Exemples de fonctions

Les fonctions affines sont parmi les plus simples et les plus courantes. Elles décrivent des relations où une quantité varie proportionnellement à une autre, potentiellement décalée par une constante.

Définition et représentation graphique

Une fonction $f$ est dite affine si elle peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels fixés, et $x$ est la variable réelle. Le domaine de définition d'une fonction affine est $\mathbb{R}$. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

Dans l'expression $f(x) = ax + b$:

• $a$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Il indique la "raideur" de la droite et son sens.
  • Si $a > 0$, la droite "monte" (la fonction est croissante).
  • Si $a < 0$, la droite "descend" (la fonction est décroissante).
  • Si $a = 0$, la fonction est constante ($f(x) = b$) et la droite est horizontale.
• $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de $f(x)$ lorsque $x=0$, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Le point de coordonnées est $(0, b)$.

Sens de variation

Le sens de variation d'une fonction affine dépend entièrement du signe de son coefficient directeur $a$:

• Si $a > 0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $a < 0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $a = 0$, la fonction $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.

Le coefficient directeur $a$ est la clé pour comprendre le comportement d'une fonction affine.

Les fonctions polynômes de degré 2, aussi appelées fonctions quadratiques, sont caractérisées par la présence d'un terme $x^2$. Leur représentation graphique est une parabole.

Forme canonique et forme développée

Une fonction polynôme de degré 2 peut s'écrire sous deux formes principales :

1. Forme développée (ou générale): $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels et $a \neq 0$.
2. Forme canonique: $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, où $a \neq 0$.
   • Les coordonnées du sommet de la parabole sont $(\alpha, \beta)$.
   • On a $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha) = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} = \frac{-\Delta}{4a}$.

Le passage d'une forme à l'autre est une compétence importante. La forme canonique est particulièrement utile pour déterminer le sommet et le sens de variation.

Sommet de la parabole

Le sommet de la parabole est le point où la fonction atteint son extremum (maximum ou minimum). Ses coordonnées sont $S(\alpha, \beta)$.

• Si $a > 0$, la parabole est "ouverte vers le haut". Le sommet est un minimum.
• Si $a < 0$, la parabole est "ouverte vers le bas". Le sommet est un maximum.

Sens de variation et tableau de variation

Le sens de variation d'une fonction polynôme de degré 2 dépend du signe de $a$ et de la position par rapport au sommet.

• Si $a > 0$: La fonction est d'abord décroissante jusqu'à $\alpha$, puis croissante après $\alpha$.

  $x$	$-\infty$	$\alpha$	$+\infty$
  $f(x)$	$\searrow$	$\beta$	$\nearrow$

• Si $a < 0$: La fonction est d'abord croissante jusqu'à $\alpha$, puis décroissante après $\alpha$.

  $x$	$-\infty$	$\alpha$	$+\infty$
  $f(x)$	$\nearrow$	$\beta$	$\searrow$

Le signe de $a$ détermine l'orientation de la parabole et la nature de l'extremum.

La résolution des équations et inéquations du type $ax^2 + bx + c = 0$ ou $ax^2 + bx + c > 0$ est une compétence fondamentale.

Discriminant et racines

Pour résoudre l'équation $ax^2 + bx + c = 0$, on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Si $\Delta > 0$: L'équation a deux solutions réelles distinctes (deux racines) : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$: L'équation a une unique solution réelle (une racine double) : $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$: L'équation n'a pas de solution réelle.

Signe du trinôme

Le signe du trinôme $ax^2 + bx + c$ dépend du signe de $a$ et des racines (s'il y en a).

• Si $\Delta < 0$: Le trinôme est toujours du signe de $a$.
• Si $\Delta = 0$: Le trinôme est toujours du signe de $a$, et s'annule en $x_0$.
• Si $\Delta > 0$: Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines ($x_1$ et $x_2$) et du signe opposé à $a$ entre les racines.

Interprétation graphique

• Les solutions de $ax^2 + bx + c = 0$ correspondent aux abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
• L'inéquation $ax^2 + bx + c > 0$ correspond aux intervalles où la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses.
• L'inéquation $ax^2 + bx + c < 0$ correspond aux intervalles où la parabole est en-dessous de l'axe des abscisses.

Les fonctions puissance entières sont de la forme $f(x) = x^n$, où $n$ est un entier. Elles sont fondamentales pour comprendre les polynômes.

Définition et domaine de définition

Une fonction puissance entière est $f(x) = x^n$.

• Si $n$ est un entier positif ($n \in \mathbb{N}^*$), le domaine de définition est $\mathbb{R}$. Ex: $x^2$, $x^3$.
• Si $n$ est un entier négatif ($n \in \mathbb{Z}^-$), le domaine de définition est $\mathbb{R}^*$ (car $x^n = \frac{1}{x^{-n}}$ et on ne peut pas diviser par zéro). Ex: $x^{-1} = \frac{1}{x}$, $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Parité et symétrie

La parité d'une fonction $f$ est déterminée par la relation entre $f(x)$ et $f(-x)$.

• Si $n$ est pair ($n=2k$): $f(-x) = (-x)^n = x^n = f(x)$. La fonction est paire. Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Ex: $x^2$, $x^4$.
• Si $n$ est impair ($n=2k+1$): $f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x)$. La fonction est impaire. Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine. Ex: $x^3$, $x^5$.

Sens de variation selon $n$

• Si $n$ est pair ($n \ge 2$):
  • Décroissante sur $(-\infty, 0]$.
  • Croissante sur $[0, +\infty)$.
  • Le minimum est en $x=0$, $f(0)=0$.
• Si $n$ est impair ($n \ge 1$):
  • Strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Cas particuliers:
  • $f(x) = x^0 = 1$ (fonction constante, pour $x \neq 0$).
  • $f(x) = x^1 = x$ (fonction identité, affine, croissante sur $\mathbb{R}$).

Le signe de l'exposant $n$ affecte le domaine de définition, et sa parité détermine le type de symétrie et le sens de variation.

La fonction inverse est un cas particulier de fonction puissance, où $n=-1$.

Définition et domaine de définition

La fonction inverse est définie par $f(x) = \frac{1}{x}$. Son domaine de définition est $\mathbb{R}^* = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, car la division par zéro est impossible.

Représentation graphique (hyperbole)

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.

• Elle possède deux branches, l'une dans le premier quadrant, l'autre dans le troisième.
• Elle est symétrique par rapport à l'origine (c'est une fonction impaire, car $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$).
• Les axes des abscisses et des ordonnées sont des asymptotes à la courbe.
  • $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$.

Sens de variation

La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun de ses intervalles de définition.

• Décroissante sur $(-\infty, 0)$.
• Décroissante sur $(0, +\infty)$. Il est important de noter qu'elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$. Par exemple, $-2 < 2$ mais $f(-2) = -0.5$ et $f(2) = 0.5$, donc $f(-2) < f(2)$, ce qui contredit la décroissance sur $\mathbb{R}^*$.

La fonction racine carrée est l'inverse de la fonction carré pour les nombres positifs.

Définition et domaine de définition

La fonction racine carrée est définie par $f(x) = \sqrt{x}$.

• Pour que $\sqrt{x}$ soit définie dans les nombres réels, $x$ doit être positif ou nul.
• Son domaine de définition est $[0, +\infty[$.

Représentation graphique

La courbe de la fonction racine carrée est la "moitié supérieure" d'une parabole couchée sur le côté. Elle part de l'origine $(0,0)$ et s'élève progressivement.

Sens de variation et dérivée

• La fonction racine carrée est strictement croissante sur son domaine de définition $[0, +\infty[$.
• Sa dérivée est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
  • Cette dérivée est définie pour $x > 0$.
  • Comme $2\sqrt{x}$ est toujours positif pour $x>0$, la dérivée est toujours positive, ce qui confirme la croissance de la fonction.

La fonction racine carrée est essentielle en géométrie (distance) et dans de nombreuses formules physiques.

La fonction exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0.

Définition et propriétés algébriques ($e^x$)

La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$. Le nombre $e$ est une constante mathématique (environ 2.718). Propriétés algébriques fondamentales:

• $e^0 = 1$
• $e^1 = e$
• $e^{a+b} = e^a \times e^b$
• $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
• $(e^a)^n = e^{an}$ pour tout entier $n$
• $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$.

Représentation graphique et limites

La courbe de la fonction exponentielle passe par les points $(0, 1)$ et $(1, e)$.

• Elle est toujours au-dessus de l'axe des abscisses (car $e^x > 0$).
• Elle croît très rapidement pour les grandes valeurs de $x$.
• Elle a une asymptote horizontale d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) en $-\infty$.

Limites:

• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

Dérivée et sens de variation

• La dérivée de $e^x$ est $f'(x) = e^x$.
• Comme $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Définition comme réciproque de l'exponentielle

La fonction logarithme népérien, notée $\ln(x)$, est définie pour tout $x > 0$. Elle est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, ce qui signifie:

• Si $y = e^x$, alors $x = \ln(y)$.
• $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
• $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$.
• Le domaine de définition de $\ln(x)$ est $]0, +\infty[$.

Propriétés algébriques ($\ln(x)$)

Ces propriétés sont le "miroir" de celles de l'exponentielle:

• $\ln(1) = 0$ (car $e^0 = 1$)
• $\ln(e) = 1$ (car $e^1 = e$)
• $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ pour $a, b > 0$
• $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ pour $a, b > 0$
• $\ln(a^n) = n \ln(a)$ pour $a > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$
• $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ pour $a > 0$

Représentation graphique, limites et dérivée

La courbe de $\ln(x)$ est symétrique à celle de $e^x$ par rapport à la droite $y=x$.

• Elle passe par les points $(1, 0)$ et $(e, 1)$.
• Elle a une asymptote verticale d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) en $0^+$.

Limites:

• $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$

Dérivée et sens de variation:

• La dérivée de $\ln(x)$ est $f'(x) = \frac{1}{x}$.
• Pour $x > 0$, $\frac{1}{x} > 0$, donc la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont inséparables ; l'une est la réciproque de l'autre.

Grâce à leurs propriétés réciproques, on peut résoudre des équations et inéquations impliquant $e^x$ et $\ln(x)$.

Utilisation des propriétés

• Pour une équation du type $e^{A(x)} = B$, si $B > 0$, on applique $\ln$ des deux côtés: $A(x) = \ln(B)$.
• Pour une équation du type $\ln(A(x)) = B$, on applique $\exp$ des deux côtés: $A(x) = e^B$.
• Toujours vérifier le domaine de définition (argument du $\ln$ doit être $>0$).

Exemples:

• $e^{2x+1} = 5 \implies 2x+1 = \ln(5) \implies x = \frac{\ln(5)-1}{2}$.
• $\ln(x-3) = 2 \implies x-3 = e^2 \implies x = e^2+3$. (Vérifier $x-3 > 0 \implies e^2 > 0$, toujours vrai).

Changement de variable

Certaines équations peuvent être ramenées à des équations de second degré par un changement de variable. Ex: $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$. Posons $X = e^x$. L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$. Les solutions sont $X=1$ et $X=2$. Donc $e^x = 1 \implies x = \ln(1) = 0$ ou $e^x = 2 \implies x = \ln(2)$.

Interprétation graphique

La résolution d'équations et inéquations peut être visualisée sur les graphiques:

• $e^x = k$: chercher l'intersection de la courbe $y=e^x$ avec la droite horizontale $y=k$.
• $\ln(x) = k$: chercher l'intersection de la courbe $y=\ln(x)$ avec la droite horizontale $y=k$.
• Les inéquations se traduisent par des régions "au-dessus" ou "en-dessous" des courbes.

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé.

Mesure des angles en radians

• Les angles sont mesurés en radians. Un tour complet correspond à $2\pi$ radians (soit $360^\circ$).
• Un angle de $\pi$ radians correspond à $180^\circ$.
• Un angle de $\frac{\pi}{2}$ radians correspond à $90^\circ$.

Coordonnées des points

Pour un angle $\theta$ (mesuré à partir de l'axe des abscisses positives, dans le sens anti-horaire), le point $M$ sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées $(\cos(\theta), \sin(\theta))$.

• L'abscisse du point $M$ est $\cos(\theta)$.
• L'ordonnée du point $M$ est $\sin(\theta)$.

Valeurs remarquables

Il est crucial de connaître les valeurs de sinus et cosinus pour certains angles clés:

Définition et domaine de définition

• La fonction sinus, notée $\sin(x)$, associe à tout réel $x$ (un angle en radians) l'ordonnée du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Son domaine de définition est $\mathbb{R}$.
• La fonction cosinus, notée $\cos(x)$, associe à tout réel $x$ l'abscisse du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Son domaine de définition est $\mathbb{R}$.

Périodicité et parité

• Périodicité: Les fonctions $\sin(x)$ et $\cos(x)$ sont périodiques de période $2\pi$. Cela signifie que $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$ et $\cos(x+2\pi) = \cos(x)$. Il suffit donc d'étudier leur comportement sur un intervalle de longueur $2\pi$ (par exemple $[-\pi, \pi]$ ou $[0, 2\pi]$).
• Parité:
  • $\cos(x)$ est une fonction paire: $\cos(-x) = \cos(x)$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • $\sin(x)$ est une fonction impaire: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Représentation graphique et sens de variation

Les courbes de $\sin(x)$ et $\cos(x)$ sont des sinusoïdes. Elles oscillent entre $-1$ et $1$.

• Fonction cosinus:

  • Décroissante sur $[0, \pi]$.
  • Croissante sur $[\pi, 2\pi]$.
  • Maximum en $x=0, 2\pi, \dots$ (valeur 1). Minimum en $x=\pi, 3\pi, \dots$ (valeur -1).

• Fonction sinus:

  • Croissante sur $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
  • Décroissante sur $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
  • Maximum en $x=\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$ (valeur 1). Minimum en $x=\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \dots$ (valeur -1).

La courbe du sinus est un décalage de celle du cosinus: $\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})$.

Les dérivées des fonctions trigonométriques sont essentielles pour l'étude de leurs variations et pour la résolution de problèmes en physique.

Dérivée de $\sin(x)$

La dérivée de la fonction $\sin(x)$ est $\cos(x)$. $(\sin(x))' = \cos(x)$.

Dérivée de $\cos(x)$

La dérivée de la fonction $\cos(x)$ est $-\sin(x)$. $(\cos(x))' = -\sin(x)$.

Applications à l'étude de fonctions

Pour étudier une fonction $f(x) = \sin(ax+b)$ ou $g(x) = \cos(ax+b)$, on utilise la formule de dérivation des fonctions composées (que nous reverrons plus tard).

• $(f(u(x)))' = u'(x) f'(u(x))$
• $(\sin(u(x)))' = u'(x) \cos(u(x))$
• $(\cos(u(x)))' = -u'(x) \sin(u(x))$

Exemple: Soit $h(x) = \sin(2x)$. Alors $h'(x) = 2 \cos(2x)$. L'étude du signe de la dérivée permet de déterminer le sens de variation de la fonction sur un intervalle donné.

Définition des opérations

Soient $f$ et $g$ deux fonctions.

• Somme: $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
• Produit: $(fg)(x) = f(x) \times g(x)$
• Quotient: $(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

Domaine de définition des fonctions résultantes

• Le domaine de définition de $f+g$ et $fg$ est l'intersection des domaines de $f$ et de $g$: $D_{f+g} = D_{fg} = D_f \cap D_g$.
• Le domaine de définition de $\frac{f}{g}$ est l'intersection des domaines de $f$ et de $g$, en excluant les valeurs de $x$ pour lesquelles $g(x) = 0$: $D_{\frac{f}{g}} = \{x \in D_f \cap D_g \mid g(x) \neq 0\}$.

Dérivées des fonctions composées (rappel)

Ces formules sont fondamentales pour calculer les dérivées de fonctions complexes:

• $(u+v)' = u' + v'$
• $(uv)' = u'v + uv'$
• $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
• $(cu)' = cu'$ (où $c$ est une constante)

La composition est une opération puissante qui permet de construire des fonctions où la sortie d'une fonction devient l'entrée d'une autre.

Définition de $f \circ g$

La fonction composée de $f$ par $g$, notée $f \circ g$ (lire "$f$ rond $g$"), est définie par $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. C'est comme appliquer la fonction $g$ d'abord, puis appliquer la fonction $f$ au résultat de $g(x)$.

Domaine de définition d'une fonction composée

Le domaine de définition de $f \circ g$ est l'ensemble des $x$ tels que:

1. $x$ appartient au domaine de $g$ ($x \in D_g$).
2. $g(x)$ appartient au domaine de $f$ ($g(x) \in D_f$).

En d'autres termes, $D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$.

Exemple: Soit $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x-2$. $D_f = [0, +\infty[$ et $D_g = \mathbb{R}$. $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{x-2}$. Pour que $\sqrt{x-2}$ soit définie, il faut $x-2 \ge 0$, donc $x \ge 2$. $D_{f \circ g} = [2, +\infty[$.

Dérivée d'une fonction composée (formule)

Si $f$ et $g$ sont dérivables, alors la fonction composée $f \circ g$ est dérivable et sa dérivée est donnée par la formule: $(f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x))$. C'est la règle de la chaîne: "dérivée de l'intérieur fois dérivée de l'extérieur".

Exemples:

• Soit $h(x) = \sin(2x+1)$. Posons $u(x) = 2x+1$ et $f(u) = \sin(u)$. $u'(x) = 2$ et $f'(u) = \cos(u)$. Donc $h'(x) = u'(x) \times f'(u(x)) = 2 \times \cos(2x+1)$.
• Soit $k(x) = e^{x^2}$. Posons $u(x) = x^2$ et $f(u) = e^u$. $u'(x) = 2x$ et $f'(u) = e^u$. Donc $k'(x) = u'(x) \times f'(u(x)) = 2x \times e^{x^2}$.

La connaissance des opérations sur les fonctions et de la dérivation des fonctions composées est essentielle pour étudier des fonctions plus complexes.

Décomposition de fonctions

Pour étudier une fonction complexe, il est souvent utile de la décomposer en fonctions plus simples. Ex: $h(x) = \ln(x^2+1)$. On peut la voir comme $f \circ g$ avec $g(x) = x^2+1$ et $f(u) = \ln(u)$.

Calcul de dérivées

Une fois la fonction décomposée, on peut appliquer la règle de dérivation des fonctions composées pour calculer sa dérivée. Ex: Pour $h(x) = \ln(x^2+1)$: $g'(x) = 2x$. $f'(u) = \frac{1}{u}$. Donc $h'(x) = g'(x) \times f'(g(x)) = 2x \times \frac{1}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Détermination du sens de variation

L'étude du signe de la dérivée permet de déterminer le sens de variation de la fonction composée. Ex: Pour $h'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$:

• Le dénominateur $x^2+1$ est toujours positif.
• Le signe de $h'(x)$ est donc le signe de $2x$.
• Si $x < 0$, $h'(x) < 0$, donc $h$ est décroissante.
• Si $x > 0$, $h'(x) > 0$, donc $h$ est croissante.
• Si $x = 0$, $h'(x) = 0$, $h$ admet un minimum en $x=0$.

La décomposition et la dérivation des fonctions composées sont des outils puissants pour l'analyse de fonctions complexes.