Géométrie et représentation dans l'espace

Pour situer précisément n'importe quel point dans l'espace, on utilise un repère orthonormé.

• Repère orthonormé : C'est un ensemble de quatre points $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

  • $O$ est l'origine du repère.
  • $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ sont trois vecteurs unitaires (leur norme est 1) et orthogonaux deux à deux (ils forment des angles droits entre eux). Ils définissent les directions des axes $Ox$, $Oy$ et $Oz$.

• Coordonnées d'un point : Tout point $M$ de l'espace peut être repéré de manière unique par un triplet de nombres réels $(x_M, y_M, z_M)$. Cela signifie que le vecteur $\vec{OM}$ peut s'écrire : $\vec{OM} = x_M \vec{i} + y_M \vec{j} + z_M \vec{k}$.

  • $x_M$ est l'abscisse.
  • $y_M$ est l'ordonnée.
  • $z_M$ est la cote.

• Coordonnées d'un vecteur : Si vous avez deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont calculées en soustrayant les coordonnées du point d'origine de celles du point d'arrivée : $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

• Distance entre deux points : La distance $AB$ (ou la norme du vecteur $\vec{AB}$) se calcule grâce à une généralisation du théorème de Pythagore : $AB = ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$. C'est une formule fondamentale pour tous les calculs de longueur dans l'espace.

  Exemple : Soient $A(1, 2, 3)$ et $B(4, -1, 5)$. $\vec{AB} = (4-1; -1-2; 5-3) = (3; -3; 2)$. $AB = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 9 + 4} = \sqrt{22}$.

Les vecteurs sont des outils puissants pour décrire des déplacements ou des directions. On peut effectuer plusieurs opérations avec eux.

• Somme de vecteurs : Si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, alors leur somme est : $\vec{u} + \vec{v} = (x+x'; y+y'; z+z')$. Graphiquement, cela correspond à la règle du parallélogramme ou à la relation de Chasles.

• Produit par un scalaire : Multiplier un vecteur par un nombre réel (un scalaire) $\lambda$ change sa longueur et/ou son sens, mais pas sa direction. Si $\vec{u}(x, y, z)$, alors $\lambda \vec{u} = (\lambda x; \lambda y; \lambda z)$.

• Combinaison linéaire : Un vecteur $\vec{w}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s'il existe des scalaires $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. C'est une notion clé pour comprendre les plans et la colinéarité/coplanarité.

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un scalaire $\lambda \neq 0$ tel que $\vec{v} = \lambda \vec{u}$. Cela signifie qu'ils ont la même direction (ils peuvent être parallèles ou sur la même droite). En coordonnées : $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ sont colinéaires si $(x', y', z') = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$. Pratiquement, cela signifie que les rapports des coordonnées sont égaux : $\frac{x'}{x} = \frac{y'}{y} = \frac{z'}{z}$ (si les dénominateurs ne sont pas nuls).

Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre (un scalaire) et permet de déterminer leur orthogonalité ou l'angle entre eux.

• Définition analytique : Si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, le produit scalaire est : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$. C'est la définition la plus utilisée en Terminale pour les calculs.

• Définition géométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle non orienté entre les deux vecteurs. Cette définition est utile pour calculer un angle ou pour comprendre la signification géométrique du produit scalaire.

• Orthogonalité de vecteurs : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Géométriquement, cela signifie qu'ils forment un angle de 90°.

• Norme d'un vecteur : La norme d'un vecteur $\vec{u}(x, y, z)$ est sa longueur : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. On peut aussi la relier au produit scalaire : $||\vec{u}||^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$.

Pour décrire une droite $D$ dans l'espace, nous avons besoin de deux éléments :

1. Un point $A(x_A, y_A, z_A)$ par lequel la droite passe.
2. Un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ de la droite. Ce vecteur donne la direction de la droite. Il doit être non nul.

Un point $M(x, y, z)$ appartient à la droite $D$ si et seulement si le vecteur $\vec{AM}$ est colinéaire au vecteur directeur $\vec{u}$. Cela signifie qu'il existe un nombre réel $t$ (le paramètre réel) tel que $\vec{AM} = t\vec{u}$. En termes de coordonnées, on obtient le système d'équations paramétriques de la droite :

où $t \in \mathbb{R}$. Chaque valeur de $t$ correspond à un point unique sur la droite.

• Vecteur directeur non nul : Il est crucial que le vecteur directeur $\vec{u}$ ne soit pas le vecteur nul $(0,0,0)$, sinon il ne donnerait aucune direction.

Exemple : La droite passant par $A(1, 2, 3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(4, 5, 6)$ a pour représentation paramétrique :

où $t \in \mathbb{R}$.

Dans l'espace, deux droites peuvent se comporter de différentes manières.

1. Sécantes : Elles se coupent en un seul point. Leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
2. Parallèles : Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, et elles n'ont aucun point commun.
3. Confondus : Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, et elles ont tous leurs points en commun (ce sont la même droite).
4. Non coplanaires (gauches) : Elles ne sont ni parallèles, ni sécantes. Elles ne se rencontrent jamais et ne sont pas dans le même plan. Leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

Comment déterminer la position relative ?

• Étape 1 : Vecteurs directeurs

  • Si les vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont soit parallèles, soit confondues. Il suffit alors de vérifier si un point de l'une appartient à l'autre.
    • Si oui, elles sont confondues.
    • Si non, elles sont parallèles.
  • Si les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, les droites sont soit sécantes, soit gauches.

• Étape 2 : Intersection (si les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires)

  • On cherche un point d'intersection en égalant leurs représentations paramétriques.
  • Si le système a une solution unique, les droites sont sécantes.
  • Si le système n'a pas de solution, les droites sont gauches. Les droites gauches sont une particularité de la 3D, elles n'existent pas en 2D.

Une droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est orthogonale à un vecteur $\vec{v}$ si et seulement si leurs directions sont perpendiculaires. Cela se traduit par un produit scalaire nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Attention : cela ne veut pas dire que la droite et le vecteur se coupent, mais que leur direction est perpendiculaire.

Un plan $\mathcal{P}$ peut être défini par une équation cartésienne de la forme : $ax + by + cz + d = 0$, où $a, b, c, d$ sont des réels, et $a, b, c$ ne sont pas tous nuls.

• Vecteur normal : Le vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan. Cela signifie qu'il est orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan. Un plan est entièrement défini par un point et un vecteur normal.

• Point du plan : Un point $M(x_M, y_M, z_M)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ si ses coordonnées vérifient l'équation du plan : $ax_M + by_M + cz_M + d = 0$.

• Détermination par trois points non alignés : Trois points $A, B, C$ non alignés déterminent un plan unique. Pour trouver son équation, on peut chercher un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ tel que $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$. On obtient ainsi $a, b, c$. Ensuite, on utilise un des points pour trouver $d$.

Exemple : Soit le plan d'équation $2x - 3y + z - 5 = 0$. Un vecteur normal est $\vec{n}(2, -3, 1)$. Le point $A(1, -1, 0)$ est-il dans le plan ? $2(1) - 3(-1) + 0 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0$. Oui, il est dans le plan.

Un plan $\mathcal{P}$ peut aussi être décrit par un point et deux directions. Pour cela, il faut :

1. Un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant au plan.
2. Deux vecteurs directeurs $\vec{u}(u_x, u_y, u_z)$ et $\vec{v}(v_x, v_y, v_z)$ non colinéaires. Ces vecteurs donnent deux directions différentes du plan.

Un point $M(x, y, z)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si le vecteur $\vec{AM}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Cela signifie qu'il existe deux nombres réels $s$ et $t$ (les paramètres réels) tels que $\vec{AM} = s\vec{u} + t\vec{v}$. En termes de coordonnées, on obtient le système d'équations paramétriques du plan :

où $(s, t) \in \mathbb{R}^2$. Les deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne doivent pas être colinéaires pour définir un plan.

Dans l'espace, deux plans peuvent être :

1. Parallèles : Leurs vecteurs normaux sont colinéaires, et ils n'ont aucun point commun.
2. Sécants : Ils se coupent selon une droite. Leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
3. Confondus : Leurs vecteurs normaux sont colinéaires, et ils ont tous leurs points en commun (ce sont le même plan).

Comment déterminer la position relative ?

• Étape 1 : Vecteurs normaux
  • Soient $\mathcal{P}_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ avec $\vec{n_1}(a_1, b_1, c_1)$
  • Et $\mathcal{P}_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ avec $\vec{n_2}(a_2, b_2, c_2)$
  • Si les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires, les plans sont soit parallèles, soit confondus.
    • Pour distinguer, on vérifie si un point du premier plan appartient au second. Ou plus simplement, si l'équation de l'un est un multiple de l'autre (y compris le terme constant $d$).
    • Si $a_2 = k a_1$, $b_2 = k b_1$, $c_2 = k c_1$ et $d_2 = k d_1$ (avec $k \neq 0$), alors les plans sont confondus.
    • Sinon, ils sont parallèles stricts.
  • Si les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants. Leur intersection est une droite.

Une droite $D$ et un plan $\mathcal{P}$ sont orthogonaux si la droite est perpendiculaire à toutes les droites du plan qu'elle coupe. Cela se produit si et seulement si le vecteur directeur de la droite $D$ est colinéaire au vecteur normal du plan $\mathcal{P}$. Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $D$ et $\vec{n}$ est un vecteur normal de $\mathcal{P}$, alors $D \perp \mathcal{P} \iff \vec{u} = k\vec{n}$ pour un certain réel $k \neq 0$.

Pour trouver l'intersection d'une droite $D$ et d'un plan $\mathcal{P}$, on utilise leurs équations :

• Droite $D$ : Représentation paramétrique ($x = x_A + ta$, $y = y_A + tb$, $z = z_A + tc$)
• Plan $\mathcal{P}$ : Équation cartésienne ($ax + by + cz + d = 0$)

On substitue les expressions de $x, y, z$ de la droite dans l'équation du plan : $a(x_A + ta) + b(y_A + tb) + c(z_A + tc) + d = 0$. Cela donne une équation en $t$.

Trois cas possibles :

1. Point d'intersection unique : Si l'équation en $t$ a une solution unique, cette valeur de $t$ permet de trouver les coordonnées du point d'intersection. C'est le cas général.
2. Droite incluse dans le plan : Si l'équation en $t$ est vérifiée pour tout $t \in \mathbb{R}$ (par exemple, $0=0$), cela signifie que tous les points de la droite appartiennent au plan. La droite est contenue dans le plan.
   • Cela se produit si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$) ET qu'un point de la droite appartient au plan.
3. Droite parallèle au plan (pas d'intersection) : Si l'équation en $t$ n'a pas de solution (par exemple, $5=0$), cela signifie que la droite est parallèle au plan et ne le coupe pas.
   • Cela se produit si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$) ET qu'un point de la droite n'appartient pas au plan.

L'intersection de trois plans correspond à la résolution d'un système de trois équations à trois inconnues ($x, y, z$). Chaque équation représente un plan.

Les résultats possibles sont :

1. Point unique : Le système a une solution unique $(x, y, z)$. C'est le cas le plus fréquent.
2. Droite : Les trois plans s'intersectent selon une droite (ils sont "en faisceau"). Le système a une infinité de solutions, dont l'ensemble forme une droite.
3. Ensemble vide :
   • Les trois plans sont parallèles distincts.
   • Deux plans sont parallèles distincts et le troisième les coupe.
   • Les plans s'intersectent deux à deux (forment un prisme triangulaire), mais n'ont pas de point commun aux trois. Dans ces cas, le système n'a aucune solution.

La résolution se fait généralement par substitution ou par la méthode du pivot de Gauss.

La distance d'un point $A(x_A, y_A, z_A)$ à un plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$ est donnée par la formule :

Cette formule est à connaître par cœur ! Elle représente la longueur du segment $AH$, où $H$ est la projection orthogonale de $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.

Exemple : Distance du point $A(1, 2, 3)$ au plan $\mathcal{P}: 2x - y + 2z - 1 = 0$. $d(A, \mathcal{P}) = \frac{|2(1) - (2) + 2(3) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 6 - 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|5|}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$.

La distance d'un point $A$ à une droite $D$ est la plus courte distance entre $A$ et un point de $D$. C'est la longueur du segment $AH$, où $H$ est la projection orthogonale de $A$ sur la droite $D$.

Pour la calculer, voici une méthode courante :

1. Soit $D$ la droite passant par $B$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.
2. Soit $H$ la projection orthogonale de $A$ sur $D$. Alors $\vec{AH} \cdot \vec{u} = 0$.
3. Le point $H$ appartient à la droite $D$, donc $\vec{BH} = t\vec{u}$ pour un certain $t \in \mathbb{R}$.
4. On a $\vec{AH} = \vec{AB} + \vec{BH} = \vec{AB} + t\vec{u}$.
5. En utilisant $\vec{AH} \cdot \vec{u} = 0$, on trouve $t$: $(\vec{AB} + t\vec{u}) \cdot \vec{u} = 0 \implies \vec{AB} \cdot \vec{u} + t||\vec{u}||^2 = 0$. Donc $t = -\frac{\vec{AB} \cdot \vec{u}}{||\vec{u}||^2}$.
6. Une fois $t$ trouvé, on peut calculer les coordonnées de $H$ (si nécessaire) ou directement la distance $AH = ||\vec{AH}||$. On peut aussi utiliser le Théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ABH$ (rectangle en $H$) : $AH^2 = AB^2 - BH^2$. Où $BH = |t| \times ||\vec{u}||$.

Alternativement, une formule avec le produit vectoriel (hors programme Mathématiques Complémentaires) existe et est plus directe. Mais avec le produit scalaire, la méthode par projection est tout à fait faisable et pédagogique.

Exemple : Distance du point $A(1, 0, 0)$ à la droite $D$ passant par $B(0, 1, 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(0, 0, 1)$ (l'axe Oz).

1. $\vec{AB} = (-1, 1, 0)$.
2. $\vec{u} = (0, 0, 1)$.
3. $\vec{AB} \cdot \vec{u} = (-1)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0$.
4. Puisque $\vec{AB} \cdot \vec{u} = 0$, cela signifie que $A$ est déjà orthogonal à la direction de la droite $D$ par rapport à $B$. En fait $H$ est $B$. Non, ce n'est pas $H=B$. Si $\vec{AB} \cdot \vec{u} = 0$, c'est que le point $A$ est tel que le segment $AB$ est déjà perpendiculaire à la droite $D$. La distance est donc $AB$. $d(A, D) = AB = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$. En réalité, le point $H$ a pour coordonnées $(0, 0, 0)$ (projection de $A$ sur l'axe $Oz$). Le vecteur $\vec{AH}$ serait $(1,0,0)$ et $\vec{AB}$ est $(-1,1,0)$.

Reprenons l'exemple avec la méthode de $t$: $\vec{AB} = (-1, 1, 0)$ et $\vec{u} = (0, 0, 1)$. $t = -\frac{\vec{AB} \cdot \vec{u}}{||\vec{u}||^2} = -\frac{0}{1^2} = 0$. Donc $\vec{AH} = \vec{AB} + 0\vec{u} = \vec{AB}$. $d(A, D) = ||\vec{AH}|| = ||\vec{AB}|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$. C'est logique, car la droite est l'axe $Oz$, le point $B$ est sur l'axe $Oy$, et le point $A$ est sur l'axe $Ox$. Le point le plus proche de $A(1,0,0)$ sur l'axe $Oz$ est l'origine $(0,0,0)$. La distance est $\sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = 1$. Mon exemple n'était pas bon pour illustrer le $t \neq 0$.

Reprenons avec $A(1,1,1)$ et $D$ passant par $B(0,0,0)$ avec $\vec{u}(1,0,0)$ (l'axe $Ox$).

1. $\vec{AB} = (-1, -1, -1)$.
2. $\vec{u} = (1, 0, 0)$.
3. $\vec{AB} \cdot \vec{u} = (-1)(1) + (-1)(0) + (-1)(0) = -1$.
4. $||\vec{u}||^2 = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1$.
5. $t = -\frac{-1}{1} = 1$.
6. $\vec{AH} = \vec{AB} + t\vec{u} = (-1, -1, -1) + 1(1, 0, 0) = (-1+1, -1+0, -1+0) = (0, -1, -1)$.
7. $d(A, D) = ||\vec{AH}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Le point $H$ est $B+t\vec{u} = (0,0,0) + 1(1,0,0) = (1,0,0)$. Ce qui est bien la projection du point $A(1,1,1)$ sur l'axe $Ox$. Et la distance de $(1,1,1)$ à $(1,0,0)$ est $\sqrt{(1-1)^2+(1-0)^2+(1-0)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$. La méthode fonctionne !