Fonctions et modélisation

Ces fonctions sont parmi les plus simples mais aussi les plus utilisées.

Définition et représentation graphique

• Fonction affine : Une fonction $f$ est affine si elle peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

  • $a$ est le coefficient directeur (ou pente) et $b$ est l'ordonnée à l'origine.
  • Sa représentation graphique est une droite.
  • Exemple : $f(x) = 2x - 3$. La droite monte (pente positive) et coupe l'axe des ordonnées en -3.

• Polynôme du second degré (ou fonction quadratique) : Une fonction $f$ est un polynôme du second degré si elle peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$, $c$ sont des nombres réels et $a \neq 0$.

  • Sa représentation graphique est une parabole.
  • Si $a > 0$, la parabole est ouverte vers le haut (forme de "U").
  • Si $a < 0$, la parabole est ouverte vers le bas (forme de "∩").
  • Le sommet de la parabole a pour coordonnées $\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.
  • Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Ici $a=1 > 0$, donc la parabole est ouverte vers le haut.

Sens de variation

• Fonction affine :

  • Si $a > 0$, la fonction est strictement croissante.
  • Si $a < 0$, la fonction est strictement décroissante.
  • Si $a = 0$, la fonction est constante ($f(x) = b$).

• Polynôme du second degré : Le sens de variation dépend du signe de $a$ et de la position par rapport au sommet.

  • Si $a > 0$: la fonction est décroissante jusqu'au sommet, puis croissante.
  • Si $a < 0$: la fonction est croissante jusqu'au sommet, puis décroissante.
  • Le sommet est un extremum (minimum si $a>0$, maximum si $a<0$).

Résolution d'équations et inéquations

• Fonction affine :

  • $ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$).
  • Pour les inéquations, on utilise le signe de $a$. Par exemple, $ax + b > 0$: si $a > 0$, $x > -\frac{b}{a}$; si $a < 0$, $x < -\frac{b}{a}$.

• Polynôme du second degré :

  • $ax^2 + bx + c = 0$: On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
    • Si $\Delta > 0$, deux solutions réelles : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
    • Si $\Delta = 0$, une unique solution réelle : $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
    • Si $\Delta < 0$, pas de solution réelle.
  • Pour les inéquations $ax^2 + bx + c > 0$ (ou $<0$, $\ge 0$, $\le 0$), on étudie le signe du trinôme en fonction de $\Delta$ et du signe de $a$.
    • Si $\Delta > 0$, le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé de $a$ entre les racines.
    • Si $\Delta = 0$, le trinôme est toujours du signe de $a$ (sauf en $x_0$ où il est nul).
    • Si $\Delta < 0$, le trinôme est toujours du signe de $a$.

Ces fonctions sont essentielles pour modéliser des croissances ou décroissances rapides.

Définition et propriétés algébriques

• Fonction exponentielle : Notée $\exp(x)$ ou $e^x$.

  • C'est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$.
  • $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
  • Propriétés : $e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^n = e^{na}$.
  • $e^0 = 1$, $e^1 = e \approx 2.718$.
  • La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

• Fonction logarithme népérien : Notée $\ln(x)$.

  • C'est la réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0; +\infty[$.
  • $\ln(x) = y \iff e^y = x$.
  • $\ln(1) = 0$, $\ln(e) = 1$.
  • Propriétés : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$, $\ln(a^n) = n \ln(a)$.
  • La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.

Dérivées et primitives

• Fonction exponentielle :

  • Dérivée : Si $f(x) = e^x$, alors $f'(x) = e^x$.
  • Plus généralement, si $f(x) = e^{u(x)}$, alors $f'(x) = u'(x)e^{u(x)}$.
  • Primitive : Une primitive de $e^x$ est $e^x + C$.

• Fonction logarithme népérien :

  • Dérivée : Si $f(x) = \ln(x)$, alors $f'(x) = \frac{1}{x}$.
  • Plus généralement, si $f(x) = \ln(u(x))$, alors $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$ (pour $u(x)>0$).
  • Primitive : Une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x) + C$ (pour $x>0$).

Croissance comparée

Il est important de savoir qui "gagne" quand $x$ tend vers $+\infty$.

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (L'exponentielle l'emporte sur les puissances)
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (Les puissances l'emportent sur le logarithme)
• $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

Ces croissances comparées sont très utiles pour le calcul de limites complexes.

Ces fonctions sont également des outils de base en modélisation.

Définition et domaine de validité

• Fonctions puissances : $f(x) = x^n$, où $n$ est un entier relatif.
  • Si $n \in \mathbb{N}^*$ (ex: $x^2, x^3$): définies sur $\mathbb{R}$.
  • Si $n \in \mathbb{Z}^-$ (ex: $x^{-1} = \frac{1}{x}$, $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$): définies sur $\mathbb{R}^*$.
• Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$.
  • Définie sur $[0; +\infty[$.
  • $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
• Fonction racine n-ième : $f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$.
  • Si $n$ est pair, définie sur $[0; +\infty[$.
  • Si $n$ est impair, définie sur $\mathbb{R}$.

Propriétés et opérations

• $(x^a)(x^b) = x^{a+b}$
• $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
• $(x^a)^b = x^{ab}$
• $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (pour $a,b \ge 0$)
• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (pour $a \ge 0, b > 0$)

Étude de variations

• Fonction puissance $f(x) = x^n$ :
  • Si $n$ est pair et positif ($x^2, x^4$): décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty[$. Minimum en $x=0$.
  • Si $n$ est impair et positif ($x^3, x^5$): strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  • Si $n$ est négatif ($x^{-1}, x^{-2}$): le sens de variation dépend de la parité de $n$.
    • $x^{-1} = \frac{1}{x}$: décroissante sur $]-\infty; 0[$ et sur $]0; +\infty[$.
    • $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$: croissante sur $]-\infty; 0[$ et décroissante sur $]0; +\infty[$.
• Fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ :
  • Strictement croissante sur $[0; +\infty[$.
  • Dérivée : $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x > 0$.

Savoir calculer une dérivée est une compétence fondamentale.

Dérivées des fonctions usuelles

Voici un tableau récapitulatif des dérivées à connaître par cœur :

Linéarité de la dérivation

• Dérivée d'une somme : $(u+v)' = u' + v'$.
  • Exemple : Si $f(x) = x^2 + \ln(x)$, alors $f'(x) = 2x + \frac{1}{x}$.
• Dérivée d'un produit par une constante : $(ku)' = ku'$.
  • Exemple : Si $f(x) = 5e^x$, alors $f'(x) = 5e^x$.

Dérivée d'un produit, d'un quotient, d'une composée

Ce sont les règles les plus importantes pour dériver des fonctions complexes.

• Dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$.

  • Exemple : Si $f(x) = x e^x$, alors $u(x) = x \implies u'(x) = 1$ et $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$.
  • Donc $f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$.

• Dérivée d'un quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

  • Exemple : Si $f(x) = \frac{e^x}{x}$, alors $u(x) = e^x \implies u'(x) = e^x$ et $v(x) = x \implies v'(x) = 1$.
  • Donc $f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

• Dérivée d'une fonction composée : $(g \circ u)' = (g(u(x)))' = u'(x) \cdot g'(u(x))$.

  • C'est la règle "dérivée de l'intérieur fois dérivée de l'extérieur".
  • Exemple : Si $f(x) = (2x+3)^5$. Posons $u(x) = 2x+3$ et $g(u) = u^5$.
  • $u'(x) = 2$ et $g'(u) = 5u^4$.
  • Donc $f'(x) = 2 \cdot 5(2x+3)^4 = 10(2x+3)^4$.
  • Autre exemple : Si $f(x) = e^{x^2}$. Posons $u(x) = x^2$ et $g(u) = e^u$.
  • $u'(x) = 2x$ et $g'(u) = e^u$.
  • Donc $f'(x) = 2x e^{x^2}$.

La dérivée est l'outil principal pour déterminer le sens de variation d'une fonction.

Lien entre signe de la dérivée et sens de variation

• Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
• Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
• Si $f'(x) = 0$ sur un intervalle, alors $f$ est constante sur cet intervalle.
• Si $f'(x)$ s'annule en changeant de signe en un point $x_0$, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.

Extremums locaux

Un extremum local est un maximum local ou un minimum local.

• Si $f'(x_0) = 0$ et que $f'(x)$ change de signe de + à - en $x_0$, alors $f(x_0)$ est un maximum local.
• Si $f'(x_0) = 0$ et que $f'(x)$ change de signe de - à + en $x_0$, alors $f(x_0)$ est un minimum local.

Ces points correspondent aux "pics" et aux "creux" sur la courbe de la fonction.

Tableaux de variations

Un tableau de variations résume toutes ces informations :

1. Calculer la dérivée $f'(x)$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur le domaine de définition de $f$.
3. Déduire le sens de variation de $f$.
4. Calculer les valeurs de $f$ aux points où la dérivée s'annule et aux bornes du domaine de définition.

Exemple de tableau de variations pour une fonction $f$ dont la dérivée est $f'(x) = (x-1)(x-3)$ :

Ici, $f(1)$ est un maximum local et $f(3)$ est un minimum local.

La dérivée a une interprétation géométrique fondamentale : elle donne la pente de la tangente.

Nombre dérivé et coefficient directeur

Le nombre dérivé $f'(a)$ en un point $a$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$. Il représente la vitesse instantanée de variation de la fonction en ce point.

Équation de la tangente

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$

Exemple : Soit $f(x) = x^2$. On veut l'équation de la tangente au point d'abscisse $a=2$.

1. $f(2) = 2^2 = 4$.
2. $f'(x) = 2x$, donc $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
3. L'équation de la tangente est $y = 4(x-2) + 4 = 4x - 8 + 4 = 4x - 4$.

Approximation locale

La tangente fournit une approximation locale de la fonction autour du point de tangence. Pour $x$ proche de $a$, $f(x) \approx f'(a)(x-a) + f(a)$. C'est une approximation affine très utile pour des calculs rapides ou des analyses de sensibilité.

Le choix de la fonction dépend de la nature du phénomène observé.

• Croissance linéaire : $f(x) = ax+b$.

  • Décrit un phénomène qui augmente ou diminue à un rythme constant.
  • Exemple : le prix d'un produit qui augmente de 5€ par an.

• Croissance exponentielle : $f(x) = Ce^{kx}$ (ou $C a^x$).

  • Décrit un phénomène dont le taux de croissance est proportionnel à la quantité elle-même. Plus il y en a, plus ça augmente vite.
  • Exemple : croissance d'une population bactérienne, capital placé à intérêts composés.
  • Si $k>0$, croissance ; si $k<0$, décroissance (radioactivité, refroidissement).

• Croissance logistique : $f(x) = \frac{M}{1+Ae^{-kx}}$.

  • Décrit une croissance qui est d'abord rapide (exponentielle) puis qui ralentit pour atteindre un plafond (capacité maximale).
  • Exemple : propagation d'un virus dans une population limitée, croissance d'une espèce animale dans un environnement donné.

• Décroissance exponentielle : $f(x) = Ce^{-kx}$ ($k>0$).

  • Un cas particulier de la croissance exponentielle où la quantité diminue.
  • Exemple : désintégration radioactive, décharge d'un condensateur.

• Phénomènes périodiques : Fonctions trigonométriques comme $\sin(x)$ ou $\cos(x)$.

  • Décrivent des phénomènes qui se répètent à intervalles réguliers.
  • Exemple : marées, alternance jour/nuit, son, courants alternatifs.

Une fois le type de fonction choisi, il faut trouver les paramètres qui "collent" le mieux aux données réelles.

Méthode des moindres carrés (principe)

• L'idée est de trouver la fonction du modèle choisi qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle.
• C'est une méthode statistique courante pour l'ajustement linéaire (régression linéaire). Pour les autres types de fonctions, les calculs sont plus complexes mais le principe reste le même.
• L'objectif est de trouver la "meilleure" courbe qui passe au plus près des points expérimentaux.

Utilisation de la calculatrice/logiciel

• En pratique, on utilise une calculatrice graphique (comme la TI-83, Casio Graph 35) ou un logiciel (tableur Excel, Python avec Scipy, GeoGebra).
• Ces outils permettent de réaliser des régressions (linéaires, exponentielles, logistiques, etc.) et de déterminer les paramètres du modèle ($a, b, C, k, M$, etc.).
• Ils fournissent souvent un coefficient de corrélation ($R^2$) qui indique la qualité de l'ajustement (plus $R^2$ est proche de 1, meilleur est l'ajustement).

Interprétation des paramètres du modèle

• Les paramètres trouvés ont souvent une signification concrète dans le contexte du problème.
  • Dans $f(x) = ax+b$, $a$ peut être un taux de croissance et $b$ une valeur initiale.
  • Dans $f(x) = Ce^{kx}$, $C$ est la valeur initiale et $k$ le taux de croissance relatif.
  • Dans la fonction logistique $f(x) = \frac{M}{1+Ae^{-kx}}$, $M$ est la capacité maximale (le plafond).
• Il est crucial de toujours replacer les paramètres dans le contexte du phénomène modélisé.

Un modèle n'est jamais parfait, il est important d'en connaître les forces et les faiblesses.

Pertinence du modèle

• Un modèle est pertinent s'il décrit bien le phénomène observé et s'il est capable de faire des prévisions raisonnables.
• La pertinence peut être évaluée en comparant les prévisions du modèle avec de nouvelles données ou en utilisant des indicateurs statistiques ($R^2$).
• Un bon modèle est à la fois simple et suffisamment précis.

Prévisions et extrapolations

• Une fois un modèle établi, on peut l'utiliser pour faire des prévisions (interpolation si dans le domaine des données, extrapolation si en dehors).
• L'extrapolation (prévoir au-delà des données connues) est à utiliser avec prudence car le comportement du phénomène peut changer en dehors du domaine d'observation. Un modèle validé sur 10 ans n'est pas forcément valable pour 100 ans.

Domaine de validité

• Tout modèle a un domaine de validité explicite ou implicite.
• Exemple : Un modèle de croissance de population peut être valable tant que les ressources sont abondantes, mais il atteindra ses limites si la nourriture vient à manquer.
• Il est essentiel de comprendre quand et où le modèle est applicable, et quand il ne l'est plus.

Les extremums (maximums ou minimums) sont souvent les réponses à des problèmes d'optimisation.

Problèmes d'optimisation

• Beaucoup de problèmes concrets peuvent être formulés comme la recherche d'un maximum ou d'un minimum.
  • Exemple : Maximiser un profit, minimiser un coût de production, trouver la forme qui minimise la surface pour un volume donné.
• La stratégie générale est de :
  1. Identifier la grandeur à optimiser.
  2. L'exprimer comme une fonction d'une ou plusieurs variables.
  3. Déterminer le domaine de définition pertinent pour cette fonction.
  4. Utiliser la dérivée pour trouver les extremums.

Dérivée seconde et convexité (introduction)

• La dérivée seconde $f''(x)$ est la dérivée de la dérivée ($f'' = (f')'$).

• Elle nous renseigne sur la convexité de la fonction :

  • Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle, la fonction $f$ est convexe (sa courbe est "creuse", en forme de U).
  • Si $f''(x) < 0$ sur un intervalle, la fonction $f$ est concave (sa courbe est "bossue", en forme de ∩).

• Un point d'inflexion est un point où la convexité change (où $f''(x)$ s'annule et change de signe).

• Critère de la dérivée seconde pour les extremums :

  • Si $f'(x_0) = 0$ et $f''(x_0) > 0$, alors $f(x_0)$ est un minimum local.
  • Si $f'(x_0) = 0$ et $f''(x_0) < 0$, alors $f(x_0)$ est un maximum local.
  • Si $f'(x_0) = 0$ et $f''(x_0) = 0$, le critère ne conclut pas (il faut revenir au signe de $f'$).

Conditions d'existence d'un extremum

• Pour qu'un extremum local existe en $x_0$, il faut que $f'(x_0) = 0$ et que $f'(x)$ change de signe autour de $x_0$.
• Sur un intervalle fermé et borné $[a;b]$, une fonction continue y atteint toujours un minimum et un maximum (Théorème des bornes atteintes). Ces extremums peuvent être aux points critiques ($f'(x)=0$) ou aux bornes de l'intervalle.

Certaines équations ne peuvent pas être résolues algébriquement et nécessitent des méthodes graphiques ou numériques.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

• Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$.
• Corollaire (cas particulier) : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution $c$ dans $[a;b]$.
• Ce théorème est fondamental pour prouver l'existence de solutions à des équations comme $f(x)=0$.

Méthode par balayage

• C'est une méthode numérique pour trouver une valeur approchée d'une solution à l'équation $f(x)=0$ (ou $f(x)=k$).
• On cherche un intervalle $[a;b]$ où $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (ou $f(a)<k<f(b)$ ou $f(b)<k<f(a)$).
• On divise cet intervalle en sous-intervalles plus petits et on répète le processus pour "balayer" l'intervalle et affiner la solution. On peut faire cela manuellement ou avec une calculatrice.

Utilisation de la calculatrice

• Les calculatrices graphiques permettent de tracer les courbes des fonctions.
• Elles ont des fonctions intégrées pour trouver les zéros (solutions de $f(x)=0$), les intersections de deux courbes ($f(x)=g(x)$), les maximums et les minimums.
• Il est crucial de savoir utiliser ces fonctionnalités pour résoudre des problèmes rapidement et avec précision.

Les mathématiques sont un langage pour comprendre le monde. Les résultats doivent toujours être traduits dans le contexte initial.

Unités et grandeurs

• Toujours vérifier que les unités des résultats sont cohérentes avec les unités des grandeurs du problème.
• Si le modèle donne une distance, le résultat doit être en mètres, kilomètres, etc. Si c'est un temps, en secondes, heures, etc.
• Une réponse sans unité ou avec une unité incorrecte est souvent le signe d'une mauvaise compréhension.

Sens physique ou économique

• Un résultat mathématique doit avoir un sens concret dans le problème.
  • Un coût négatif n'a pas de sens physique.
  • Une population de 3,5 individus doit être interprétée comme 3 ou 4.
• Poser la question : "Est-ce que ce résultat est réaliste ?"

Validité des solutions

• Certaines solutions mathématiques peuvent ne pas être valides dans le contexte du problème.
  • Exemple : une longueur ne peut pas être négative.
  • Une solution qui sort du domaine de validité du modèle doit être écartée.
• Il est important de filtrer les solutions obtenues mathématiquement pour ne retenir que celles qui sont pertinentes pour le problème réel.

Ce chapitre vous a donné les outils pour analyser, modéliser et optimiser des situations variées. En maîtrisant ces concepts, vous développerez une pensée critique et des compétences précieuses pour de nombreux domaines d'études et professionnels.