Primitives et equations differentielles

En mathématiques, la notion de primitive est l'opération inverse de la dérivation. Si vous savez dériver une fonction, trouver sa primitive, c'est remonter le chemin !

Définition d'une primitive : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

Lien avec la dérivation : Le lien est fondamental : dériver $F(x)$ donne $f(x)$, et trouver une primitive de $f(x)$ c'est chercher une fonction $F(x)$ dont la dérivée est $f(x)$.

Constante d'intégration : C'est un point crucial : si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$, alors $F(x) + C$ est aussi une primitive de $f(x)$ pour toute constante réelle $C$. Pourquoi ? Parce que la dérivée d'une constante est toujours zéro : $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$. Cela signifie qu'une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante.

Notation $F(x)$ et $f(x)$ : Traditionnellement, on utilise :

• $f(x)$ pour la fonction dont on cherche la primitive.
• $F(x)$ pour une de ses primitives.
• $f'(x)$ pour la dérivée de $f(x)$.

Exemple : Si $f(x) = 2x$, alors $F(x) = x^2$ est une primitive car $(x^2)' = 2x$. Mais $F(x) = x^2 + 5$ est aussi une primitive car $(x^2 + 5)' = 2x$. La primitive générale de $2x$ est donc $x^2 + C$.

Connaître les primitives des fonctions de base est essentiel. C'est le miroir des formules de dérivation que vous connaissez déjà.

Exemples :

• Primitive de $f(x) = x^3$: $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$.
• Primitive de $f(x) = \sin(x)$: $F(x) = -\cos(x) + C$.
• Primitive de $f(x) = e^x$: $F(x) = e^x + C$.
• Primitive de $f(x) = \frac{1}{x}$: $F(x) = \ln|x| + C$. Attention aux valeurs absolues !

Les primitives sont "linéaires", ce qui simplifie grandement leur calcul pour des fonctions complexes.

1. Primitive d'une somme : La primitive d'une somme de fonctions est la somme des primitives de chaque fonction. Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$. En notation : $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$. Ceci signifie que vous pouvez trouver les primitives de chaque terme séparément, puis les additionner.

2. Primitive d'un produit par une constante : La primitive d'une fonction multipliée par une constante est la constante multipliée par la primitive de la fonction. Si $F$ est une primitive de $f$ et $k$ est une constante réelle, alors $kF$ est une primitive de $kf$. En notation : $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$. Vous pouvez "sortir" les constantes de l'opération de primitivation.

3. Combinaisons linéaires de primitives : Ces deux propriétés peuvent être combinées : $\int (k \cdot f(x) + m \cdot g(x)) dx = k \cdot \int f(x) dx + m \cdot \int g(x) dx$.

Exemple : Trouver une primitive de $f(x) = 3x^2 - 2\sin(x) + 5$. $F(x) = \int 3x^2 dx - \int 2\sin(x) dx + \int 5 dx$ $F(x) = 3 \int x^2 dx - 2 \int \sin(x) dx + 5 \int 1 dx$ $F(x) = 3 \left(\frac{x^3}{3}\right) - 2 (-\cos(x)) + 5x + C$ $F(x) = x^3 + 2\cos(x) + 5x + C$.

C'est une technique essentielle qui consiste à reconnaître des formes dérivées usuelles. On "lit à l'envers" les formules de dérivation des fonctions composées.

1. Reconnaissance de formes $u'u^n$ : On sait que la dérivée de $u^{n+1}$ est $(n+1)u'u^n$. Donc, la primitive de $u'u^n$ est $\frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ (pour $n \neq -1$). Exemple : Trouver une primitive de $f(x) = (2x+1)^3 \cdot 2$. Ici, on peut poser $u(x) = 2x+1$, donc $u'(x) = 2$. La fonction est de la forme $u'u^3$. Sa primitive est $\frac{u^{3+1}}{3+1} + C = \frac{(2x+1)^4}{4} + C$.

2. Reconnaissance de formes $u'/u$ : On sait que la dérivée de $\ln|u|$ est $\frac{u'}{u}$. Donc, la primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln|u| + C$. Exemple : Trouver une primitive de $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$. Posons $u(x) = x^2+1$, alors $u'(x) = 2x$. La fonction est de la forme $\frac{u'}{u}$. Sa primitive est $\ln|x^2+1| + C$. Comme $x^2+1$ est toujours positif, on peut écrire $\ln(x^2+1) + C$.

3. Reconnaissance de formes $u'e^u$ : On sait que la dérivée de $e^u$ est $u'e^u$. Donc, la primitive de $u'e^u$ est $e^u + C$. Exemple : Trouver une primitive de $f(x) = (2x)e^{x^2}$. Posons $u(x) = x^2$, alors $u'(x) = 2x$. La fonction est de la forme $u'e^u$. Sa primitive est $e^{x^2} + C$.

Ces formes sont très courantes et il est crucial de les maîtriser. La clé est d'identifier la fonction $u(x)$ et de vérifier si $u'(x)$ est présente (ou un multiple de $u'(x)$).

Cette technique est une application directe de la reconnaissance des formes $u(ax+b)$. C'est très utile lorsque l'argument de la fonction est une expression affine.

1. Identification de la forme $u'(ax+b)$ : Si vous avez une fonction de la forme $f(ax+b)$, et que vous connaissez une primitive $F$ de $f$, alors une primitive de $f(ax+b)$ est $\frac{1}{a}F(ax+b)$. Pourquoi ? Dérivons $\frac{1}{a}F(ax+b)$ : $\left(\frac{1}{a}F(ax+b)\right)' = \frac{1}{a} \cdot F'(ax+b) \cdot a = F'(ax+b) = f(ax+b)$.

2. Application de la formule de primitive :

   • Primitive de $(ax+b)^n$ ($n \neq -1$) : $\frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
   • Primitive de $\frac{1}{ax+b}$ : $\frac{1}{a} \ln|ax+b| + C$.
   • Primitive de $e^{ax+b}$ : $\frac{1}{a} e^{ax+b} + C$.
   • Primitive de $\cos(ax+b)$ : $\frac{1}{a} \sin(ax+b) + C$.
   • Primitive de $\sin(ax+b)$ : $-\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C$.

3. Exemples avec fonctions affines :

   • Trouver une primitive de $f(x) = (3x-2)^4$. Ici, $a=3$, $b=-2$, $n=4$. $F(x) = \frac{1}{3} \frac{(3x-2)^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{3} \frac{(3x-2)^5}{5} + C = \frac{1}{15}(3x-2)^5 + C$.
   • Trouver une primitive de $f(x) = e^{-2x+1}$. Ici, $a=-2$, $b=1$. $F(x) = \frac{1}{-2} e^{-2x+1} + C = -\frac{1}{2} e^{-2x+1} + C$.
   • Trouver une primitive de $f(x) = \frac{1}{5x+4}$. Ici, $a=5$, $b=4$. $F(x) = \frac{1}{5} \ln|5x+4| + C$.

Cette section approfondit la "lecture inverse" et la reconnaissance de formes complexes.

1. Forme $u'e^u$ : Si vous avez une fonction de la forme $u'(x)e^{u(x)}$, sa primitive est $e^{u(x)} + C$. Exemple : Trouver une primitive de $f(x) = (2x+3)e^{x^2+3x-1}$. Posons $u(x) = x^2+3x-1$. Alors $u'(x) = 2x+3$. On reconnaît la forme $u'e^u$. Donc, $F(x) = e^{x^2+3x-1} + C$.

2. Forme $u'/u$ : Si vous avez une fonction de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$, sa primitive est $\ln|u(x)| + C$. Exemple : Trouver une primitive de $f(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$. Posons $u(x) = \sin(x)$. Alors $u'(x) = \cos(x)$. On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$. Donc, $F(x) = \ln|\sin(x)| + C$.

3. Forme $u'\cos(u)$ et $u'\sin(u)$ : Si vous avez $u'(x)\cos(u(x))$, sa primitive est $\sin(u(x)) + C$. Si vous avez $u'(x)\sin(u(x))$, sa primitive est $-\cos(u(x)) + C$. Exemple : Trouver une primitive de $f(x) = 2x\cos(x^2)$. Posons $u(x) = x^2$. Alors $u'(x) = 2x$. On reconnaît la forme $u'\cos(u)$. Donc, $F(x) = \sin(x^2) + C$.

Astuce : Ces formes ne sont pas toujours évidentes. Parfois, il faut multiplier et diviser par une constante pour obtenir la forme $u'$ exacte. Exemple : Primitive de $f(x) = x e^{x^2}$. On aimerait avoir $2x e^{x^2}$ pour la forme $u'e^u$ avec $u(x)=x^2$. On écrit $f(x) = \frac{1}{2} \cdot (2x) e^{x^2}$. Maintenant on a $\frac{1}{2} u'e^u$. Donc $F(x) = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$.

Comme nous l'avons vu, une fonction admet une infinité de primitives. Pour en déterminer une unique, il faut une information supplémentaire : une condition initiale.

1. Détermination de la constante d'intégration : Si l'on vous demande de trouver LA primitive $F$ d'une fonction $f$ qui passe par un point donné $(x_0, y_0)$, cela signifie que $F(x_0) = y_0$. Vous commencez par trouver la forme générale de la primitive $F(x) + C$. Ensuite, vous remplacez $x$ par $x_0$ et $F(x)$ par $y_0$ dans l'expression $F(x_0) = y_0$ pour trouver la valeur de $C$.

2. Problème de Cauchy : ==Un problème de Cauchy en calcul de primitives consiste à trouver une primitive $F$ de $f$ telle que $F(x_0) = y_0$.== C'est une condition initiale qui garantit l'unicité de la primitive.

3. Exemples d'application :

   • Trouver la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ telle que $F(1) = 5$.

     1. On trouve la primitive générale de $f(x) = 3x^2$: $F(x) = 3 \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C$.
     2. On utilise la condition initiale $F(1) = 5$: $1^3 + C = 5$ $1 + C = 5$ $C = 4$.
     3. La primitive cherchée est donc $F(x) = x^3 + 4$.

   • Trouver la primitive $G$ de $g(x) = e^{2x}$ telle que $G(0) = 1$.

     1. Primitive générale de $g(x) = e^{2x}$: $G(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.
     2. Condition initiale $G(0) = 1$: $\frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} + C = 1$ $\frac{1}{2}e^0 + C = 1$ $\frac{1}{2} \cdot 1 + C = 1$ $C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
     3. La primitive cherchée est $G(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}$.

1. Définition d'une équation différentielle : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui contient au moins une des dérivées de cette fonction. Exemples : $y' = 2y$, $y'' + 3y' + 2y = 0$, $y' - xy = \sin(x)$.

2. Fonction inconnue et ses dérivées : Généralement, la fonction inconnue est notée $y(x)$ (ou simplement $y$). Ses dérivées sont $y'$, $y''$, etc.

3. Ordre d'une équation différentielle : L'ordre d'une équation différentielle est le degré de la plus haute dérivée qui y apparaît.

   • $y' = 2y$ est d'ordre 1.
   • $y'' + 3y' + 2y = 0$ est d'ordre 2.
   • $y''' - y' = e^x$ est d'ordre 3.

4. Solution d'une équation différentielle : Une solution d'une équation différentielle sur un intervalle $I$ est une fonction $y(x)$ qui, lorsqu'elle est substituée dans l'équation avec ses dérivées, rend l'égalité vraie pour tout $x \in I$. Trouver les solutions d'une équation différentielle s'appelle résoudre l'équation différentielle.

Ce sont les équations différentielles les plus simples. Résoudre $y' = f(x)$, c'est simplement trouver les primitives de $f(x)$.

1. Résolution par recherche de primitive : Si l'équation différentielle est de la forme $y' = f(x)$, alors les solutions $y(x)$ sont les primitives de $f(x)$. Donc, $y(x) = F(x) + C$, où $F$ est une primitive de $f$ et $C$ est une constante réelle.

2. Solution générale : L'ensemble de toutes les solutions est appelé la solution générale de l'équation différentielle. Elle contient toujours une constante d'intégration $C$.

3. Exemples simples :

   • Résoudre $y' = 2x$. Les solutions sont les primitives de $2x$. $y(x) = x^2 + C$.
   • Résoudre $y' = \cos(x)$. Les solutions sont les primitives de $\cos(x)$. $y(x) = \sin(x) + C$.
   • Résoudre $y' = e^{-x}$. Les solutions sont les primitives de $e^{-x}$. $y(x) = -e^{-x} + C$.

Comme pour les primitives, la constante d'intégration $C$ peut être déterminée si une condition initiale est donnée.

1. Condition initiale : Une condition initiale spécifie la valeur de la fonction à un point donné, par exemple $y(x_0) = y_0$.

2. Détermination de la solution particulière : Pour trouver une solution spécifique (appelée solution particulière) qui satisfait une condition initiale :

   1. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle $y(x) = F(x) + C$.
   2. Substituez la condition initiale $(x_0, y_0)$ dans la solution générale : $y_0 = F(x_0) + C$.
   3. Résolvez cette équation pour trouver la valeur de $C$.
   4. Substituez la valeur de $C$ dans la solution générale pour obtenir la solution particulière.

3. Unicité de la solution : ==Pour une équation différentielle $y' = f(x)$ où $f$ est continue sur un intervalle $I$, et pour une condition initiale $y(x_0) = y_0$ avec $x_0 \in I$, il existe une et une seule solution sur $I$.==

Exemple : Résoudre l'équation différentielle $y' = 3x^2 - 1$ avec la condition initiale $y(2) = 4$.

1. Solution générale : $y(x) = x^3 - x + C$.
2. Utilisation de la condition initiale $y(2) = 4$: $4 = 2^3 - 2 + C$ $4 = 8 - 2 + C$ $4 = 6 + C$ $C = 4 - 6 = -2$.
3. La solution particulière est $y(x) = x^3 - x - 2$.

Une équation différentielle est dite homogène si le terme constant $b$ est nul.

1. Forme de l'équation : $y' = ay$, où $a$ est une constante réelle non nulle.

2. Méthode de résolution : On cherche des solutions de la forme $y(x) = Ce^{kx}$. En substituant, on trouve que $k=a$. Une méthode plus rigoureuse implique la séparation des variables : $\frac{dy}{dx} = ay \implies \frac{dy}{y} = a dx$ (pour $y \neq 0$) $\int \frac{1}{y} dy = \int a dx$ $\ln|y| = ax + K'$ (où $K'$ est une constante) $|y| = e^{ax+K'} = e^{K'}e^{ax}$ $y = \pm e^{K'}e^{ax}$. En posant $C = \pm e^{K'}$ (ou $C=0$ si $y=0$ est une solution), on obtient la solution générale.

3. Solution générale $y(x) = C \cdot e^{ax}$ : La solution générale de l'équation différentielle $y' = ay$ est $y(x) = C \cdot e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle arbitraire. Cette forme est à connaître par cœur.

4. Interprétation graphique : Les courbes représentatives des solutions sont des fonctions exponentielles.

   • Si $a > 0$, les solutions croissent exponentiellement (modélisation de croissance de population, intérêts composés).
   • Si $a < 0$, les solutions décroissent exponentiellement (modélisation de désintégration radioactive, refroidissement).
   • Si $a = 0$, $y' = 0$, donc $y = C$ (fonction constante).

Pour obtenir une solution unique, une condition initiale est nécessaire.

1. Détermination de la constante $C$ : Si l'on donne $y(x_0) = y_0$, on substitue dans la solution générale $y(x) = Ce^{ax}$: $y_0 = Ce^{ax_0}$ $C = \frac{y_0}{e^{ax_0}} = y_0 e^{-ax_0}$. La solution particulière est alors $y(x) = (y_0 e^{-ax_0}) e^{ax} = y_0 e^{a(x-x_0)}$.

2. Application à des problèmes concrets :

   • Exemple : La vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence de température entre le corps et l'environnement. Si $T(t)$ est la température du corps et $T_e$ la température ambiante (constante), alors $T'(t) = k(T(t) - T_e)$. En posant $y(t) = T(t) - T_e$, on a $y'(t) = T'(t)$ et $y'(t) = ky(t)$.
   • Exemple : Résoudre $y' = 0.5y$ avec $y(0) = 10$. La solution générale est $y(x) = Ce^{0.5x}$. Avec $y(0) = 10$: $10 = Ce^{0.5 \cdot 0} = Ce^0 = C$. Donc $C = 10$. La solution particulière est $y(x) = 10e^{0.5x}$.

3. Modélisation de phénomènes : Ces équations modélisent la croissance ou la décroissance exponentielle : croissance bactérienne, désintégration radioactive, intérêts composés sans retrait, etc.

Ces équations sont de la forme $y' = ay + b$, où $a$ et $b$ sont des constantes et $a \neq 0$.

1. Forme $y' = ay + b$ : C'est l'équation différentielle complète.

2. Recherche d'une solution particulière constante : On cherche d'abord une solution particulière $y_p(x)$ de l'équation complète. Souvent, si $b$ est une constante, on peut chercher une solution particulière constante, c'est-à-dire $y_p(x) = K$ (où $K$ est une constante). Si $y_p(x) = K$, alors $y_p'(x) = 0$. En substituant dans l'équation : $0 = aK + b \implies K = -\frac{b}{a}$. Donc, $y_p(x) = -\frac{b}{a}$ est une solution particulière constante. Cette méthode est très utile pour trouver une solution particulière simple.

3. Solution générale (solution homogène + solution particulière) : La solution générale de l'équation $y' = ay + b$ est la somme de la solution générale de l'équation homogène associée ($y' = ay$) et d'une solution particulière de l'équation complète.

   • Solution de l'équation homogène ($y' = ay$) : $y_h(x) = Ce^{ax}$.
   • Solution particulière de l'équation complète ($y' = ay + b$) : $y_p(x) = -\frac{b}{a}$.
   • Donc, la solution générale de $y' = ay + b$ est $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.

Exemple : Résoudre $y' = 2y + 6$.

1. Équation homogène associée : $y' = 2y$. Sa solution est $y_h(x) = Ce^{2x}$.
2. Recherche d'une solution particulière constante $y_p(x) = K$: $0 = 2K + 6 \implies 2K = -6 \implies K = -3$. Donc $y_p(x) = -3$.
3. Solution générale : $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Ce^{2x} - 3$.

Les équations différentielles linéaires du premier ordre sont omniprésentes en sciences et ingénierie.

1. Croissance/décroissance exponentielle : L'équation $y' = ay$ modélise directement ces phénomènes.

2. Refroidissement de Newton : La loi de Newton sur le refroidissement stipule que le taux de changement de température d'un corps est proportionnel à la différence de température entre le corps et son environnement. Si $T(t)$ est la température du corps et $T_e$ est la température ambiante (constante), alors $T'(t) = k(T(t) - T_e)$. Ceci est une équation de la forme $y' = ay + b$ en posant $y(t) = T(t)$, $a=k$, et $b=-kT_e$. La solution est $T(t) = T_e + Ce^{kt}$. (Note : $k$ est souvent négatif pour un refroidissement).

3. Radioactivité : La désintégration radioactive suit une loi de la forme $N'(t) = -\lambda N(t)$, où $N(t)$ est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t$ et $\lambda$ est la constante de désintégration. C'est une équation de type $y' = ay$ avec $a = -\lambda$. La solution est $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, où $N_0$ est le nombre initial de noyaux.

4. Circuits RC (introduction) : Dans un circuit RC série (résistance R, condensateur C), l'évolution de la tension $U_C(t)$ aux bornes du condensateur lorsqu'il se charge ou se décharge est décrite par une équation différentielle du premier ordre. Par exemple, lors de la charge par une source de tension $E$, l'équation est $RC U_C'(t) + U_C(t) = E$, que l'on peut réécrire $U_C'(t) = -\frac{1}{RC} U_C(t) + \frac{E}{RC}$. Ceci est de la forme $y' = ay + b$, avec $a = -\frac{1}{RC}$ et $b = \frac{E}{RC}$. La solution permet d'analyser comment le condensateur se charge au cours du temps.