Fonctions : dérivation et primitives

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point $a$, noté $f'(a)$, représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. Il est défini comme la limite du taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ lorsque $h$ tend vers 0.

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Interprétations clés :

• Pente de la tangente : Graphiquement, $f'(a)$ est la direction de la courbe au point $(a, f(a))$.
• Taux de variation instantané : Il mesure la vitesse à laquelle la fonction change à l'instant $a$. Par exemple, si $f(t)$ est la position d'un objet en fonction du temps $t$, alors $f'(t)$ est sa vitesse instantanée.
• Une fonction est dérivable en $a$ si cette limite existe et est finie.

Exemple : Pour la fonction $f(x) = x^2$, calculons le nombre dérivé en $x=1$. $f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2+h) = 2$ La pente de la tangente à la parabole $y=x^2$ au point $(1,1)$ est 2.

La fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est la fonction qui, à chaque $x$ où $f$ est dérivable, associe le nombre dérivé $f'(x)$. Pour de nombreuses fonctions usuelles, il existe des formules directes pour calculer leur dérivée.

Ces formules sont à connaître par cœur car elles sont la base de tous les calculs de dérivées plus complexes.

Pour dériver des combinaisons de fonctions, on utilise des règles spécifiques. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ une constante réelle.

| Opération | Dérivée | Exemple H. Example : $f(x) = x^2 + 3x - 1$. Alors $f'(x) = 2x + 3$.

• Dérivée d'un produit par un réel : $(k \cdot u)' = k \cdot u'$ Exemple : Si $f(x) = 5\sin(x)$, alors $f'(x) = 5\cos(x)$.
• Dérivée d'un produit : $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ Exemple : Si $f(x) = x^2 \cdot \exp(x)$. Alors $u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x$. Et $v(x) = \exp(x) \implies v'(x) = \exp(x)$. Donc $f'(x) = 2x \cdot \exp(x) + x^2 \cdot \exp(x) = (2x+x^2)\exp(x)$.
• Dérivée d'un quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (avec $v(x) \neq 0$) Exemple : Si $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$. Alors $u(x) = x+1 \implies u'(x) = 1$. Et $v(x) = x-1 \implies v'(x) = 1$. Donc $f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.

Une fonction composée est une fonction obtenue en appliquant une fonction à la sortie d'une autre fonction. Si $u$ est une fonction et $g$ est une autre fonction, la composition de $g$ par $u$, notée $g \circ u$ (lire "g rond u"), est définie par : $(g \circ u)(x) = g(u(x))$ On applique d'abord la fonction $u$, puis la fonction $g$ au résultat.

Exemples de fonctions composées :

• $f(x) = (2x+3)^5$: Ici, $u(x) = 2x+3$ et $g(y) = y^5$. Donc $f(x) = g(u(x))$.
• $f(x) = \exp(x^2)$: Ici, $u(x) = x^2$ et $g(y) = \exp(y)$. Donc $f(x) = g(u(x))$.
• $f(x) = \sqrt{\sin(x)}$: Ici, $u(x) = \sin(x)$ et $g(y) = \sqrt{y}$. Donc $f(x) = g(u(x))$.

Le domaine de définition de $g \circ u$ est l'ensemble des $x$ tels que $x$ est dans le domaine de $u$ ET $u(x)$ est dans le domaine de $g$.

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ est dérivable sur un intervalle $J$ tel que $u(I) \subset J$, alors la fonction composée $g \circ u$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par : $(g \circ u)'(x) = u'(x) \cdot g'(u(x))$ En d'autres termes, on dérive "de l'extérieur vers l'intérieur" : on dérive la fonction "enveloppe" $g$ en gardant l'intérieur $u(x)$ intact, puis on multiplie par la dérivée de la fonction "intérieure" $u$.

Applications courantes :

• Dérivée de $(u^n)'$ : Si $f(x) = (u(x))^n$, alors $g(y) = y^n$ et $g'(y) = ny^{n-1}$. Donc $f'(x) = u'(x) \cdot n(u(x))^{n-1}$. ==Formule : $(u^n)' = n u' u^{n-1}$== Exemple : $f(x) = (3x^2+1)^4$. Alors $u(x) = 3x^2+1 \implies u'(x) = 6x$. $f'(x) = 4 \cdot (6x) \cdot (3x^2+1)^{4-1} = 24x(3x^2+1)^3$.
• Dérivée de $(\exp(u))'$ : Si $f(x) = \exp(u(x))$, alors $g(y) = \exp(y)$ et $g'(y) = \exp(y)$. Donc $f'(x) = u'(x) \cdot \exp(u(x))$. ==Formule : $(\exp(u))' = u' \exp(u)$== Exemple : $f(x) = \exp(-x^2)$. Alors $u(x) = -x^2 \implies u'(x) = -2x$. $f'(x) = -2x \exp(-x^2)$.
• Dérivée de $(\ln(u))'$ : Si $f(x) = \ln(u(x))$, alors $g(y) = \ln(y)$ et $g'(y) = 1/y$. (avec $u(x) > 0$) Donc $f'(x) = u'(x) \cdot \frac{1}{u(x)} = \frac{u'(x)}{u(x)}$. ==Formule : $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$== Exemple : $f(x) = \ln(x^2+1)$. Alors $u(x) = x^2+1 \implies u'(x) = 2x$. $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

Ces formules sont des cas particuliers de la règle de dérivation des fonctions composées, mais elles sont si fréquentes qu'il est utile de les avoir à portée de main.

• Dérivée de $\left(\frac{1}{u}\right)'$ : On peut voir $\frac{1}{u}$ comme $u^{-1}$. En utilisant $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ avec $n=-1$: $\left(\frac{1}{u}\right)' = (-1) u' u^{-1-1} = -u' u^{-2} = -\frac{u'}{u^2}$. ==Formule : $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$== Exemple : $f(x) = \frac{1}{x^2+x+1}$. Alors $u(x) = x^2+x+1 \implies u'(x) = 2x+1$. $f'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$.
• Dérivée de $(\sqrt{u})'$ : On peut voir $\sqrt{u}$ comme $u^{1/2}$. En utilisant $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ avec $n=1/2$: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2} u' u^{1/2-1} = \frac{1}{2} u' u^{-1/2} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$. ==Formule : $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$== (avec $u(x) > 0$) Exemple : $f(x) = \sqrt{x^3+x}$. Alors $u(x) = x^3+x \implies u'(x) = 3x^2+1$. $f'(x) = \frac{3x^2+1}{2\sqrt{x^3+x}}$.
• Dérivée de $(\sin(u))'$ et $(\cos(u))'$ : $(\sin(u))' = u' \cos(u)$ $(\cos(u))' = -u' \sin(u)$ Exemple : $f(x) = \sin(2x+\pi/4)$. Alors $u(x) = 2x+\pi/4 \implies u'(x) = 2$. $f'(x) = 2 \cos(2x+\pi/4)$.

Le signe de la fonction dérivée $f'$ nous renseigne directement sur les variations de la fonction $f$.

• Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Un extremum local (maximum ou minimum local) d'une fonction dérivable est atteint en un point $x_0$ où la dérivée s'annule et change de signe.

• Si $f'(x)$ change de signe de $+$ à $-$ en $x_0$, alors $f(x_0)$ est un maximum local.
• Si $f'(x)$ change de signe de $-$ à $+$ en $x_0$, alors $f(x_0)$ est un minimum local.

Méthode pour étudier les variations :

1. Calculer la dérivée $f'(x)$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ (résoudre $f'(x) > 0$ ou $f'(x) = 0$).
3. Construire le tableau de variations de $f$, en indiquant les signes de $f'(x)$ et les variations de $f(x)$, ainsi que les valeurs aux bornes et aux extremums.

Exemple : $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

1. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)$.
2. $f'(x)=0 \implies x=1$ ou $x=-1$. $f'(x) > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0 \implies x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$.
3. Tableau de variations :

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ Cette équation est fondamentale pour approcher localement une fonction par une droite.

Position relative de la courbe et de sa tangente : Pour savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous de sa tangente, on étudie le signe de la différence $f(x) - (f'(a)(x-a) + f(a))$. Cela est lié à la convexité de la fonction.

La convexité d'une fonction décrit la courbure de sa représentation graphique.

• Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est "tournée vers le haut", c'est-à-dire qu'elle est toujours au-dessus de ses tangentes sur cet intervalle.
• Une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe est "tournée vers le bas", c'est-à-dire qu'elle est toujours en dessous de ses tangentes sur cet intervalle.

La dérivée seconde, notée $f''$, est la dérivée de la dérivée $f'$. Elle permet de déterminer la convexité :

• Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est convexe sur $I$.
• Si $f''(x) < 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est concave sur $I$.

Un point d'inflexion est un point où la convexité de la fonction change (elle passe de convexe à concave ou inversement). Graphiquement, la courbe traverse sa tangente en ce point. Pour trouver les points d'inflexion, on cherche les points où $f''(x)$ s'annule et change de signe.

Exemple : Reprenons $f(x) = x^3 - 3x + 2$. $f'(x) = 3x^2 - 3$. $f''(x) = 6x$. $f''(x) = 0 \implies x=0$. Si $x < 0$, $f''(x) < 0$, donc $f$ est concave sur $]-\infty, 0[$. Si $x > 0$, $f''(x) > 0$, donc $f$ est convexe sur $]0, +\infty[$. Le point d'abscisse $x=0$ est un point d'inflexion. Les coordonnées du point sont $(0, f(0)) = (0,2)$.

La dérivation est essentielle pour résoudre des problèmes d'optimisation, c'est-à-dire trouver les valeurs maximales ou minimales d'une quantité. Méthode :

1. Modéliser le problème : identifier la quantité à optimiser (aire, volume, coût, profit, distance, etc.) et l'exprimer comme une fonction d'une ou plusieurs variables. Si nécessaire, utiliser des contraintes pour réduire à une seule variable.
2. Dériver la fonction obtenue.
3. Rechercher les extremums : trouver les points où la dérivée s'annule (points critiques) et étudier le signe de la dérivée pour déterminer s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
4. Conclure en répondant à la question posée dans le contexte du problème.

Exemple : Un agriculteur veut clôturer un champ rectangulaire d'une surface de 1000 m$^2$ avec le minimum de clôture. Quelles dimensions doit-il choisir ?

1. Soient $L$ la longueur et $l$ la largeur. Surface $S = L \cdot l = 1000$. Périmètre $P = 2L + 2l$. On veut minimiser $P$. Exprimons $P$ en fonction d'une seule variable. De $L \cdot l = 1000$, on a $L = \frac{1000}{l}$. Donc $P(l) = 2\left(\frac{1000}{l}\right) + 2l = \frac{2000}{l} + 2l$. Domaine $l > 0$.
2. $P'(l) = -\frac{2000}{l^2} + 2$.
3. $P'(l) = 0 \implies 2 = \frac{2000}{l^2} \implies l^2 = 1000 \implies l = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$. Pour $l < 10\sqrt{10}$, $P'(l) < 0$ (décroissant). Pour $l > 10\sqrt{10}$, $P'(l) > 0$ (croissant). C'est bien un minimum.
4. Si $l = 10\sqrt{10}$, alors $L = \frac{1000}{10\sqrt{10}} = \frac{100}{\sqrt{10}} = 10\sqrt{10}$. Les dimensions qui minimisent le périmètre sont $L = l = 10\sqrt{10}$ m (un carré).

Une fonction $F$ est appelée primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x \in I$, on a : $F'(x) = f(x)$ Si $F$ est une primitive de $f$, alors toute fonction $G$ définie par $G(x) = F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle (appelée constante d'intégration), est aussi une primitive de $f$. En effet, $(F(x)+C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$. Une fonction continue sur un intervalle admet toujours une infinité de primitives, différant entre elles d'une constante.

Exemple : Si $f(x) = 2x$. $F(x) = x^2$ est une primitive car $(x^2)' = 2x$. $F(x) = x^2+5$ est aussi une primitive car $(x^2+5)' = 2x$. $F(x) = x^2+C$ est la famille de toutes les primitives de $f(x)=2x$.

Connaître les dérivées des fonctions usuelles permet de retrouver facilement leurs primitives.

Attention : pour $\frac{1}{x}$, la primitive est $\ln(|x|)$ car le domaine de dérivabilité de $\ln(x)$ est $\mathbb{R}^{+*}$, mais $1/x$ est défini sur $\mathbb{R}^*$. Sur un intervalle ne contenant pas 0, $\ln(|x|)$ est la primitive.

Les primitives respectent des propriétés similaires à celles de la dérivation :

• Primitive d'une somme : Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$. Une primitive de $f(x) + g(x)$ est $F(x) + G(x) + C$.
• Primitive d'un produit par un réel : Si $F$ est une primitive de $f$ et $k$ est une constante, alors $kF$ est une primitive de $kf$. Une primitive de $k \cdot f(x)$ est $k \cdot F(x) + C$.

Détermination de la constante d'intégration : La constante $C$ est déterminée si on connaît une condition initiale, par exemple la valeur de la primitive en un point donné ($F(x_0) = y_0$).

Exemple : Trouver la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$ telle que $F(1) = 5$.

1. On cherche une primitive générale : Une primitive de $3x^2$ est $3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$. Une primitive de $2x$ est $2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$. Une primitive de $-1$ est $-x$. Donc, la famille de primitives est $F(x) = x^3 + x^2 - x + C$.
2. On utilise la condition $F(1) = 5$ pour trouver $C$ : $F(1) = 1^3 + 1^2 - 1 + C = 1 + 1 - 1 + C = 1 + C$. $1 + C = 5 \implies C = 4$.
3. La primitive recherchée est $F(x) = x^3 + x^2 - x + 4$.

Ces primitives sont l'inverse des dérivées de fonctions composées. Si $G$ est une primitive de $g$, alors une primitive de $u'(x) \cdot g(u(x))$ est $G(u(x))$.

• Primitive de $u' u^n$ : Si $f(x) = u'(x) (u(x))^n$, alors une primitive est $\frac{(u(x))^{n+1}}{n+1} + C$ (pour $n \neq -1$). ==Formule : $\int u' u^n dx = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$== Exemple : $\int (2x+1)(x^2+x+3)^4 dx$. Ici $u(x) = x^2+x+3$, donc $u'(x) = 2x+1$. La primitive est $\frac{(x^2+x+3)^5}{5} + C$.
• Primitive de $\frac{u'}{u}$ : Si $f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$, alors une primitive est $\ln(|u(x)|) + C$. ==Formule : $\int \frac{u'}{u} dx = \ln(|u|) + C$== Exemple : $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$. Ici $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$. La primitive est $\ln(x^2+1) + C$ (on peut enlever la valeur absolue car $x^2+1 > 0$).
• Primitive de $u' \exp(u)$ : Si $f(x) = u'(x) \exp(u(x))$, alors une primitive est $\exp(u(x)) + C$. ==Formule : $\int u' e^u dx = e^u + C$== Exemple : $\int (-2x) \exp(-x^2) dx$. Ici $u(x) = -x^2$, donc $u'(x) = -2x$. La primitive est $\exp(-x^2) + C$.
• Primitive de $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ : Si $f(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$, alors une primitive est $\sqrt{u(x)} + C$. ==Formule : $\int \frac{u'}{2\sqrt{u}} dx = \sqrt{u} + C$== Exemple : $\int \frac{3x^2+1}{2\sqrt{x^3+x}} dx$. Ici $u(x) = x^3+x$, donc $u'(x) = 3x^2+1$. La primitive est $\sqrt{x^3+x} + C$.

De la même manière, on peut retrouver les primitives des fonctions trigonométriques composées.

• Primitive de $u' \cos(u)$ : Une primitive est $\sin(u(x)) + C$. ==Formule : $\int u' \cos(u) dx = \sin(u) + C$== Exemple : $\int 2 \cos(2x+ \pi/4) dx$. Ici $u(x) = 2x+\pi/4$, donc $u'(x) = 2$. La primitive est $\sin(2x+\pi/4) + C$.
• Primitive de $u' \sin(u)$ : Une primitive est $-\cos(u(x)) + C$. ==Formule : $\int u' \sin(u) dx = -\cos(u) + C$== Exemple : $\int (3) \sin(3x) dx$. Ici $u(x) = 3x$, donc $u'(x) = 3$. La primitive est $-\cos(3x) + C$.

Changement de variable simple : Parfois, on peut avoir une expression comme $\int \cos(2x) dx$. On voit que $u(x) = 2x$, mais la dérivée $u'(x)=2$ n'est pas présente. On peut l'introduire en compensant : $\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2} \int 2 \cos(2x) dx$. Maintenant, on a la forme $u' \cos(u)$, donc la primitive est $\frac{1}{2} \sin(2x) + C$.

La clé pour trouver des primitives est souvent de reconnaître une forme dérivée connue.

1. Identifier la structure : Est-ce que la fonction ressemble à $u'u^n$, $\frac{u'}{u}$, $u'e^u$, etc. ?
2. Définir $u(x)$ : Choisir la fonction "intérieure" $u(x)$.
3. Calculer $u'(x)$ : Dériver $u(x)$.
4. Ajuster les coefficients : Si $u'(x)$ n'est pas exactement présente, multiplier et diviser par une constante pour la faire apparaître.
5. Appliquer la formule : Utiliser la formule de primitive correspondante.
6. Vérifier par dérivation : Toujours dériver le résultat pour s'assurer qu'il correspond bien à la fonction de départ. Cette étape est cruciale pour éviter les erreurs.

Exemple : Trouver une primitive de $f(x) = x \exp(x^2)$.

1. Ressemble à $u'e^u$.
2. Posons $u(x) = x^2$.
3. Alors $u'(x) = 2x$.
4. Dans $f(x)$, on a $x \exp(x^2)$. Il nous manque un facteur 2. On écrit : $f(x) = \frac{1}{2} \cdot (2x) \exp(x^2)$.
5. Maintenant, c'est de la forme $\frac{1}{2} u' e^u$. Une primitive est $\frac{1}{2} e^{u(x)} + C$. Donc $F(x) = \frac{1}{2} \exp(x^2) + C$.
6. Vérification : $F'(x) = \left(\frac{1}{2} \exp(x^2)\right)' = \frac{1}{2} \cdot (2x) \exp(x^2) = x \exp(x^2) = f(x)$. C'est correct !