Suites et séries numériques

Il existe plusieurs façons de définir une suite :

• Suite définie explicitement (ou par une formule directe) : Chaque terme $u_n$ est donné directement en fonction de son indice $n$. C'est comme une fonction $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ où $u_n = f(n)$.

  • Exemple : La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 2n + 3$. Pour trouver $u_0$, on remplace $n$ par $0$: $u_0 = 2(0) + 3 = 3$. Pour trouver $u_1$, on remplace $n$ par $1$: $u_1 = 2(1) + 3 = 5$. Pour trouver $u_5$, on remplace $n$ par $5$: $u_5 = 2(5) + 3 = 13$.
  • Avantage : On peut calculer n'importe quel terme directement sans connaître les précédents.

• Suite définie par récurrence : Le premier terme (ou les premiers termes) est donné, et chaque terme suivant est défini en fonction du ou des termes précédents.

  • Exemple : La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Pour trouver $u_1$: $u_1 = 2u_0 - 1 = 2(1) - 1 = 1$. Pour trouver $u_2$: $u_2 = 2u_1 - 1 = 2(1) - 1 = 1$. (Dans cet exemple, la suite est constante à partir de $u_0=1$.)
  • Exemple 2 : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n + n$. $u_0 = 2$ $u_1 = u_0 + 0 = 2 + 0 = 2$ $u_2 = u_1 + 1 = 2 + 1 = 3$ $u_3 = u_2 + 2 = 3 + 2 = 5$
  • Désavantage : Pour calculer $u_n$, il faut généralement calculer tous les termes précédents.

• Représentation graphique d'une suite : On représente les termes d'une suite $(u_n)$ par des points $(n, u_n)$ dans un repère. Pour une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$, on peut utiliser la droite d'équation $y=x$ et la courbe représentative de $f$.

  1. Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses.
  2. Monter (ou descendre) jusqu'à la courbe de $f$ pour trouver $f(u_0) = u_1$ (ordonnée du point).
  3. Se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y=x$ pour ramener $u_1$ sur l'axe des abscisses.
  4. Répéter le processus pour trouver $u_2$, $u_3$, etc. Cette méthode permet de visualiser le comportement de la suite (convergence, divergence, oscillation).

Le sens de variation d'une suite décrit si ses termes augmentent, diminuent ou restent constants.

• Une suite $(u_n)$ est croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \ge u_n$.

  • Si $u_{n+1} > u_n$, la suite est strictement croissante.

• Une suite $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \le u_n$.

  • Si $u_{n+1} < u_n$, la suite est strictement décroissante.

• Une suite est constante si pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n$.

• Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante (soit constante).

• Démonstration du sens de variation : Pour étudier le sens de variation, on étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.

  1. Si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
  2. Si $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
  3. Si $u_{n+1} - u_n = 0$ pour tout $n$, alors $(u_n)$ est constante.
  • Exemple : $u_n = n^2 + n$. $u_{n+1} - u_n = ((n+1)^2 + (n+1)) - (n^2 + n)$ $= (n^2 + 2n + 1 + n + 1) - (n^2 + n)$ $= n^2 + 3n + 2 - n^2 - n$ $= 2n + 2$ Pour $n \in \mathbb{N}$, $2n+2 > 0$. Donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

  Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on peut aussi étudier le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ par rapport à 1.

  1. Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ pour tout $n$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
  2. Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ pour tout $n$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante. Cette méthode est souvent utilisée pour les suites définies par un produit ou une puissance.

Ces deux types de suites sont fondamentales en mathématiques.

• Définition et terme général d'une suite arithmétique : Une suite $(u_n)$ est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $r$.

  • Pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n + r$.
  • Le terme général est donné par $u_n = u_p + (n-p)r$. Si $p=0$, $u_n = u_0 + nr$. Si $p=1$, $u_n = u_1 + (n-1)r$.
  • Exemple : $u_0 = 5$, $r=3$. La suite est $5, 8, 11, 14, \dots$. Le terme général est $u_n = 5 + 3n$.

• Somme des termes d'une suite arithmétique : La somme des $N$ premiers termes d'une suite arithmétique, de $u_p$ à $u_k$, est donnée par la formule : $S = u_p + u_{p+1} + \dots + u_k = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$. Le nombre de termes est $k - p + 1$. Donc, $S = (k-p+1) \times \frac{u_p + u_k}{2}$.

  • Cas particulier : Somme des $n+1$ premiers termes (de $u_0$ à $u_n$) : $S_{n+1} = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$.
  • Exemple : Somme des 100 premiers entiers : $1+2+\dots+100 = 100 \times \frac{1+100}{2} = 50 \times 101 = 5050$.

• Définition et terme général d'une suite géométrique : Une suite $(u_n)$ est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $q$.

  • Pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n \times q$.
  • Le terme général est donné par $u_n = u_p \times q^{n-p}$. Si $p=0$, $u_n = u_0 \times q^n$. Si $p=1$, $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
  • Exemple : $u_0 = 2$, $q=3$. La suite est $2, 6, 18, 54, \dots$. Le terme général est $u_n = 2 \times 3^n$.

• Somme des termes d'une suite géométrique : La somme des $N$ premiers termes d'une suite géométrique, de $u_p$ à $u_k$, est donnée par la formule (si $q \neq 1$) : $S = u_p + u_{p+1} + \dots + u_k = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$. Le nombre de termes est $k - p + 1$. Donc, $S = u_p \times \frac{1 - q^{k-p+1}}{1 - q}$.

  • Cas particulier : Somme des $n+1$ premiers termes (de $u_0$ à $u_n$) : $S_{n+1} = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
  • Si $q=1$, la suite est constante, et $S = (\text{nombre de termes}) \times u_p$.
  • Exemple : $u_0 = 1$, $q=2$. Somme des 5 premiers termes : $1+2+4+8+16 = 1 \times \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = \frac{1 - 32}{-1} = 31$.

• Définition intuitive de la limite : Lorsque $n$ devient de plus en plus grand, les termes $u_n$ de la suite se rapprochent-ils d'une valeur particulière ? Ou deviennent-ils arbitrairement grands (en positif ou négatif) ?

• Limite finie (convergence) : Une suite $(u_n)$ converge vers un réel $L$ si, pour tout intervalle ouvert contenant $L$, tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$ appartiennent à cet intervalle. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$. Intuitivement, les termes de la suite s'accumulent autour de $L$ lorsque $n$ est grand.

  • Exemple : La suite $u_n = \frac{1}{n}$. Les termes sont $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$. Lorsque $n$ devient très grand, $\frac{1}{n}$ s'approche de $0$. Donc $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$. La suite converge vers $0$.

• Limite infinie (divergence) : Une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$ sont supérieurs à $A$. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. De même, une suite diverge vers $-\infty$ si $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

  • Exemple : La suite $u_n = n^2$. $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$. La suite diverge.
  • Exemple : La suite $u_n = -n$. $\lim_{n \to +\infty} -n = -\infty$. La suite diverge.

  Si une suite ne converge pas vers une limite finie et ne diverge pas vers $\pm\infty$, elle est dite divergente sans limite infinie (ex: suite alternée $u_n = (-1)^n$).

Ces propriétés sont essentielles pour calculer des limites complexes.

• Opérations sur les limites : Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergeant vers $L_u$ et $L_v$ respectivement.

  Opération	Limite de $u_n + v_n$	Limite de $u_n \times v_n$	Limite de $\frac{u_n}{v_n}$ ($v_n \neq 0$)
  Cas général	$L_u + L_v$	$L_u \times L_v$	$\frac{L_u}{L_v}$ (si $L_v \neq 0$)
  Formes indéterminées	$+\infty - \infty$	$0 \times \infty$	$\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$

  Attention aux formes indéterminées ! Dans ces cas, il faut souvent transformer l'expression de la suite (factorisation, conjugué, etc.) pour lever l'indétermination.

• Théorèmes de comparaison : Ces théorèmes permettent de déterminer la limite d'une suite en la comparant à d'autres suites dont la limite est connue.

  • Si pour tout $n \ge N_0$, $u_n \le v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$. (Si une suite est plus grande qu'une suite qui tend vers $+\infty$, alors elle tend aussi vers $+\infty$.)
  • Si pour tout $n \ge N_0$, $u_n \le v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. (Si une suite est plus petite qu'une suite qui tend vers $-\infty$, alors elle tend aussi vers $-\infty$.)

• Théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement) : Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. Si pour tout $n \ge N_0$, $u_n \le v_n \le w_n$, et si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ et $\lim_{n \to +\infty} w_n = L$ (avec $L$ un réel), alors ==$\lim_{n \to +\infty} v_n = L$==.

  • Exemple : $v_n = \frac{\sin(n)}{n}$. On sait que $-1 \le \sin(n) \le 1$. Donc $\frac{-1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{-1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, alors par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0$.

Ces concepts sont cruciaux pour prouver la convergence d'une suite sans connaître sa limite exacte.

• Suite majorée, minorée, bornée :

  • Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n$, $u_n \le M$. (La suite ne dépasse jamais $M$).
  • Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $n$, $u_n \ge m$. (La suite n'est jamais en dessous de $m$).
  • Une suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. (Ses termes sont compris entre deux valeurs $m$ et $M$).

• Théorème de convergence monotone : Ce théorème est un résultat fondamental :

  • Toute suite croissante et majorée converge.
  • Toute suite décroissante et minorée converge.
  • Toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$.
  • Toute suite décroissante et non minorée diverge vers $-\infty$. Ce théorème garantit l'existence d'une limite finie, même si on ne sait pas la calculer directement.

• Application aux suites définies par récurrence : Le théorème de convergence monotone est souvent utilisé pour les suites définies par récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$. Pour démontrer la convergence d'une telle suite, on suit généralement ces étapes :

  1. Initialisation : Montrer que $u_0$ est dans un certain intervalle $[a, b]$.
  2. Hérédité : Montrer que si $u_n \in [a, b]$, alors $u_{n+1} \in [a, b]$. (Cela prouve que la suite est bornée sur cet intervalle).
  3. Monotonie : Étudier le sens de variation de la suite (signe de $u_{n+1} - u_n$ ou comparaison de $f(x)$ et $x$).
  4. Conclusion : Si la suite est monotone et bornée, alors elle converge (par le théorème de convergence monotone).
  5. Calcul de la limite : Si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$, alors $L$ est un point fixe de la fonction $f$, c'est-à-dire $L = f(L)$. On résout cette équation pour trouver la valeur de $L$.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite numérique. On appelle série numérique associée à la suite $(u_n)$ la somme formelle $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = u_0 + u_1 + u_2 + \dots$.

• Suite des sommes partielles : Pour étudier la convergence d'une série, on définit la suite des sommes partielles $(S_N)_{N \in \mathbb{N}}$ par : $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n = u_0 + u_1 + \dots + u_N$. Autrement dit, $S_N$ est la somme des $N+1$ premiers termes de la suite $(u_n)$.

• Série convergente : La série $\sum u_n$ est dite convergente si la suite de ses sommes partielles $(S_N)$ converge vers une limite finie $S$. Dans ce cas, on appelle $S$ la somme de la série, et on écrit $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = S$.

• Série divergente : La série $\sum u_n$ est dite divergente si la suite de ses sommes partielles $(S_N)$ ne converge pas (c'est-à-dire qu'elle diverge vers $\pm\infty$ ou n'admet pas de limite).

• Reste d'une série : Si une série $\sum u_n$ converge vers $S$, on définit le reste d'ordre $N$ de la série, noté $R_N$, comme la somme des termes à partir de l'indice $N+1$ : $R_N = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n = S - S_N$. Si la série converge, alors ==$\lim_{N \to +\infty} R_N = 0$==.

• Séries géométriques : Une série géométrique est de la forme $\sum_{n=0}^{+\infty} ar^n$, où $a$ est le premier terme et $r$ est la raison.

  • La suite des sommes partielles est $S_N = a \frac{1-r^{N+1}}{1-r}$ (si $r \neq 1$).
  • Critère de convergence : Une série géométrique converge si et seulement si $|r| < 1$. Dans ce cas, sa somme est $S = \frac{a}{1-r}$.
  • Si $|r| \ge 1$, la série diverge (sauf cas $a=0$).
  • Exemple : $\sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

• Séries de Riemann (critère de convergence) : Une série de Riemann est de la forme $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}$, où $\alpha$ est un réel.

  • Critère de convergence : Une série de Riemann converge si et seulement si $\alpha > 1$.
  • Si $\alpha \le 1$, la série diverge.
  • Exemple : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ converge car $\alpha=2 > 1$.
  • Exemple : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$ (série harmonique) diverge car $\alpha=1$.

• Séries télescopiques : Une série est dite télescopique si son terme général $u_n$ peut s'écrire sous la forme $u_n = v_n - v_{n+1}$ (ou $v_{n+1} - v_n$). La somme partielle $S_N = \sum_{n=0}^{N} (v_n - v_{n+1})$ se simplifie considérablement : $S_N = (v_0 - v_1) + (v_1 - v_2) + \dots + (v_N - v_{N+1}) = v_0 - v_{N+1}$. La série converge si et seulement si $\lim_{N \to +\infty} v_{N+1}$ existe et est finie.

  • Exemple : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}$. On peut décomposer en éléments simples : $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$. Ici $v_n = \frac{1}{n}$. $S_N = \sum_{n=1}^{N} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}) = 1 - \frac{1}{N+1}$. $\lim_{N \to +\infty} S_N = \lim_{N \to +\infty} (1 - \frac{1}{N+1}) = 1$. La série converge et sa somme est 1.

• Linéarité des séries : Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont deux séries convergentes de sommes respectives $S_u$ et $S_v$, et si $k$ est un réel, alors :

  • La série $\sum (u_n + v_n)$ converge et sa somme est $S_u + S_v$.
  • La série $\sum (k u_n)$ converge et sa somme est $k S_u$.

• Condition nécessaire de convergence (terme général tend vers 0) : Si la série $\sum u_n$ converge, alors ==$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$==.

  • Attention : La réciproque est fausse ! Si $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$, la série $\sum u_n$ n'est pas nécessairement convergente. L'exemple classique est la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, mais la série diverge.
  • Cette propriété est utile pour prouver la divergence d'une série : si $\lim_{n \to +\infty} u_n \neq 0$ (ou n'existe pas), alors la série $\sum u_n$ diverge.

• Séries à termes positifs : Une série $\sum u_n$ est à termes positifs si $u_n \ge 0$ pour tout $n$. Pour ces séries, la suite des sommes partielles $(S_N)$ est croissante. Par le théorème de convergence monotone, une série à termes positifs converge si et seulement si sa suite des sommes partielles est majorée. Ce fait simplifie l'étude de la convergence des séries à termes positifs.

Ces critères sont très utiles pour les séries à termes positifs. Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries à termes positifs.

• Comparaison par inégalité :

  1. Si $0 \le u_n \le v_n$ pour tout $n \ge N_0$ :
     • Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge. (Une série plus petite qu'une série convergente converge).
     • Si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ diverge. (Une série plus grande qu'une série divergente diverge).
  • Exemple : Étudier $\sum \frac{1}{n^2+1}$. On sait que $0 < \frac{1}{n^2+1} \le \frac{1}{n^2}$. Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente ($\alpha=2 > 1$), alors $\sum \frac{1}{n^2+1}$ converge.

• Comparaison par équivalence : Si $u_n \ge 0$, $v_n \ge 0$ et si $u_n \sim v_n$ (c'est-à-dire $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$), alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature (elles convergent ou divergent simultanément).

  • Exemple : Étudier $\sum \frac{n+1}{n^3+2}$. Pour $n$ grand, $n+1 \sim n$ et $n^3+2 \sim n^3$. Donc $\frac{n+1}{n^3+2} \sim \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$. Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente, alors $\sum \frac{n+1}{n^3+2}$ converge.

• Négligeabilité ($u_n = o(v_n)$) : Si $u_n \ge 0$, $v_n \ge 0$ et si $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 0$, on écrit $u_n = o(v_n)$.

  • Si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
  • Si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ diverge.

Ce critère est particulièrement efficace pour les séries dont le terme général contient des factorielles ou des puissances. Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs ($u_n > 0$).

• On calcule la limite du rapport des termes consécutifs : $L = \lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$.

  • Si $L < 1$, alors la série $\sum u_n$ converge.
  • Si $L > 1$, alors la série $\sum u_n$ diverge.
  • Si $L = 1$, le critère ne permet pas de conclure. Il faut utiliser un autre critère.

• Application aux séries à termes positifs : Ce critère est souvent utilisé pour les séries de la forme $\sum \frac{x^n}{n!}$ ou $\sum \frac{n^k}{a^n}$.

• Limites du critère : Le cas $L=1$ est la principale limite. Par exemple, pour les séries de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$, le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^{-\alpha}}{n^{-\alpha}} = (\frac{n}{n+1})^\alpha = (\frac{1}{1 + 1/n})^\alpha \to 1$ lorsque $n \to +\infty$, quel que soit $\alpha$. Le critère de d'Alembert ne permet donc pas de conclure pour les séries de Riemann.

Ce critère est utile pour les séries dont le terme général est une puissance $n$-ième. Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs ($u_n \ge 0$).

• On calcule la limite de la racine n-ième du terme général : $L = \lim_{n \to +\infty} (u_n)^{1/n}$.

  • Si $L < 1$, alors la série $\sum u_n$ converge.
  • Si $L > 1$, alors la série $\sum u_n$ diverge.
  • Si $L = 1$, le critère ne permet pas de conclure.

• Application aux séries à termes positifs : Ce critère est efficace pour les séries de la forme $\sum (f(n))^n$.

• Comparaison avec le critère de d'Alembert : Le critère de Cauchy est plus puissant que celui de d'Alembert : si le critère de d'Alembert conclut, alors celui de Cauchy conclut aussi. Cependant, le critère de Cauchy peut conclure dans des cas où d'Alembert ne conclut pas (ex: certaines séries où la limite du rapport n'existe pas mais celle de la racine $n$-ième oui).

• Définition d'une série alternée : Une série est dite alternée si ses termes sont alternativement positifs et négatifs. Elle peut s'écrire sous la forme $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n$ ou $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} a_n$, où $a_n$ est une suite de termes positifs ($a_n \ge 0$).

  • Exemple : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} = -1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots$ (série harmonique alternée).

• Critère spécial des séries alternées (CSSA) : Soit une série alternée $\sum (-1)^n a_n$ avec $a_n \ge 0$. Si la suite $(a_n)$ :

  1. est décroissante à partir d'un certain rang,
  2. tend vers zéro ($\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$), alors la série $\sum (-1)^n a_n$ converge.
  • Exemple : Pour la série harmonique alternée $\sum \frac{(-1)^n}{n}$, on a $a_n = \frac{1}{n}$.
    1. La suite $(\frac{1}{n})$ est bien décroissante.
    2. $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$. Donc, par le CSSA, la série harmonique alternée converge.

• Convergence absolue et semi-convergence :

  • Une série $\sum u_n$ est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues $\sum |u_n|$ converge. Si une série est absolument convergente, alors elle est convergente. (La réciproque est fausse).
  • Une série est dite semi-convergente si elle est convergente mais non absolument convergente.
  • Exemple : La série harmonique alternée $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ est convergente (par le CSSA). Mais la série des valeurs absolues $\sum |\frac{(-1)^n}{n}| = \sum \frac{1}{n}$ (série harmonique) est divergente. Donc la série harmonique alternée est semi-convergente.
  • L'intérêt de la convergence absolue est qu'elle permet d'utiliser les critères pour les séries à termes positifs (comparaison, d'Alembert, Cauchy) sur $\sum |u_n|$.

• Définition et forme générale : Une série entière est une série de fonctions de la forme $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$, où les $a_n$ sont des coefficients réels ou complexes et $x$ est une variable réelle ou complexe. Chaque série entière a un ensemble de valeurs de $x$ pour lesquelles elle converge.

• Rayon de convergence : Pour toute série entière $\sum a_n x^n$, il existe un réel $R \ge 0$ (éventuellement $R=+\infty$) appelé rayon de convergence, tel que :

  • La série converge absolument pour tout $x$ tel que $|x| < R$.
  • La série diverge pour tout $x$ tel que $|x| > R$.
  • Pour $|x|=R$, on ne peut pas conclure directement, il faut étudier la convergence aux bornes de l'intervalle. Le rayon de convergence peut souvent être calculé par les critères de d'Alembert ou de Cauchy appliqués à la série $\sum |a_n x^n|$. Si $\lim_{n \to +\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = L$, alors $R = \frac{1}{L}$ (si $L \neq 0$). Si $L=0$, $R=+\infty$. Si $L=+\infty$, $R=0$. De même, si $\lim_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n} = L$, alors $R = \frac{1}{L}$.

• Intervalle de convergence : Si $R$ est le rayon de convergence, l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la série converge s'appelle l'intervalle de convergence.

  • Si $x \in \mathbb{R}$, l'intervalle est de la forme $(-R, R)$, $[-R, R)$, $(-R, R]$ ou $[-R, R]$. Il faut étudier la convergence en $x=R$ et $x=-R$.
  • Si $x \in \mathbb{C}$, c'est le disque ouvert de centre $0$ et de rayon $R$.

Les séries entières ont des propriétés très pratiques qui les rendent similaires aux polynômes.

• Dérivation et intégration terme à terme : Si $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ converge pour $|x| < R$, alors $f$ est dérivable et intégrable sur $(-R, R)$, et :

  • $f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$
  • $\int_0^x f(t) dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$ Le rayon de convergence des séries dérivée et intégrée est le même que celui de la série originale ($R$).

• Somme et produit de séries entières : Si $f(x) = \sum a_n x^n$ et $g(x) = \sum b_n x^n$ ont des rayons de convergence $R_f$ et $R_g$ :

  • Somme : $f(x) + g(x) = \sum (a_n + b_n) x^n$. Le rayon de convergence est au moins $\min(R_f, R_g)$.
  • Produit de Cauchy : $f(x) g(x) = \sum c_n x^n$ où $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$. Le rayon de convergence est au moins $\min(R_f, R_g)$.

• Développement en série entière de fonctions usuelles : De nombreuses fonctions peuvent être représentées par une série entière, c'est ce qu'on appelle un développement en série entière (DSE).

  • $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \dots$ pour $|x| < 1$.
  • $e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ($R=+\infty$).
  • $\sin(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ($R=+\infty$).
  • $\cos(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ($R=+\infty$).
  • $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ pour $|x| < 1$. Ces DSE sont fondamentaux et doivent être connus. Ils permettent de calculer des limites, des intégrales, et d'approximer des fonctions.