Géométrie dans l'espace : produit scalaire et vectoriel

Pour travailler dans l'espace, nous avons besoin d'un système de référence.

• Coordonnées cartésiennes : Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, tout point $M$ de l'espace est identifié par un triplet de nombres réels $(x, y, z)$, appelés ses coordonnées.

  • $x$ est l'abscisse, $y$ est l'ordonnée, et $z$ est la cote.
  • Le point $O$ est l'origine du repère, de coordonnées $(0, 0, 0)$.
  • Les axes sont mutuellement perpendiculaires.

• Vecteurs dans l'espace : Un vecteur $\vec{u}$ est défini par ses coordonnées $(x, y, z)$ dans le repère.

  • Si $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ sont deux points, alors les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.
  • La norme (ou longueur) d'un vecteur $\vec{u}(x, y, z)$ est donnée par $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

• Base orthonormée directe : Une base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est dite orthonormée si les vecteurs sont unitaires ($||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = ||\vec{k}|| = 1$) et mutuellement orthogonaux ($\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0$).

  • Elle est dite directe si elle respecte la règle du "tire-bouchon" ou de la "main droite". C'est un concept important pour le produit vectoriel.

Les opérations sur les vecteurs dans l'espace sont similaires à celles dans le plan.

• Addition et soustraction de vecteurs : Si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, alors :

  • $\vec{u} + \vec{v} = (x + x', y + y', z + z')$
  • $\vec{u} - \vec{v} = (x - x', y - y', z - z')$

• Multiplication par un scalaire : Si $k$ est un nombre réel (un scalaire) et $\vec{u}(x, y, z)$, alors :

  • $k \vec{u} = (kx, ky, kz)$

• Combinaison linéaire : Un vecteur $\vec{w}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s'il existe des scalaires $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

  • Trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sont coplanaires si l'un d'eux est une combinaison linéaire des deux autres. Cela signifie qu'ils appartiennent à un même plan (s'ils ont la même origine).

Décrire des droites et des plans est essentiel.

• Représentation paramétrique d'une droite : Une droite $D$ passant par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ peut être décrite par : $\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}$ Chaque valeur de $t$ correspond à un point de la droite.

• Équation cartésienne d'un plan : Un plan $P$ peut être défini par une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$, où $a, b, c, d$ sont des réels et $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$.

  • Le vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan, c'est-à-dire qu'il est orthogonal à tous les vecteurs contenus dans le plan.

• Vecteur normal à un plan : Si un plan a pour équation $ax + by + cz + d = 0$, alors $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal à ce plan.

  • Réciproquement, si un plan passe par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et a pour vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$, alors tout point $M(x, y, z)$ de ce plan vérifie $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$. Cela mène à l'équation $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$.

Le produit scalaire de deux vecteurs donne un nombre (un scalaire), pas un vecteur.

• Définition géométrique : Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls, le produit scalaire est défini par : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$ où $\theta$ est l'angle non orienté entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $0 \le \theta \le \pi$).

  • Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est 0.
  • Il permet de calculer l'angle entre deux vecteurs.

• Définition analytique (coordonnées) : Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, alors : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$

  • Cette formule est très pratique pour les calculs.

• Propriétés :

  • Commutativité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
  • Linéarité :
    • $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}$
    • $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
  • Produit scalaire d'un vecteur par lui-même : $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$. On note aussi $\vec{u}^2$.
  • Identités remarquables :
    • $(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2$
    • $(\vec{u} - \vec{v})^2 = ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2$
    • $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2$

Le produit scalaire est un outil polyvalent.

• Calcul de longueurs et d'angles :

  • Longueur : $||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$.
  • Angle : L'angle $\theta$ entre deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls est donné par : $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}$ C'est une application directe de la définition géométrique.

• Orthogonalité de vecteurs : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

  • C'est un critère fondamental pour la perpendicularité.

• Projection orthogonale : Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $D$ ou un plan $P$ est le point $H$ de $D$ (ou $P$) tel que $(MH)$ est perpendiculaire à $D$ (ou $P$).

  • Le produit scalaire est utile pour déterminer les coordonnées de $H$. Par exemple, pour projeter $\vec{u}$ sur $\vec{v}$, la longueur de la projection est $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{v}||}$.

Le produit scalaire simplifie l'écriture de certaines équations géométriques.

• Plan passant par un point et de vecteur normal : Un plan $P$ passant par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et dont $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal est l'ensemble des points $M(x, y, z)$ tels que $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$.

  • Cela donne l'équation : $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$, qui peut se réécrire sous la forme $ax + by + cz + d = 0$.

• Équation cartésienne d'une sphère : Une sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega(x_\Omega, y_\Omega, z_\Omega)$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M(x, y, z)$ tels que $\Omega M = R$.

  • En utilisant la formule de distance, on obtient : $(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 + (z - z_\Omega)^2 = R^2$.
  • On peut aussi la développer sous la forme $x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$.

• Position relative d'un plan et d'une sphère : Pour étudier l'intersection d'un plan $P$ et d'une sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$, on calcule la distance $d(\Omega, P)$ du centre de la sphère au plan.

  • Si $d(\Omega, P) > R$, le plan et la sphère n'ont pas d'intersection.
  • Si $d(\Omega, P) = R$, le plan est tangent à la sphère en un unique point.
  • Si $d(\Omega, P) < R$, le plan coupe la sphère selon un cercle de rayon $r = \sqrt{R^2 - d(\Omega, P)^2}$. Le centre de ce cercle est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan.

Le produit vectoriel est noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$ ou $\vec{u} \times \vec{v}$.

• Définition géométrique : Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires :

  • Norme : $||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \sin(\theta)$, où $\theta$ est l'angle non orienté entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
    • La norme du produit vectoriel représente l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
  • Direction : Le vecteur $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est orthogonal à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$. Il est donc normal au plan formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
  • Sens : Le sens est donné par la règle du "tire-bouchon" ou de la "main droite" (si $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})$ forme une base directe).
  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors $\sin(\theta) = 0$, et donc $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$.

• Définition analytique (coordonnées) : Dans un repère orthonormé direct, si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, alors : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} yz' - zy' \\ zx' - xz' \\ xy' - yx' \end{pmatrix}$

  • C'est une formule à maîtriser par cœur ou à retrouver avec un déterminant $3 \times 3$ en utilisant la règle de Sarrus.
  • Exemple: $\vec{i} \wedge \vec{j} = \vec{k}$, $\vec{j} \wedge \vec{k} = \vec{i}$, $\vec{k} \wedge \vec{i} = \vec{j}$.

• Propriétés :

  • Anti-commutativité : $\vec{u} \wedge \vec{v} = - (\vec{v} \wedge \vec{u})$
  • Bilinéarité :
    • $(\vec{u} + \vec{v}) \wedge \vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{w} + \vec{v} \wedge \vec{w}$
    • $(k\vec{u}) \wedge \vec{v} = k(\vec{u} \wedge \vec{v})$
  • $\vec{u} \wedge \vec{u} = \vec{0}$ (un vecteur est colinéaire à lui-même).

Le produit vectoriel est idéal pour les calculs d'aires et la détermination de vecteurs normaux.

• Calcul d'aires de parallélogrammes et triangles :

  • L'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ est $A_{parallélogramme} = ||\vec{AB} \wedge \vec{AC}||$.
  • L'aire du triangle $ABC$ est $A_{triangle} = \frac{1}{2} ||\vec{AB} \wedge \vec{AC}||$.
  • C'est une méthode très efficace pour calculer des aires en 3D.

• Vecteur normal à un plan : Si un plan est défini par trois points non alignés $A, B, C$, alors les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont dans ce plan. Leur produit vectoriel $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$ est un vecteur normal au plan.

  • On peut ensuite utiliser ce vecteur normal pour trouver l'équation cartésienne du plan.

• Alignement de points et coplanarité :

  • Alignement : Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, ce qui est équivalent à $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \vec{0}$.
  • Coplanarité : Quatre points $A, B, C, D$ sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ sont coplanaires. Cela se traduit par le fait que le vecteur $\vec{AD}$ est une combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, ou, de manière équivalente, que le produit mixte $(\vec{AB} \wedge \vec{AC}) \cdot \vec{AD} = 0$.

Le produit vectoriel offre des méthodes alternatives pour décrire des droites et des plans.

• Équation cartésienne d'un plan à partir de trois points : Si $A, B, C$ sont trois points non alignés, on peut déterminer un vecteur normal $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$. Ensuite, le plan a pour équation $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$, où $M(x, y, z)$ est un point courant du plan.

• Intersection de deux plans : L'intersection de deux plans non parallèles est une droite.

  • Si $P_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ et $P_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$, alors la droite d'intersection $D$ a pour vecteur directeur $\vec{u} = \vec{n_1} \wedge \vec{n_2}$, où $\vec{n_1}(a_1, b_1, c_1)$ et $\vec{n_2}(a_2, b_2, c_2)$ sont les vecteurs normaux des plans.
  • Pour trouver un point de la droite, on peut fixer une coordonnée (par exemple $z=0$) et résoudre le système de deux équations à deux inconnues.

• Distance d'un point à une droite : La distance d'un point $M$ à une droite $D$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est donnée par la formule : $d(M, D) = \frac{||\vec{AM} \wedge \vec{u}||}{||\vec{u}||}$

  • Cette formule découle de l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{AM}$ et $\vec{u}$.

Le calcul des distances est une application directe du produit scalaire et vectoriel.

• Distance d'un point à un plan : La distance d'un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ à un plan $P$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$ est : $d(M_0, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

  • Cette formule est fondamentale et doit être connue.

• Distance entre deux droites non coplanaires : C'est un problème plus avancé. Si $D_1$ passe par $A_1$ avec vecteur directeur $\vec{u_1}$ et $D_2$ passe par $A_2$ avec vecteur directeur $\vec{u_2}$, la distance est donnée par la valeur absolue du produit mixte divisée par la norme du produit vectoriel des vecteurs directeurs : $d(D_1, D_2) = \frac{|\det(\vec{A_1A_2}, \vec{u_1}, \vec{u_2})|}{||\vec{u_1} \wedge \vec{u_2}||}$

  • Le produit mixte $(\vec{A_1A_2} \wedge \vec{u_1}) \cdot \vec{u_2}$ est aussi noté $\det(\vec{A_1A_2}, \vec{u_1}, \vec{u_2})$.

• Distance entre deux plans parallèles : Si $P_1: ax + by + cz + d_1 = 0$ et $P_2: ax + by + cz + d_2 = 0$ sont deux plans parallèles, la distance entre eux peut être calculée en prenant un point $M_0$ quelconque sur $P_1$ et en calculant la distance de $M_0$ à $P_2$. $d(P_1, P_2) = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Comprendre comment les objets géométriques s'intersectent est crucial.

• Intersection droite-plan : Pour trouver l'intersection d'une droite $D$ (représentation paramétrique) et d'un plan $P$ (équation cartésienne) :

  1. Substituer les expressions paramétriques de $x, y, z$ de la droite dans l'équation du plan.
  2. Résoudre l'équation résultante pour trouver la valeur du paramètre $t$.
  3. Si une solution unique pour $t$ est trouvée, il y a un point d'intersection unique.
  4. Si l'équation est toujours vraie (ex: $0=0$), la droite est incluse dans le plan.
  5. Si l'équation est impossible (ex: $5=0$), la droite est strictement parallèle au plan.

• Intersection de trois plans : L'intersection de trois plans peut être :

  • Un point unique (système de 3 équations à 3 inconnues avec une solution unique).
  • Une droite (les trois plans se coupent le long d'une droite, ou deux sont parallèles et le troisième est sécant).
  • Le plan entier (les trois plans sont confondus).
  • L'ensemble vide (plans parallèles, ou deux plans parallèles coupés par un troisième, ou trois plans qui se coupent deux à deux sans point commun).

• Perpendicularité et parallélisme :

  • Deux droites : $D_1$ de vecteur directeur $\vec{u_1}$ et $D_2$ de vecteur directeur $\vec{u_2}$.
    • Parallèles si $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires ($\vec{u_1} \wedge \vec{u_2} = \vec{0}$).
    • Perpendiculaires si $\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0$.
  • Deux plans : $P_1$ de vecteur normal $\vec{n_1}$ et $P_2$ de vecteur normal $\vec{n_2}$.
    • Parallèles si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires.
    • Perpendiculaires si $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
  • Droite et plan : $D$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et $P$ de vecteur normal $\vec{n}$.
    • $D$ est parallèle à $P$ si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$.
    • $D$ est perpendiculaire à $P$ si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires ($\vec{u} \wedge \vec{n} = \vec{0}$).

Ces problèmes demandent souvent de combiner plusieurs techniques.

• Recherche de lieux géométriques : Déterminer l'ensemble des points $M$ qui vérifient une certaine propriété géométrique. Par exemple, l'ensemble des points $M$ équidistants de deux points $A$ et $B$ est le plan médiateur du segment $[AB]$. Son équation peut être trouvée en utilisant le produit scalaire : $\vec{AM} \cdot \vec{BM} = 0$ pour le plan médiateur, ou $\Omega M^2 = R^2$ pour une sphère.

• Optimisation de distances : Trouver le point ou la configuration qui minimise une distance. Par exemple, trouver le point sur un plan le plus proche d'un point donné (c'est le projeté orthogonal).

• Démonstrations géométriques par le calcul vectoriel : Utiliser les propriétés des produits scalaire et vectoriel pour prouver des théorèmes géométriques. Par exemple, démontrer que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires en montrant que leur produit scalaire est nul. Le calcul vectoriel offre une alternative puissante aux méthodes de géométrie euclidienne pure.

Ce chapitre est dense mais essentiel. Prends le temps de bien comprendre chaque définition et chaque formule. Entraîne-toi avec de nombreux exercices pour maîtriser ces outils !