'augmentation : $2\%$ de 500 € = $500 \times 0,02 = 10$ €.
  2. Calcul du nouveau loyer : $500 + 10 = 510$ €. Autre méthode : si le prix augmente de 2%, on paie $100\% + 2\% = 102\%$ du prix initial. Nouveau loyer = $500 \times 1,02 = 510$ €.

Problèmes de la vie quotidienne :

• Lors d'un achat, la TVA (Taxe sur la Valeur Ajoutée) est un pourcentage du prix hors taxe.
• Les intérêts bancaires sont un pourcentage de la somme d'argent placée.
• Les statistiques à la télévision ou dans les journaux utilisent constamment les pourcentages.

La première étape pour une représentation graphique est d'organiser les données dans un tableau.

Chaque ligne du tableau représente un point que l'on pourra placer sur un graphique.

Pour représenter graphiquement une situation de proportionnalité :

1. Trace deux axes, un horizontal (axe des abscisses) et un vertical (axe des ordonnées).
2. L'axe horizontal représente la première grandeur (par exemple, le nombre d'heures).
3. L'axe vertical représente la deuxième grandeur (par exemple, le salaire).
4. Place les points correspondant aux paires de valeurs du tableau.
   • (1 heure, 10 €)
   • (2 heures, 20 €)
   • (3 heures, 30 €)
   • (4 heures, 40 €)
5. Les points d'une situation de proportionnalité sont toujours alignés et passent par l'origine du repère (le point (0,0)).
   • Si je travaille 0 heure, je gagne 0 €. Le point (0,0) est donc toujours présent.

Un graphique de proportionnalité est une droite qui passe par l'origine du repère.

Un graphique de proportionnalité permet de :

• Lecture de coordonnées : Trouver une valeur connaissant l'autre. Par exemple, à partir du graphique, quel salaire pour 2,5 heures de travail ? (On trouve 25 €). Ou combien d'heures pour gagner 35 € ? (On trouve 3,5 heures).
• Déduire la proportionnalité : Si les points sont alignés et passent par l'origine, alors la situation est proportionnelle. Si ce n'est pas le cas (les points forment une courbe, ou une droite qui ne passe pas par l'origine), alors il n'y a pas proportionnalité.
• Résoudre des problèmes graphiquement : Utiliser la droite tracée pour répondre à des questions qui n'étaient pas directement dans le tableau initial, en lisant les valeurs sur les axes.