Intégration

Définition d'une primitive Une fonction $F$ est appelée une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x \in I$, on a $F'(x) = f(x)$.

Exemple : Si $f(x) = 2x$, alors $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x)$ car $F'(x) = 2x$.

Existence et unicité à une constante près Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors elle admet des primitives sur cet intervalle. Si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de la même fonction $f$ sur $I$, alors leur différence est une constante. Autrement dit, il existe une constante réelle $C$ telle que pour tout $x \in I$, $F_1(x) = F_2(x) + C$. Cela signifie qu'une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante. On note souvent l'ensemble des primitives de $f$ par $\int f(x) dx$.

Exemple : Pour $f(x) = 2x$, les primitives sont de la forme $F(x) = x^2 + C$, où $C$ est une constante réelle.

Primitives des fonctions usuelles Il est essentiel de connaître par cœur les primitives des fonctions usuelles, qui sont simplement l'inverse des formules de dérivation.

Les propriétés des primitives découlent directement de celles des dérivées.

Linéarité des primitives La linéarité est une propriété très importante qui simplifie le calcul des primitives de fonctions complexes.

• Primitive d'une somme : Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$ sur un intervalle $I$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$. $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$
• Primitive d'un produit par une constante : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et $k$ est une constante réelle, alors $kF$ est une primitive de $kf$ sur $I$. $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$

Ces deux propriétés peuvent être combinées : $\int (k \cdot f(x) + l \cdot g(x)) dx = k \cdot \int f(x) dx + l \cdot \int g(x) dx$

Exemple : Cherchons une primitive de $f(x) = 3x^2 + 5\cos(x)$. Une primitive de $x^2$ est $\frac{x^3}{3}$. Une primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$. Donc, une primitive de $f(x)$ est $F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 5 \cdot \sin(x) + C = x^3 + 5\sin(x) + C$.

Aire sous la courbe Historiquement, la notion d'intégrale est née du besoin de calculer des aires de surfaces complexes. Pour une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a, b]$, l'intégrale définie de $f$ sur cet intervalle représente l'aire de la région délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$.

Définition de l'intégrale comme aire Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a, b]$. L'intégrale définie de $f$ de $a$ à $b$, notée $\int_a^b f(x) dx$, est l'aire de la surface délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

• $a$ est la borne inférieure de l'intégrale.
• $b$ est la borne supérieure de l'intégrale.
• $f(x) dx$ indique que l'intégration se fait par rapport à la variable $x$.

L'intégrale définie est un nombre réel, contrairement à la primitive qui est une fonction (plus une constante).

Unité d'aire L'aire calculée par l'intégrale est exprimée en unités d'aire (u.a.). L'unité d'aire est déterminée par les unités choisies sur les axes du repère. Si l'unité sur l'axe des abscisses est 1 cm et sur l'axe des ordonnées est 1 cm, alors 1 u.a. = 1 cm². Si l'unité sur l'axe des abscisses est 2 cm et sur l'axe des ordonnées est 1 cm, alors 1 u.a. = 2 cm².

Exemple : Calculer l'aire sous la courbe de $f(x) = x$ entre $x=0$ et $x=2$. Graphiquement, il s'agit d'un triangle de base 2 et de hauteur 2, donc l'aire est $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ u.a. Nous verrons comment retrouver ce résultat avec le calcul intégral.

Ce théorème établit le lien crucial entre les primitives et le calcul des intégrales définies. C'est l'un des résultats les plus importants en mathématiques.

Lien entre intégrale et primitive Le théorème fondamental de l'analyse stipule que l'intégration et la dérivation sont des opérations inverses l'une de l'autre. Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$, et si $F$ est n'importe quelle primitive de $f$ sur $I$, alors l'intégrale définie de $f$ de $a$ à $b$ est donnée par : $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Calcul d'intégrale à l'aide des primitives Pour calculer $\int_a^b f(x) dx$ :

1. Trouver une primitive $F(x)$ de $f(x)$. (La constante $C$ n'est pas nécessaire car elle s'annulera : $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$).
2. Évaluer $F(b)$ et $F(a)$.
3. Calculer la différence $F(b) - F(a)$.

Notation de l'intégrale définie On utilise la notation suivante pour faciliter le calcul : $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

Exemple : Calculons $\int_0^2 x \, dx$.

1. Une primitive de $f(x) = x$ est $F(x) = \frac{x^2}{2}$.
2. $F(2) = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
3. $F(0) = \frac{0^2}{2} = 0$.
4. $\int_0^2 x \, dx = F(2) - F(0) = 2 - 0 = 2$. Ce résultat confirme l'aire du triangle calculée précédemment.

Autre exemple : Calculer $\int_1^e \frac{1}{x} dx$.

1. Une primitive de $f(x) = \frac{1}{x}$ est $F(x) = \ln|x|$. Comme $x \in [1, e]$, $x > 0$, donc $F(x) = \ln(x)$.
2. $\int_1^e \frac{1}{x} dx = [\ln(x)]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

La linéarité est une propriété fondamentale qui découle directement de la linéarité des primitives.

• Intégrale d'une somme : L'intégrale d'une somme de fonctions est la somme des intégrales de ces fonctions. $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
• Intégrale d'un produit par une constante : L'intégrale d'une fonction multipliée par une constante est égale à la constante multipliée par l'intégrale de la fonction. $\int_a^b k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_a^b f(x) dx$

Exemples d'application Ces propriétés permettent de décomposer des intégrales complexes en intégrales plus simples. Exemple : Calculer $\int_0^1 (3x^2 - 2e^x) dx$. $\int_0^1 (3x^2 - 2e^x) dx = \int_0^1 3x^2 dx - \int_0^1 2e^x dx$ $= 3 \int_0^1 x^2 dx - 2 \int_0^1 e^x dx$ $= 3 \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 - 2 [e^x]_0^1$ $= 3 \left(\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right) - 2 (e^1 - e^0)$ $= 3 \left(\frac{1}{3}\right) - 2 (e - 1)$ $= 1 - 2e + 2 = 3 - 2e$.

La relation de Chasles permet de "découper" un intervalle d'intégration en plusieurs sous-intervalles.

Décomposition d'un intervalle d'intégration Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant $a$, $b$ et $c$. Alors : $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ où $c$ est un point quelconque entre $a$ et $b$ (ou même en dehors, la formule reste valable).

Calcul d'intégrales sur des intervalles adjacents Cette propriété est particulièrement utile lorsque la fonction $f$ est définie par morceaux, ou lorsque l'on doit calculer une aire totale en décomposant la région.

Exemple : Si $f(x) = |x|$, calculer $\int_{-1}^2 |x| dx$. La fonction $|x|$ est définie par $x$ si $x \ge 0$ et $-x$ si $x < 0$. L'intervalle $[-1, 2]$ contient $0$, donc on peut utiliser la relation de Chasles : $\int_{-1}^2 |x| dx = \int_{-1}^0 (-x) dx + \int_0^2 x dx$ $= \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 + \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2$ $= \left(-\frac{0^2}{2} - (-\frac{(-1)^2}{2})\right) + \left(\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right)$ $= \left(0 - (-\frac{1}{2})\right) + \left(\frac{4}{2} - 0\right)$ $= \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

Interprétation graphique Graphiquement, la relation de Chasles signifie que l'aire totale sous la courbe sur un intervalle $[a, b]$ est la somme des aires sur des sous-intervalles adjacents. L'aire totale est la somme des parties.

Ces propriétés sont essentielles pour encadrer des intégrales ou déterminer leur signe.

Intégrale d'une fonction positive Si $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in [a, b]$ (avec $a \le b$), alors l'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est positive ou nulle : $\int_a^b f(x) dx \ge 0$ C'est logique, car l'intégrale représente une aire, qui est toujours positive.

Remarque : Si $b < a$, alors $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$. Dans ce cas, si $f(x) \ge 0$, l'intégrale sera négative. Il faut toujours faire attention à l'ordre des bornes.

Comparaison d'intégrales Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$ (avec $a \le b$), alors : $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$ Cette propriété est très intuitive : si une courbe est toujours en dessous d'une autre, l'aire sous la première sera inférieure ou égale à l'aire sous la seconde.

Encadrement d'intégrales Si une fonction $f$ est bornée sur $[a, b]$, c'est-à-dire s'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m \le f(x) \le M$ pour tout $x \in [a, b]$ (avec $a \le b$), alors : $m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a)$ C'est un moyen d'estimer la valeur d'une intégrale sans la calculer précisément. $m(b-a)$ et $M(b-a)$ représentent les aires de rectangles de hauteur $m$ et $M$ respectivement, sur l'intervalle $[a,b]$.

Exemple : Encadrons $\int_0^1 e^{-x^2} dx$. La fonction $f(x) = e^{-x^2}$ est continue sur $[0, 1]$. Pour $x \in [0, 1]$, on a $0 \le x^2 \le 1$. Donc $-1 \le -x^2 \le 0$. En appliquant la fonction exponentielle (qui est croissante) : $e^{-1} \le e^{-x^2} \le e^0$. Soit $\frac{1}{e} \le e^{-x^2} \le 1$. Ici, $m = \frac{1}{e}$ et $M = 1$. L'intervalle est $[0, 1]$, donc $b-a = 1-0 = 1$. $\frac{1}{e}(1) \le \int_0^1 e^{-x^2} dx \le 1(1)$ $\frac{1}{e} \le \int_0^1 e^{-x^2} dx \le 1$. Donc, l'intégrale est comprise entre environ $0.368$ et $1$.

La valeur moyenne est une application pratique de l'intégrale, donnant une idée de la valeur "typique" d'une fonction sur un intervalle.

Définition de la valeur moyenne Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ (avec $a \neq b$). La valeur moyenne de $f$ sur cet intervalle, notée $\bar{f}$ ou $\mu$, est définie par : $\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$

Interprétation graphique et physique

• Graphiquement : La valeur moyenne $\bar{f}$ est la hauteur d'un rectangle de base $(b-a)$ qui aurait la même aire que l'aire sous la courbe de $f$ sur l'intervalle $[a, b]$. C'est une sorte de "hauteur moyenne" de la fonction.
• Physiquement : Si $f(t)$ représente une grandeur variable au cours du temps $t$ (par exemple, la vitesse d'un objet), alors la valeur moyenne $\bar{f}$ représente la vitesse constante qu'aurait l'objet pour parcourir la même distance sur le même intervalle de temps.

Théorème de la moyenne Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$, alors il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \bar{f}$. Autrement dit, la fonction atteint sa valeur moyenne au moins une fois sur l'intervalle.

Exemple : Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[0, 3]$. $\bar{f} = \frac{1}{3-0} \int_0^3 x^2 dx$ $= \frac{1}{3} \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3$ $= \frac{1}{3} \left(\frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right)$ $= \frac{1}{3} \left(\frac{27}{3} - 0\right)$ $= \frac{1}{3} \times 9 = 3$. La valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$ est $3$. On peut vérifier que $f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 = 3$, et $\sqrt{3} \in [0, 3]$.

Cette technique consiste à reconnaître des formes de fonctions qui sont la dérivée d'une fonction composée, et donc à retrouver directement la primitive. C'est l'application inverse de la règle de dérivation en chaîne.

Reconnaissance de formes $u'u^n$ Si l'on a une fonction de la forme $u'(x) \cdot (u(x))^n$, sa primitive est $\frac{(u(x))^{n+1}}{n+1} + C$, pour $n \neq -1$. Exemple : Calculer $\int (2x+1)(x^2+x+3)^4 dx$. Posons $u(x) = x^2+x+3$. Alors $u'(x) = 2x+1$. On a bien la forme $u'u^4$. La primitive est $\frac{(x^2+x+3)^{4+1}}{4+1} + C = \frac{(x^2+x+3)^5}{5} + C$.

Reconnaissance de formes $u'/u$ Si l'on a une fonction de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$, sa primitive est $\ln|u(x)| + C$. Condition : $u(x) \neq 0$. Exemple : Calculer $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$. Posons $u(x) = x^2+1$. Alors $u'(x) = 2x$. On a la forme $\frac{u'}{u}$. La primitive est $\ln|x^2+1| + C$. Comme $x^2+1$ est toujours positif, on peut écrire $\ln(x^2+1) + C$.

Reconnaissance de formes $u'e^u$ Si l'on a une fonction de la forme $u'(x) \cdot e^{u(x)}$, sa primitive est $e^{u(x)} + C$. Exemple : Calculer $\int x e^{x^2} dx$. Posons $u(x) = x^2$. Alors $u'(x) = 2x$. La fonction à intégrer est $x e^{x^2} = \frac{1}{2} (2x) e^{x^2}$. On a la forme $\frac{1}{2} u'e^u$. La primitive est $\frac{1}{2} e^{x^2} + C$.

L'intégration par parties est une technique très puissante, dérivée de la formule de dérivation d'un produit. Elle est souvent utilisée lorsque l'intégrande est un produit de deux fonctions de types différents (par exemple, polynôme et exponentielle, ou polynôme et logarithme).

Formule de l'IPP Soient $u(x)$ et $v(x)$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a, b]$, et dont les dérivées $u'(x)$ et $v'(x)$ sont continues. La formule de l'intégration par parties est : $\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$ On la retient souvent sous la forme : $\int u'v = [uv] - \int uv'$

Choix de $u$ et $v'$ Le succès de l'IPP dépend du bon choix de $u$ et $v'$. L'objectif est de rendre la nouvelle intégrale $\int uv'$ plus simple à calculer que l'intégrale de départ $\int u'v$. Une règle mnémotechnique utile pour le choix de $v$ (la fonction à dériver) et $u'$ (la fonction à intégrer) est "ALPES" ou "LIATE" (selon les préférences) :

• A : Arcsin, Arccos, Arctan
• L : Logarithmes (ln)
• P : Polynômes ($x^n$)
• E : Exponentielles ($e^x$)
• S : Sinus, Cosinus

On choisit généralement $v$ comme la fonction qui apparaît le plus haut dans cette liste, car sa dérivée est souvent plus simple. $u'$ sera alors la fonction restante.

Exemple : Calculer $\int_0^1 x e^x dx$. On a un polynôme ($x$) et une exponentielle ($e^x$). Selon ALPES, le polynôme est avant l'exponentielle, donc on choisit $v(x) = x$. Posons :

• $v(x) = x \implies v'(x) = 1$
• $u'(x) = e^x \implies u(x) = e^x$

Appliquons la formule : $\int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x dx$ $= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - [e^x]_0^1$ $= e - (e^1 - e^0)$ $= e - (e - 1)$ $= 1$.

Applications courantes L'IPP est très utile pour :

• $\int P(x) e^{ax} dx$
• $\int P(x) \sin(ax) dx$
• $\int P(x) \cos(ax) dx$
• $\int P(x) \ln(x) dx$
• $\int \ln(x) dx$ (on pose $P(x)=1$)
• $\int \arctan(x) dx$ (on pose $P(x)=1$)

Le changement de variable est une technique qui consiste à remplacer la variable d'intégration par une nouvelle variable, souvent pour transformer l'intégrale en une forme plus facile à calculer. C'est l'inverse de la règle de dérivation des fonctions composées.

Principe du changement de variable Soit une intégrale $\int_a^b f(x) dx$. On pose une nouvelle variable $t = \phi(x)$. Pour que la méthode fonctionne, il faut :

1. Exprimer $x$ en fonction de $t$ (si possible, $x = \phi^{-1}(t)$).
2. Calculer $dx$ en fonction de $dt$. Si $t = \phi(x)$, alors $dt = \phi'(x) dx$. Donc $dx = \frac{dt}{\phi'(x)}$.
3. Modifier les bornes d'intégration : si $x=a$, alors $t = \phi(a)$. Si $x=b$, alors $t = \phi(b)$.

La formule devient : $\int_a^b f(x) dx = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(\phi^{-1}(t)) \cdot (\phi^{-1})'(t) dt$ Ou plus simplement, en reconnaissant $f(x) dx = f(\phi^{-1}(t)) \frac{dt}{\phi'(x)}$, et en s'assurant que $\phi'(x)$ est bien présent dans le dénominateur ou se simplifie.

Modification des bornes d'intégration C'est une étape cruciale pour les intégrales définies. Il ne faut jamais oublier de changer les bornes pour la nouvelle variable. Si l'intégrale est indéfinie (calcul de primitive), on revient à la variable initiale à la fin.

Exemple : Calculer $\int_0^1 (2x+1)^3 dx$. Posons $t = 2x+1$.

1. Quand $x=0$, $t = 2(0)+1 = 1$.
2. Quand $x=1$, $t = 2(1)+1 = 3$.
3. Calculons $dt$ : $dt = (2x+1)' dx = 2 dx$. Donc $dx = \frac{1}{2} dt$.

Substituons dans l'intégrale : $\int_0^1 (2x+1)^3 dx = \int_1^3 t^3 \left(\frac{1}{2} dt\right)$ $= \frac{1}{2} \int_1^3 t^3 dt$ $= \frac{1}{2} \left[\frac{t^4}{4}\right]_1^3$ $= \frac{1}{2} \left(\frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4}\right)$ $= \frac{1}{2} \left(\frac{81}{4} - \frac{1}{4}\right)$ $= \frac{1}{2} \left(\frac{80}{4}\right) = \frac{1}{2} \times 20 = 10$.

Exemples d'application Le changement de variable est très utile pour les fonctions composées :

• $\int f(ax+b) dx$ (poser $t=ax+b$)
• $\int \frac{g'(x)}{g(x)} dx$ (poser $t=g(x)$)
• $\int g'(x) e^{g(x)} dx$ (poser $t=g(x)$)
• $\int g'(x) (g(x))^n dx$ (poser $t=g(x)$)

C'est l'application la plus intuitive et la plus directe des intégrales.

Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

• Si $f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$, l'aire est $\mathcal{A} = \int_a^b f(x) dx$.
• Si $f(x) \le 0$ sur $[a, b]$, l'aire est $\mathcal{A} = \int_a^b -f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx$. L'intégrale sera négative, mais une aire est toujours positive, d'où le signe moins.
• Si $f(x)$ change de signe sur $[a, b]$, il faut décomposer l'intégrale en plusieurs parties en fonction des intervalles où la fonction est positive ou négative. L'aire totale est la somme des valeurs absolues des intégrales sur chaque sous-intervalle. $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$.

Exemple : Calculer l'aire entre la courbe de $f(x) = x^2-1$ et l'axe des abscisses sur $[0, 2]$. La fonction $f(x) = x^2-1$ est négative sur $[0, 1]$ (car $x^2 \le 1$) et positive sur $[1, 2]$ (car $x^2 \ge 1$). Aire = $\int_0^2 |x^2-1| dx = \int_0^1 -(x^2-1) dx + \int_1^2 (x^2-1) dx$ $= \int_0^1 (1-x^2) dx + \int_1^2 (x^2-1) dx$ $= \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_1^2$ $= \left((1 - \frac{1}{3}) - (0-0)\right) + \left((\frac{2^3}{3} - 2) - (\frac{1^3}{3} - 1)\right)$ $= \frac{2}{3} + \left((\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1)\right)$ $= \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})\right)$ $= \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$ u.a.

Aire entre deux courbes L'aire $\mathcal{A}$ de la région délimitée par les courbes de deux fonctions continues $f(x)$ et $g(x)$ sur un intervalle $[a, b]$ est donnée par : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ Si $f(x) \ge g(x)$ sur tout l'intervalle $[a, b]$, alors l'aire est simplement $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$. Il est crucial de déterminer quelle fonction est au-dessus de l'autre sur l'intervalle d'intégration, ou de décomposer l'intégrale si les courbes se croisent.

Exemple : Calculer l'aire entre $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ sur $[0, 1]$. Sur $[0, 1]$, on a $x \ge x^2$. $\mathcal{A} = \int_0^1 (x - x^2) dx$ $= \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1$ $= \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - (0-0)$ $= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$ u.a.

Les intégrales permettent également de calculer des volumes de solides. L'application la plus courante en Terminale est le volume de solides de révolution.

Volume de solides de révolution Un solide de révolution est obtenu en faisant tourner une surface plane autour d'un axe. Si la surface est délimitée par la courbe de $y=f(x)$, l'axe des abscisses, et les droites $x=a$ et $x=b$, et qu'on la fait tourner autour de l'axe des abscisses, le volume du solide de révolution est donné par la méthode des disques : $V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx$ Cette formule s'applique lorsque $f(x)$ est continue et positive (ou négative, car $(f(x))^2$ sera toujours positif).

Exemple : Calculer le volume de la sphère de rayon $R$. Une sphère de rayon $R$ peut être générée en faisant tourner un demi-cercle d'équation $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ autour de l'axe des abscisses, sur l'intervalle $[-R, R]$. Ici, $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, donc $(f(x))^2 = R^2 - x^2$. $V = \pi \int_{-R}^R (R^2 - x^2) dx$ $= \pi \left[R^2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-R}^R$ $= \pi \left(\left(R^2(R) - \frac{R^3}{3}\right) - \left(R^2(-R) - \frac{(-R)^3}{3}\right)\right)$ $= \pi \left(\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right)$ $= \pi \left(\frac{2R^3}{3} - (-\frac{2R^3}{3})\right)$ $= \pi \left(\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3}\right)$ $= \pi \frac{4R^3}{3} = \frac{4}{3}\pi R^3$. On retrouve la formule classique du volume d'une sphère.

Les intégrales sont omniprésentes dans de nombreux domaines scientifiques.

Travail d'une force En physique, si une force $F(x)$ varie le long d'un déplacement sur l'axe des $x$ de $a$ à $b$, le travail $W$ effectué par cette force est donné par : $W = \int_a^b F(x) dx$ Exemple : Le travail d'un ressort qui suit la loi de Hooke $F(x) = kx$ (où $k$ est la constante de raideur) pour l'étirer de $x_1$ à $x_2$ est $W = \int_{x_1}^{x_2} kx dx = k \left[\frac{x^2}{2}\right]_{x_1}^{x_2} = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$.

Quantité de matière En chimie ou en biologie, si la concentration d'une substance varie dans l'espace ou le temps, les intégrales permettent de calculer la quantité totale de cette substance. Si $C(x)$ est la concentration volumique d'une substance le long d'une section d'un tube de longueur $L$, la quantité totale de substance dans le tube peut être calculée par une intégrale.

Probabilités (densités de probabilité) En probabilités, pour les variables aléatoires continues, la probabilité qu'une variable aléatoire $X$ prenne une valeur dans un intervalle $[a, b]$ est donnée par l'intégrale de sa fonction de densité de probabilité $f(x)$ sur cet intervalle : $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx$ La fonction de densité de probabilité $f(x)$ doit satisfaire deux conditions : $f(x) \ge 0$ pour tout $x$, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$. Exemple : Pour une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0, 1]$, la densité est $f(x)=1$ pour $x \in [0,1]$ et $0$ ailleurs. La probabilité $P(0.2 \le X \le 0.5)$ est $\int_{0.2}^{0.5} 1 dx = [x]_{0.2}^{0.5} = 0.5 - 0.2 = 0.3$.

Les intégrales sont donc un outil indispensable pour modéliser et résoudre des problèmes dans le monde réel.