Les lois discretes

En probabilité, une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude. Par exemple, lancer un dé, tirer une carte d'un jeu, ou observer le sexe d'un nouveau-né sont des expériences aléatoires.

L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé l'univers des possibles, souvent noté $\Omega$.

Une variable aléatoire discrète (V.A.D.) est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'univers des possibles. Le terme "discrète" signifie que l'ensemble des valeurs que peut prendre cette variable est fini ou dénombrable (on peut les "compter").

Exemples :

1. Lancer d'un dé équilibré à 6 faces :

   • Expérience aléatoire : Lancer un dé.
   • Univers des possibles $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
   • Variable aléatoire $X$ : Le résultat du lancer.
   • Les valeurs prises par la variable $X$ sont $x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. C'est une variable aléatoire discrète.

2. Lancer de deux pièces de monnaie :

   • Expérience aléatoire : Lancer deux pièces de monnaie.
   • Univers des possibles $\Omega = \{(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)\}$, où P=Pile, F=Face.
   • Variable aléatoire $Y$ : Le nombre de "Pile" obtenus.
   • Les valeurs prises par la variable $Y$ sont $y_i \in \{0, 1, 2\}$. C'est une variable aléatoire discrète.

3. Nombre d'appels reçus par un centre d'appels en une heure :

   • Expérience aléatoire : Observer les appels pendant une heure.
   • Univers des possibles : un nombre entier, potentiellement très grand, mais toujours un nombre entier.
   • Variable aléatoire $Z$ : Le nombre d'appels.
   • Les valeurs prises par la variable $Z$ sont $z_i \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$. C'est une variable aléatoire discrète (dénombrable).

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète $X$ décrit la manière dont la probabilité est répartie sur les différentes valeurs que $X$ peut prendre. En d'autres termes, elle associe à chaque valeur $x_i$ que $X$ peut prendre, la probabilité $P(X=x_i)$ que $X$ prenne cette valeur.

Pour définir une loi de probabilité, il faut :

1. Lister toutes les valeurs possibles $x_i$ prises par la variable aléatoire $X$.
2. Pour chaque $x_i$, déterminer la probabilité $P(X=x_i)$.

Ces informations sont souvent présentées dans un tableau de loi de probabilité.

Conditions essentielles pour une loi de probabilité :

• Pour chaque valeur $x_i$, la probabilité $p_i = P(X=x_i)$ doit être comprise entre 0 et 1 : $0 \le p_i \le 1$.
• La somme des probabilités de toutes les valeurs possibles doit être égale à 1 : $\sum_{i=1}^{k} p_i = p_1 + p_2 + ... + p_k = 1$.

Exemple (suite du lancer de deux pièces) : Variable aléatoire $Y$ : nombre de "Pile" obtenus. Valeurs possibles : $\{0, 1, 2\}$.

• $P(Y=0)$ : Pas de Pile (FF). $P(FF) = \frac{1}{4}$.
• $P(Y=1)$ : Un Pile (PF ou FP). $P(PF) + P(FP) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
• $P(Y=2)$ : Deux Piles (PP). $P(PP) = \frac{1}{4}$.

Le tableau de loi de probabilité de $Y$ est :

Vérification : $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$. La somme est bien égale à 1.

Une représentation graphique de la loi de probabilité peut être réalisée à l'aide d'un diagramme en bâtons, où chaque bâton correspond à une valeur $x_i$ et sa hauteur à la probabilité $P(X=x_i)$.

Une fois la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ établie, nous pouvons calculer diverses probabilités liées à $X$.

• Probabilité ponctuelle $P(X=k)$ : C'est la probabilité que la variable $X$ prenne exactement la valeur $k$. Cette valeur est directement lue dans le tableau de la loi de probabilité.

  • Exemple : $P(Y=1) = \frac{1}{2}$.

• Probabilité cumulative $P(X \le k)$ : C'est la probabilité que la variable $X$ prenne une valeur inférieure ou égale à $k$. On l'obtient en sommant les probabilités des valeurs $x_i \le k$.

  • $P(X \le k) = \sum_{x_i \le k} P(X=x_i)$.
  • Exemple : $P(Y \le 1) = P(Y=0) + P(Y=1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

• Probabilité "supérieure" $P(X > k)$ : C'est la probabilité que la variable $X$ prenne une valeur strictement supérieure à $k$. On peut la calculer en sommant les probabilités des valeurs $x_i > k$, ou plus efficacement en utilisant l'événement complémentaire :

  • $P(X > k) = 1 - P(X \le k)$.
  • Exemple : $P(Y > 1) = P(Y=2) = \frac{1}{4}$. Ou $P(Y > 1) = 1 - P(Y \le 1) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

• Probabilité d'un intervalle $P(a \le X \le b)$ : C'est la probabilité que $X$ prenne une valeur comprise entre $a$ et $b$ (inclus). On somme les probabilités des valeurs $x_i$ telles que $a \le x_i \le b$.

  • $P(a \le X \le b) = \sum_{a \le x_i \le b} P(X=x_i)$.
  • Exemple : $P(0 \le Y \le 2) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$. (C'est la somme de toutes les probabilités, ce qui est logique).

L'espérance d'une variable aléatoire discrète $X$, notée $E(X)$, est la valeur moyenne que l'on s'attend à obtenir si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois. On peut la considérer comme le "centre de gravité" de la distribution des probabilités.

La définition de l'espérance est donnée par la formule : $E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot P(X=x_i) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + ... + x_k p_k$ où $x_i$ sont les valeurs prises par $X$ et $p_i = P(X=x_i)$ sont leurs probabilités respectives.

L'interprétation de l'espérance est celle d'une moyenne à long terme. Si $X$ représente un gain ou une perte, l'espérance $E(X)$ représente le gain (ou la perte) moyen par expérience sur un grand nombre de répétitions. C'est un indicateur de la tendance centrale.

Calcul de l'espérance (suite de l'exemple Y) : Pour la variable $Y$ (nombre de "Pile" en deux lancers) :

$E(Y) = (0 \cdot \frac{1}{4}) + (1 \cdot \frac{1}{2}) + (2 \cdot \frac{1}{4}) = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ L'espérance du nombre de Piles est de 1. C'est logique, on s'attend en moyenne à obtenir un Pile sur deux lancers.

La linéarité de l'espérance est une propriété très utile : Pour toute variable aléatoire $X$ et toutes constantes réelles $a$ et $b$ : $E(aX+b) = aE(X) + b$ Ceci signifie que l'espérance d'une transformation linéaire de $X$ est la transformation linéaire de l'espérance de $X$.

Alors que l'espérance nous renseigne sur la valeur moyenne, la variance et l'écart-type nous informent sur la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de cette moyenne.

La définition de la variance d'une variable aléatoire discrète $X$, notée $V(X)$ ou $\sigma^2(X)$, est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. Elle mesure à quel point les valeurs $x_i$ sont éloignées de $E(X)$ en moyenne. $V(X) = E((X - E(X))^2) = \sum_{i=1}^{k} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X=x_i)$ Le calcul direct avec cette formule peut être laborieux. Une formule plus pratique, la formule de Koenig-Huygens, est souvent utilisée : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ où $E(X^2) = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 \cdot P(X=x_i)$.

L'écart-type d'une variable aléatoire discrète $X$, noté $\sigma(X)$, est simplement la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ L'interprétation de l'écart-type est qu'il donne une mesure de la dispersion des valeurs de $X$ dans la même unité que $X$ et son espérance. Un petit écart-type signifie que les valeurs sont généralement proches de l'espérance, tandis qu'un grand écart-type indique une plus grande dispersion.

Calcul de la variance et de l'écart-type (suite de l'exemple Y) : On a $E(Y)=1$. Calculons $E(Y^2)$ : $E(Y^2) = (0^2 \cdot \frac{1}{4}) + (1^2 \cdot \frac{1}{2}) + (2^2 \cdot \frac{1}{4}) = (0 \cdot \frac{1}{4}) + (1 \cdot \frac{1}{2}) + (4 \cdot \frac{1}{4}) = 0 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1.5$ Maintenant, appliquons la formule de Koenig-Huygens pour la variance : $V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 1.5 - (1)^2 = 1.5 - 1 = 0.5$ Enfin, l'écart-type : $\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$

Ces propriétés sont très importantes pour simplifier les calculs lorsque la variable aléatoire subit une transformation linéaire. Soit $X$ une variable aléatoire et $a, b$ des constantes réelles.

• Espérance d'une transformation affine : $E(aX+b) = aE(X) + b$ C'est la propriété de linéarité de l'espérance vue précédemment.

• Variance d'une transformation affine : $V(aX+b) = a^2 V(X)$ Notez que l'ajout d'une constante $b$ ne change pas la dispersion des valeurs (cela déplace simplement la distribution), donc $b$ n'apparaît pas dans la formule de la variance. La multiplication par $a$ étire la distribution, multipliant la variance par $a^2$.

• Écart-type d'une transformation affine : $\sigma(aX+b) = \sqrt{a^2 V(X)} = |a| \sigma(X)$ L'écart-type est toujours positif, d'où la valeur absolue $|a|$.

Ces propriétés sont cruciales pour les applications aux transformations affines. Par exemple, si $X$ est une température en Celsius et que vous la convertissez en Fahrenheit ($F = 1.8C + 32$), vous pouvez facilement trouver l'espérance et l'écart-type en Fahrenheit à partir de ceux en Celsius.

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles :

• Un succès (souvent noté S), avec une probabilité $p$.
• Un échec (souvent noté E ou $\bar{S}$), avec une probabilité $1-p$. Le paramètre $p$ est la probabilité de succès, et il doit être compris entre 0 et 1 ($0 \le p \le 1$).

La loi de Bernoulli B(p) est la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. Son tableau de loi est :

Exemples :

• Lancer d'une pièce : "Pile" est un succès ($p=0.5$), "Face" est un échec ($1-p=0.5$).
• Réussite à un examen : "Réussite" est un succès ($p$ dépend de l'étudiant), "Échec" est un échec.
• Pièce défectueuse : "Défectueuse" est un succès (si on s'intéresse aux défectueux, $p$ est la proportion de pièces défectueuses), "Non défectueuse" est un échec.

Caractéristiques de la loi de Bernoulli B(p) :

• Espérance : $E(X) = (0 \cdot (1-p)) + (1 \cdot p) = p$
• Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = (0^2 \cdot (1-p)) + (1^2 \cdot p) - p^2 = p - p^2 = p(1-p)$
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}$

Un schéma de Bernoulli est constitué de la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

• Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli : On réalise la même expérience $n$ fois.
• Indépendance des épreuves : Le résultat d'une épreuve n'influence pas le résultat des autres.

Si $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus au cours de ces $n$ épreuves, alors $X$ suit une loi binomiale, notée $B(n,p)$.

• $n$ est le nombre de répétitions (nombre d'épreuves).
• $p$ est la probabilité de succès pour une seule épreuve.

Les valeurs que peut prendre $X$ sont les entiers de 0 à $n$ : $\{0, 1, 2, ..., n\}$.

Exemple : On lance 10 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de "Pile" obtenus.

• Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli (succès="Pile", $p=0.5$).
• Les lancers sont indépendants.
• Il y a $n=10$ lancers.
• Donc $X$ suit une loi binomiale $B(10, 0.5)$.

La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès en $n$ épreuves pour une variable aléatoire $X \sim B(n,p)$ est donnée par la formule : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ où :

• $\binom{n}{k}$ (lu "k parmi n") est le coefficient binomial, qui représente le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ épreuves. Il est calculé par $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• $p^k$ est la probabilité d'obtenir $k$ succès.
• $(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d'obtenir $n-k$ échecs.

Exemple (suite de la pièce lancée 10 fois) : Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 "Pile" en 10 lancers ($X \sim B(10, 0.5)$, $k=3$)? $P(X=3) = \binom{10}{3} (0.5)^3 (1-0.5)^{10-3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} (0.5)^3 (0.5)^7$ $P(X=3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times (0.5)^{10} = 120 \times (0.5)^{10} = 120 \times 0.0009765625 \approx 0.117$

L'utilisation de la calculatrice est fortement recommandée pour calculer ces probabilités, surtout pour des valeurs de $n$ élevées. La plupart des calculatrices scientifiques et graphiques possèdent des fonctions dédiées à la loi binomiale :

• binompdf(n, p, k) pour calculer $P(X=k)$.
• binomcdf(n, p, k) pour calculer $P(X \le k)$.

Pour calculer d'autres types de probabilités :

• $P(X \le k)$ : utiliser directement binomcdf(n, p, k).
• $P(X > k) = 1 - P(X \le k)$.
• $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$.
• $P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a-1)$.

Les caractéristiques de la loi binomiale $B(n,p)$ sont remarquablement simples :

• Espérance : $E(X) = np$ L'interprétation est intuitive : si vous répétez $n$ fois une épreuve avec une probabilité $p$ de succès, vous vous attendez en moyenne à $np$ succès. Exemple : 10 lancers de pièce ($n=10, p=0.5$), $E(X) = 10 \times 0.5 = 5$. On s'attend à 5 Piles.

• Variance : $V(X) = np(1-p)$ C'est $n$ fois la variance d'une seule épreuve de Bernoulli.

• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ L'écart-type mesure la dispersion du nombre de succès autour de l'espérance.

Ces formules sont extrêmement utiles car elles évitent de longs calculs et donnent une compréhension rapide des propriétés de la loi.

La première étape de la modélisation consiste à choisir la loi appropriée. Pour la loi binomiale, il faut vérifier si la situation satisfait les conditions du schéma de Bernoulli :

1. L'expérience est-elle une répétition d'épreuves identiques ?
2. Chaque épreuve a-t-elle seulement deux issues (succès/échec) ?
3. La probabilité de succès $p$ est-elle constante pour chaque épreuve ?
4. Les épreuves sont-elles indépendantes ?

Si oui, on peut définir la variable aléatoire $X$ comme le nombre de succès et identifier les paramètres $n$ (nombre d'épreuves) et $p$ (probabilité de succès).

Exemple de modélisation : Une usine produit des ampoules. On sait que 5% des ampoules sont défectueuses. On prélève au hasard un échantillon de 20 ampoules pour un contrôle qualité. Soit $X$ le nombre d'ampoules défectueuses dans l'échantillon.

1. Épreuve de Bernoulli : Une ampoule est défectueuse (succès) ou non (échec).
2. Probabilité de succès : $p = 0.05$.
3. Nombre d'épreuves : $n = 20$.
4. Indépendance : Le fait qu'une ampoule soit défectueuse est indépendant des autres (en supposant un grand stock). Donc, $X$ suit une loi binomiale $B(20, 0.05)$. On peut alors calculer la probabilité d'avoir 0, 1, 2... ampoules défectueuses, l'espérance du nombre d'ampoules défectueuses ($E(X) = 20 \times 0.05 = 1$), etc.

Les lois de probabilité sont fondamentales pour la prise de décision. En comparant une observation à ce que prédit une loi, on peut juger si l'observation est "normale" ou "exceptionnelle".

• Seuils de probabilité : On peut fixer un seuil (par exemple, 5% ou 1%) pour considérer qu'un événement est "rare". Si la probabilité d'observer un certain événement est inférieure à ce seuil, on pourra remettre en question l'hypothèse de départ (par exemple, que la machine fonctionne correctement).

• Intervalles de fluctuation : Pour une loi binomiale, on peut construire un intervalle qui contient, avec une forte probabilité (par exemple 95% ou 99%), le nombre de succès attendu. Si une observation tombe en dehors de cet intervalle, on a des raisons de douter du modèle.

  • Un intervalle de fluctuation à 95% pour une loi binomiale $B(n,p)$ est un intervalle $[a, b]$ tel que $P(X \le a-1) \le 0.025$ et $P(X \le b) \ge 0.975$.
  • Ces intervalles sont utilisés pour des tests d'hypothèses (introduction au concept) : on pose une hypothèse (par exemple, $p=0.05$), on calcule l'intervalle de fluctuation, et si l'observation est en dehors, on rejette l'hypothèse.

Exemple (suite des ampoules) : Si on observe 5 ampoules défectueuses dans l'échantillon de 20, est-ce que cela remet en question le taux de 5% ? $P(X=5)$ pour $B(20, 0.05)$ est très faible. $E(X)=1$. On s'attend à 1 défectueuse. Observer 5 est déjà assez éloigné de l'espérance. En calculant $P(X \ge 5)$ avec la calculatrice : $1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0.9974 = 0.0026$. Cette probabilité (0.26%) est très faible. Si on a un seuil de 5%, on pourrait conclure que l'hypothèse que le taux de défectuosité est de 5% est probablement fausse, et que la production a un problème. C'est le principe du risque d'erreur : on prend une décision avec un certain risque de se tromper.

Les calculs de probabilités, d'espérance et de variance peuvent être complexes, surtout pour la loi binomiale avec de grandes valeurs de $n$. Les outils numériques sont indispensables :

• Calculatrices graphiques (comme celles de Texas Instruments ou Casio) : Elles intègrent des fonctions spécifiques pour les lois binomiales (binompdf, binomcdf) qui calculent rapidement les probabilités.
• Logiciels de tableur (Excel, LibreOffice Calc) : Ils ont des fonctions équivalentes (LOI.BINOMIALE.N). Ils sont également utiles pour créer des tableaux de lois et des représentations graphiques.
• Logiciels de statistiques (R, Python avec NumPy/SciPy) : Permettent des calculs plus avancés, des simulations et des visualisations complexes.

La simulation d'expériences aléatoires est aussi un excellent moyen de comprendre ces lois. En simulant un grand nombre de fois une expérience (par exemple, 10000 lancers de 10 pièces), on peut observer que les fréquences des succès se rapprochent des probabilités théoriques de la loi binomiale. Cela renforce l'interprétation des paramètres et la validité du modèle.

La représentation graphique des lois (diagramme en bâtons) aide à visualiser la distribution des probabilités et à comprendre la forme de la loi. Pour la loi binomiale, on observe souvent une forme de "cloche" qui devient plus symétrique à mesure que $n$ augmente.

En maîtrisant ces concepts et outils, vous serez bien préparé pour aborder des problèmes de probabilité plus complexes et pour utiliser les statistiques dans de nombreux domaines.