La convexite

La convexité est une propriété géométrique d'une courbe ou d'une fonction. Intuitivement, on peut la visualiser assez facilement.

Une fonction $f$ est dite convexe sur un intervalle si sa courbe représentative "ressemble à un bol tourné vers le haut". Cela signifie que si vous prenez deux points quelconques sur la courbe et que vous tracez le segment de droite qui les relie (appelé corde), ce segment sera toujours au-dessus ou sur la courbe.

• Exemple graphique d'une fonction convexe : La fonction $f(x) = x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Sa courbe est une parabole ouverte vers le haut. Si vous prenez deux points, le segment qui les joint est toujours au-dessus de la parabole.

Une fonction $f$ est dite concave sur un intervalle si sa courbe représentative "ressemble à un bol tourné vers le bas". Dans ce cas, si vous prenez deux points sur la courbe et que vous tracez le segment de droite qui les relie, ce segment sera toujours en-dessous ou sur la courbe.

• Exemple graphique d'une fonction concave : La fonction $f(x) = -x^2$ est concave sur $\mathbb{R}$. Sa courbe est une parabole ouverte vers le bas. Si vous prenez deux points, le segment qui les joint est toujours en-dessous de la parabole.

Attention : Souvent, on dit qu'une fonction est concave si son opposé est convexe. Il n'y a pas de "neutre" : une fonction est soit convexe, soit concave, soit ni l'un ni l'autre sur un intervalle donné.

Pour résumer :

• Courbe convexe : la courbe est "tournée vers le haut".
• Courbe concave : la courbe est "tournée vers le bas".

Le concept de convexité est étroitement lié à la dérivée seconde d'une fonction, ce qui en fait un outil puissant en analyse. Pour qu'une fonction puisse être étudiée avec la dérivée seconde, elle doit être deux fois dérivable sur l'intervalle considéré.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

• Si pour tout $x \in I$, $f''(x) \ge 0$, alors la fonction $f$ est convexe sur $I$.
• Si pour tout $x \in I$, $f''(x) \le 0$, alors la fonction $f$ est concave sur $I$.

L'interprétation graphique est simple :

• Lorsque $f''(x) > 0$, la pente de la tangente (donnée par $f'(x)$) est croissante. Cela signifie que la courbe "se redresse" de plus en plus, elle est tournée vers le haut.
• Lorsque $f''(x) < 0$, la pente de la tangente est décroissante. Cela signifie que la courbe "s'aplatit" ou "se courbe vers le bas", elle est tournée vers le bas.

Ce lien est fondamental car il nous donne une méthode algébrique pour déterminer la convexité d'une fonction sans avoir à tracer sa courbe ou à vérifier la position des cordes. Il suffit de calculer la dérivée seconde et d'étudier son signe.

Un point d'inflexion est un point très particulier sur la courbe d'une fonction. C'est là que la fonction change de convexité. C'est-à-dire qu'elle passe d'être convexe à concave, ou de concave à convexe.

Conditions pour un point d'inflexion en $x_0$ :

1. La fonction $f$ est deux fois dérivable au voisinage de $x_0$.
2. $f''(x_0) = 0$.
3. $f''(x)$ change de signe en $x_0$.

Si $f''(x_0) = 0$ mais que $f''(x)$ ne change pas de signe en $x_0$, alors ce n'est pas un point d'inflexion. Par exemple, pour $f(x) = x^4$, on a $f''(x) = 12x^2$. Donc $f''(0) = 0$, mais $f''(x) \ge 0$ partout, donc la fonction reste convexe et $(0,0)$ n'est pas un point d'inflexion.

Au niveau d'un point d'inflexion, la courbe traverse sa propre tangente. On parle de tangente traversante. C'est une caractéristique visuelle très forte d'un point d'inflexion.

• Méthode de recherche :
  1. Calculer $f''(x)$.
  2. Résoudre l'équation $f''(x) = 0$.
  3. Étudier le signe de $f''(x)$ autour des solutions trouvées. Si le signe change, alors il y a un point d'inflexion.
  4. Les coordonnées du point d'inflexion sont $(x_0, f(x_0))$.

L'inégalité de Jensen est une propriété fondamentale des fonctions convexes. Elle généralise l'idée que le milieu d'une corde est au-dessus de la courbe.

Pour une fonction $f$ convexe sur un intervalle $I$, et pour des points $x_1, x_2, \ldots, x_n$ dans $I$, et des coefficients réels positifs $p_1, p_2, \ldots, p_n$ tels que leur somme est égale à 1 (c'est-à-dire $\sum_{i=1}^n p_i = 1$), on a :

$f\left(\sum_{i=1}^n p_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^n p_i f(x_i)$

La somme $\sum_{i=1}^n p_i x_i$ est une combinaison linéaire des $x_i$, plus spécifiquement une moyenne pondérée des $x_i$. L'inégalité dit que l'image de la moyenne est inférieure ou égale à la moyenne des images.

• Cas particulier $n=2$ : Si $p_1 = \lambda$ et $p_2 = 1-\lambda$ avec $\lambda \in [0,1]$, alors : $f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \le \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$ Ceci signifie que pour tout point sur le segment $[x_1, x_2]$, son image par $f$ est inférieure ou égale à l'ordonnée du point correspondant sur la corde reliant $(x_1, f(x_1))$ et $(x_2, f(x_2))$. C'est la définition graphique de la convexité !

• Application aux probabilités : Si $X$ est une variable aléatoire et $f$ est convexe, alors $f(E[X]) \le E[f(X)]$. C'est une version continue de l'inégalité de Jensen, très utilisée en théorie des probabilités et en économie.

Si la fonction $f$ est concave, l'inégalité est inversée : $f\left(\sum_{i=1}^n p_i x_i\right) \ge \sum_{i=1}^n p_i f(x_i)$

Une propriété cruciale des fonctions convexes est leur position par rapport à toutes leurs tangentes.

• Si $f$ est convexe sur un intervalle $I$, alors sa courbe représentative est toujours au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle. Pour tout $x_0 \in I$, l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x_0$ est $T_{x_0}(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$. La propriété s'écrit : $f(x) \ge f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$ pour tout $x \in I$.

• Si $f$ est concave sur un intervalle $I$, alors sa courbe représentative est toujours en-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle. La propriété s'écrit : $f(x) \le f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$ pour tout $x \in I$.

Démonstration par la dérivée (idée) : Soit $g(x) = f(x) - (f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0))$. On veut montrer que $g(x) \ge 0$ si $f$ est convexe. On calcule $g'(x) = f'(x) - f'(x_0)$. On calcule $g''(x) = f''(x)$. Si $f$ est convexe, $f''(x) \ge 0$, donc $g''(x) \ge 0$. Cela signifie que $g'$ est croissante. De plus, $g'(x_0) = f'(x_0) - f'(x_0) = 0$. Puisque $g'$ est croissante et $g'(x_0)=0$, on a $g'(x) \le 0$ pour $x < x_0$ et $g'(x) \ge 0$ pour $x > x_0$. Donc $g$ est décroissante avant $x_0$ et croissante après $x_0$. Elle admet un minimum en $x_0$. Et $g(x_0) = f(x_0) - (f'(x_0)(x_0-x_0) + f(x_0)) = 0$. Puisque $g(x_0)$ est le minimum de $g$, alors $g(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$. CQFD.

Cette propriété est très utile pour démontrer des inégalités ou pour localiser une fonction par rapport à une droite.

La définition graphique initiale de la convexité est en fait une propriété de la position de la courbe par rapport à ses sécantes (les cordes).

• Si $f$ est convexe sur un intervalle $I$, alors pour tous points $x_1, x_2 \in I$ ($x_1 < x_2$), la courbe de $f$ est en-dessous ou sur le segment de droite (la corde) qui relie les points $(x_1, f(x_1))$ et $(x_2, f(x_2))$. C'est l'inégalité de la sécante ou l'inégalité de Jensen pour $n=2$.

• Si $f$ est concave sur un intervalle $I$, alors la courbe de $f$ est au-dessus ou sur le segment de droite (la corde) qui relie les points $(x_1, f(x_1))$ et $(x_2, f(x_2))$.

Cette propriété est la définition même de la convexité dans certains contextes et est intuitivement très parlante.

C'est la première étape cruciale. Pour une fonction $f$, vous devez :

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$.
2. Calculer la première dérivée $f'(x)$. Assurez-vous que $f$ est dérivable sur l'intervalle d'étude.
3. Calculer la seconde dérivée $f''(x)$ à partir de $f'(x)$. Assurez-vous que $f'$ est dérivable sur l'intervalle d'étude.

Méthode systématique :

• Exemple : Soit $f(x) = x^4 - 6x^2 + 1$.
  1. $D_f = \mathbb{R}$.
  2. $f'(x) = 4x^3 - 12x$.
  3. $f''(x) = 12x^2 - 12$.

Erreurs courantes :

• Erreurs de calcul des dérivées (surtout avec les règles de dérivation : produit, quotient, chaîne).
• Oublier de vérifier le domaine de définition et de dérivabilité. Une fonction n'est pas forcément deux fois dérivable partout où elle est définie. Par exemple, $f(x) = x^{4/3}$ est définie sur $\mathbb{R}$, mais $f'(x) = \frac{4}{3}x^{1/3}$ n'est pas dérivable en 0, donc $f''(x)$ n'est pas définie en 0.

Une fois que vous avez calculé $f''(x)$, l'étape suivante est d'étudier son signe sur le domaine de définition de $f''$.

1. Résoudre $f''(x) = 0$ : Les solutions de cette équation sont des "candidats" pour les points d'inflexion et délimitent les intervalles où le signe de $f''(x)$ pourrait changer.
2. Créer un tableau de signes pour $f''(x)$ :
   • Placez les valeurs de $x$ qui annulent $f''(x)$ dans la première ligne.
   • Choisissez des valeurs test dans chaque intervalle délimité par ces racines et calculez le signe de $f''(x)$.
   • Déduisez la convexité de $f$ :
     • Si $f''(x) \ge 0$ sur un intervalle, $f$ est convexe sur cet intervalle.
     • Si $f''(x) \le 0$ sur un intervalle, $f$ est concave sur cet intervalle.

• Exemple (suite) : $f''(x) = 12x^2 - 12$.
  1. $12x^2 - 12 = 0 \implies 12(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1$ ou $x = 1$.
  2. Tableau de signes :

• Intervalles de convexité : $f$ est convexe sur $]-\infty, -1]$ et sur $[1, +\infty[$.
• Intervalles de concavité : $f$ est concave sur $[-1, 1]$.

Comme vu précédemment, les points d'inflexion sont les points où la courbe change de convexité.

1. Résoudre $f''(x) = 0$ : Cela vous donne les abscisses $x_0$ potentielles des points d'inflexion.
2. Vérifier le changement de signe de $f''(x)$ autour de chaque $x_0$. Si le signe de $f''(x)$ change (par exemple, de $+$ à $-$ ou de $-$ à $+$), alors $x_0$ est bien l'abscisse d'un point d'inflexion.
3. Calculer les coordonnées complètes : Pour chaque $x_0$ qui est une abscisse de point d'inflexion, calculez $f(x_0)$ pour obtenir l'ordonnée du point. Le point d'inflexion est $(x_0, f(x_0))$.

• Exemple (suite) :
  • $f''(x) = 0$ pour $x = -1$ et $x = 1$.
  • En $x = -1$, $f''(x)$ passe de $+$ à $-$. Il y a un changement de convexité. $f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 + 1 = 1 - 6 + 1 = -4$. Le premier point d'inflexion est $I_1(-1, -4)$.
  • En $x = 1$, $f''(x)$ passe de $-$ à $+$. Il y a un changement de convexité. $f(1) = (1)^4 - 6(1)^2 + 1 = 1 - 6 + 1 = -4$. Le second point d'inflexion est $I_2(1, -4)$.

La convexité est un outil puissant pour la recherche d'extrema (minimums ou maximums) d'une fonction.

• Minimum global pour fonction convexe : Si une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$, alors tout minimum local de $f$ sur $I$ est nécessairement un minimum global sur $I$. Si $f$ est strictement convexe, ce minimum global est unique. Cela simplifie énormément la recherche de minimum : si vous trouvez un point où la dérivée s'annule et que la fonction est convexe, vous avez trouvé le minimum absolu.

• Maximum global pour fonction concave : De manière similaire, si une fonction $f$ est concave sur un intervalle $I$, alors tout maximum local de $f$ sur $I$ est nécessairement un maximum global sur $I$. Si $f$ est strictement concave, ce maximum global est unique.

Cette propriété est fondamentale en optimisation, car elle garantit que les méthodes de recherche d'extrema locaux (comme l'annulation de la dérivée première) mènent directement aux extrema globaux.

La convexité enrichit considérablement l'étude du tracé de courbes et la compréhension du comportement asymptotique d'une fonction.

• Précision du graphique : Connaître les intervalles de convexité/concavité permet de dessiner une courbe plus précise et plus fidèle à la réalité. Les points d'inflexion sont des "cassures" dans la courbure, et les représenter correctement est essentiel.
• Comportement global : La convexité donne une idée de la "forme" générale de la fonction. Par exemple, une fonction toujours convexe aura une allure de "cuvette", même si elle monte et descend localement.
• Informations supplémentaires : Combinée avec l'étude des variations (signe de $f'(x)$) et les limites (comportement asymptotique), la convexité offre une précision du graphique inégalée et une compréhension approfondie de la fonction.

La convexité est un concept très présent dans le monde réel.

• Économie (rendements) :

  • En microéconomie, la fonction de production (qui décrit la relation entre les intrants et la production) peut être concave, reflétant des rendements marginaux décroissants. Cela signifie que chaque unité supplémentaire d'intrant ajoute de moins en moins à la production totale.
  • Les fonctions d'utilité (qui mesurent la satisfaction d'un consommateur) sont souvent considérées comme concaves, modélisant l'idée que l'utilité marginale d'un bien décroît à mesure que sa consommation augmente.
  • Les coûts de production peuvent être modélisés par des fonctions convexes, indiquant que les coûts augmentent de plus en plus vite à mesure que la production s'intensifie.

• Physique (énergie potentielle) :

  • En physique, les puits de potentiel, qui représentent l'énergie potentielle d'un système, sont souvent modélisés par des fonctions convexes. Le minimum de cette fonction correspond à une position d'équilibre stable (par exemple, une bille au fond d'un bol).

• Modélisation :

  • Dans l'optimisation de processus industriels, la planification logistique, la gestion de portefeuille financier, la conception de structures, la convexité est utilisée pour garantir que les algorithmes d'optimisation trouvent des solutions optimales globales et pour modéliser des contraintes ou des objectifs de manière réaliste.
  • Par exemple, dans la conception d'un pont, les fonctions décrivant la résistance des matériaux sous charge peuvent être étudiées pour s'assurer de leur convexité ou concavité afin de garantir la stabilité et d'optimiser l'utilisation des matériaux.

La convexité est donc un outil mathématique puissant qui dépasse largement le cadre des mathématiques pures pour s'appliquer à des situations très concrètes et variées. Maîtriser ce concept vous ouvre les portes d'une meilleure compréhension de nombreux phénomènes et problèmes d'optimisation.