La continuite

La continuité est une propriété fondamentale des fonctions en mathématiques. Intuitivement, une fonction est continue si l'on peut tracer sa courbe représentative sans jamais lever le crayon de la feuille. Il n'y a pas de "saut", de "trou" ou de "cassure" dans le tracé.

Exemples de fonctions continues usuelles :

• Les fonctions affines : $f(x) = ax + b$ (ex: $f(x) = 2x - 3$)
• Les fonctions polynomiales : $f(x) = x^2 - 4x + 1$
• Les fonctions racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$ (sur son domaine de définition $[0; +\infty[$)
• Les fonctions sinus et cosinus : $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$
• La fonction exponentielle : $f(x) = e^x$
• La fonction logarithme népérien : $f(x) = \ln(x)$ (sur son domaine de définition $]0; +\infty[$)

Exemples de fonctions non continues :

• La fonction partie entière : $E(x)$ (présente des sauts à chaque entier)
• La fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$ n'est pas continue en $x=0$ (elle n'est pas définie en ce point et tend vers $\pm \infty$)
• Les fonctions définies par morceaux avec des "sauts". Par exemple : $f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x < 1 \\ 2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ Cette fonction présente un saut en $x=1$.

Une fonction $f$ est dite continue en un point $a$ de son domaine de définition si la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ existe et est égale à la valeur de la fonction en ce point.

Formellement, $f$ est continue en $a$ si et seulement si : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Cela signifie trois choses :

1. $f(a)$ doit être définie (le point $a$ appartient au domaine de définition de $f$).
2. La limite $\lim_{x \to a} f(x)$ doit exister et être finie.
3. Ces deux valeurs doivent être égales.

Exemple : Soit la fonction $f(x) = x^2 + 1$. Pour montrer qu'elle est continue en $x=2$ :

1. $f(2) = 2^2 + 1 = 5$.
2. $\lim_{x \to 2} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5$.
3. Puisque $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 5$, la fonction $f$ est continue en $x=2$.

Contre-exemple : Reprenons la fonction définie par morceaux : $f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x < 1 \\ 2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ Est-elle continue en $x=1$ ?

1. $f(1) = 2$.
2. Calculons les limites à gauche et à droite :
   • $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$.
   • $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 2 = 2$. Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc $\lim_{x \to 1} f(x)$ n'existe pas. La fonction n'est pas continue en $x=1$.

Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Il y a quelques subtilités pour les bornes de l'intervalle :

• Si l'intervalle est ouvert $]a, b[$, $f$ est continue sur $]a, b[$ si elle est continue en tout point $x \in ]a, b[$.
• Si l'intervalle est fermé $[a, b]$, $f$ est continue sur $[a, b]$ si :
  • Elle est continue sur $]a, b[$.
  • Elle est continue à droite en $a$ : $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
  • Elle est continue à gauche en $b$ : $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.
• Pour les intervalles semi-ouverts (ex: $[a, b[$ ou $]a, b]$), on adapte la définition en conséquence. Pour $[a, b[$, il faut la continuité à droite en $a$.

Rappel important : Toutes les fonctions usuelles (polynomiales, rationnelles, trigonométriques, exponentielle, logarithme) sont continues sur leur domaine de définition. Par exemple, $f(x) = \frac{1}{x}$ est continue sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$, mais pas sur $\mathbb{R}$.

La continuité est une propriété "stable" par les opérations arithmétiques et la composition. C'est très utile pour prouver la continuité de fonctions complexes.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, et $k$ un réel.

1. Somme et différence : La fonction $f+g$ (et $f-g$) est continue sur $I$. Exemple : $f(x) = x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$, $g(x) = \sin(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$. Donc $h(x) = x^2 + \sin(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$.
2. Produit : La fonction $f \times g$ est continue sur $I$. Exemple : $h(x) = x^2 \sin(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$.
3. Produit par un scalaire : La fonction $k \times f$ est continue sur $I$. Exemple : $h(x) = 3x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$.
4. Quotient : La fonction $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$ pour tous les points $x \in I$ tels que $g(x) \neq 0$. Exemple : $h(x) = \frac{x^2}{x-1}$ est continue sur $]-\infty, 1[$ et sur $]1, +\infty[$. Elle n'est pas définie en $x=1$, donc pas continue en $1$.
5. Composition : Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $J$ tel que $f(I) \subseteq J$ (l'image de $I$ par $f$ est incluse dans $J$), alors la fonction composée $g \circ f$ est continue sur $I$. Exemple : $f(x) = x^2+1$ est continue sur $\mathbb{R}$. $g(x) = \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$. L'image de $\mathbb{R}$ par $f$ est $[1, +\infty[$, qui est bien inclus dans $[0, +\infty[$. Donc $h(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Conséquence importante :

• Toute fonction polynomiale est continue sur $\mathbb{R}$.
• Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition (qui est $\mathbb{R}$ privé des valeurs annulant le dénominateur).

Le lien entre continuité et ordre est crucial, notamment avec le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).

Le TVI est un outil puissant pour prouver l'existence d'antécédents et de solutions à des équations.

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $f(a) \le k \le f(b)$ ou $f(b) \le k \le f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

En d'autres termes, une fonction continue ne "saute" aucune valeur. Elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$.

Applications du TVI :

• Prouver l'existence d'une solution à une équation $f(x) = k$.
• Prouver l'existence d'un antécédent pour une valeur donnée $k$.

Exemple : Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet au moins une solution sur l'intervalle $[0, 1]$. Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. $f$ est une fonction polynomiale, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur $[0, 1]$.
2. Calculons les valeurs aux bornes :
   • $f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1$.
   • $f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1$.
3. La valeur $k=0$ est bien comprise entre $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$.
4. D'après le TVI, il existe au moins un réel $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) = 0$. L'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet donc au moins une solution sur $[0, 1]$.

Quand on ajoute la condition de stricte monotonie à la continuité, le TVI devient encore plus puissant, garantissant l'unicité de la solution.

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur un intervalle $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Interprétation graphique : La courbe d'une fonction continue et strictement monotone ne peut couper une droite horizontale $y=k$ qu'en un seul point si $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$.

Application à la résolution d'équations : Ce corollaire du TVI est fondamental pour montrer l'existence ET l'unicité des solutions d'équations du type $f(x) = k$.

Exemple : Reprenons l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ sur $[0, 1]$. Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. $f$ est continue sur $[0, 1]$.
2. Calculons sa dérivée pour étudier sa monotonie : $f'(x) = 3x^2 + 1$.
3. Pour $x \in [0, 1]$, $x^2 \ge 0$, donc $3x^2 \ge 0$, et $3x^2+1 \ge 1$. Ainsi, $f'(x) > 0$ sur $[0, 1]$.
4. Puisque $f'(x) > 0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0, 1]$.
5. Comme $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$, et que $0$ est compris entre $-1$ et $1$, alors d'après le corollaire du TVI, il existe une unique solution $c \in [0, 1]$ à l'équation $f(x) = 0$.

C'est un résultat très fort car il nous assure non seulement qu'une solution existe, mais qu'il n'y en a qu'une seule sur cet intervalle.

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) est un pilier de l'analyse des fonctions continues.

Énoncé formel : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Soit $k$ un nombre réel quelconque compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors il existe au moins un nombre $c$ appartenant à l'intervalle $[a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Conditions cruciales :

• La fonction $f$ doit être continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$. C'est la condition la plus importante. Si la fonction n'est pas continue, le théorème ne s'applique pas (on peut avoir des "sauts" qui "manquent" des valeurs).
• L'intervalle doit être fermé pour que $f(a)$ et $f(b)$ soient définies et que l'on puisse parler de valeurs aux bornes.
• Le nombre $k$ doit être entre $f(a)$ et $f(b)$.

Interprétation graphique : Imaginez la courbe de la fonction $f$ entre les points $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$. Si la fonction est continue, cela signifie que vous pouvez dessiner la courbe de $A$ à $B$ sans lever le crayon. Le TVI dit que si vous tracez une droite horizontale $y=k$ qui passe entre $f(a)$ et $f(b)$, cette droite va nécessairement couper la courbe de $f$ au moins une fois entre $x=a$ et $x=b$. La continuité "force" la courbe à traverser toutes les hauteurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$.

Tableau récapitulatif des conditions et conséquences :

Un cas très fréquent et utile du TVI est lorsque $k=0$. C'est le corollaire qui permet de montrer l'existence de racines (zéros) d'une fonction.

Énoncé du corollaire : Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (c'est-à-dire $f(a) \cdot f(b) < 0$), alors il existe au moins un réel $c$ appartenant à l'intervalle $]a, b[$ tel que $f(c) = 0$.

Explication : Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, cela signifie que l'un est positif et l'autre est négatif. Par exemple, si $f(a) < 0$ et $f(b) > 0$. La valeur $k=0$ est alors nécessairement comprise entre $f(a)$ et $f(b)$. Le TVI garantit donc l'existence d'un $c$ tel que $f(c)=0$. Notez que le $c$ est dans $]a, b[$ car si $f(a)=0$ ou $f(b)=0$, alors $f(a)f(b)=0$, ce qui contredit la condition $f(a)f(b)<0$.

Applications pratiques :

• Prouver qu'une équation $f(x)=0$ a au moins une solution.
• Localiser des racines dans des intervalles spécifiques.

Exemple : Montrer que l'équation $e^x + x = 0$ admet au moins une solution sur $]-\infty, 0]$. Soit $f(x) = e^x + x$.

1. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (somme de fonctions continues : $e^x$ et $x$). Donc $f$ est continue sur tout intervalle fermé, par exemple $[-1, 0]$.
2. Calculons les valeurs aux bornes de $[-1, 0]$ :
   • $f(-1) = e^{-1} + (-1) = \frac{1}{e} - 1 \approx 0.368 - 1 = -0.632$. Donc $f(-1) < 0$.
   • $f(0) = e^0 + 0 = 1 + 0 = 1$. Donc $f(0) > 0$.
3. Puisque $f(-1) < 0$ et $f(0) > 0$, on a $f(-1) \cdot f(0) < 0$.
4. D'après le corollaire du TVI, il existe au moins un réel $c \in ]-1, 0[$ tel que $f(c) = 0$. L'équation $e^x + x = 0$ admet donc au moins une solution sur $]-1, 0[$.

La méthode de dichotomie est un algorithme numérique qui utilise le corollaire du TVI pour approcher une solution de l'équation $f(x)=0$ avec une précision donnée.

Principe : On part d'un intervalle $[a, b]$ où $f$ est continue et $f(a) \cdot f(b) < 0$. On sait qu'il existe une racine dans cet intervalle.

1. On calcule le milieu de l'intervalle : $m = \frac{a+b}{2}$.
2. On évalue $f(m)$.
3. On compare le signe de $f(m)$ avec $f(a)$ et $f(b)$ :
   • Si $f(m) = 0$, on a trouvé la racine.
   • Si $f(m)$ et $f(a)$ sont de signes opposés ($f(m) \cdot f(a) < 0$), alors la racine est dans $[a, m]$. On remplace $b$ par $m$.
   • Si $f(m)$ et $f(b)$ sont de signes opposés ($f(m) \cdot f(b) < 0$), alors la racine est dans $[m, b]$. On remplace $a$ par $m$.
4. On répète le processus avec le nouvel intervalle, qui a une longueur divisée par deux.

Algorithme :

fonction dichotomie(f, a, b, precision) :
  si f(a) * f(b) >= 0 alors
    afficher "Le TVI ne garantit pas de racine sur cet intervalle."
    retourner
  fin si

  tant que (b - a) > precision faire
    m = (a + b) / 2
    si f(m) == 0 alors
      retourner m
    sinon si f(a) * f(m) < 0 alors
      b = m
    sinon
      a = m
    fin si
  fin tant que

  retourner (a + b) / 2  // Retourne une approximation de la racine
fin fonction

Précision de l'approximation : Après $n$ itérations, la longueur de l'intervalle de recherche est $\frac{b-a}{2^n}$. Pour obtenir une précision $p$ (c'est-à-dire un intervalle de longueur inférieure à $p$), on cherche $n$ tel que $\frac{b-a}{2^n} \le p$.

Avantages :

• Simple à comprendre et à implémenter.
• Garantit la convergence vers une racine si les conditions du TVI sont remplies.
• La vitesse de convergence est constante et prévisible.

Inconvénients :

• Relativement lente comparée à d'autres méthodes numériques (comme la méthode de Newton).
• Ne permet pas de trouver toutes les racines s'il y en a plusieurs dans l'intervalle initial.

La continuité est un outil essentiel pour prouver l'existence et parfois l'unicité de solutions à des équations, surtout celles qui ne peuvent pas être résolues algébriquement.

1. Existence de solutions (via le TVI) : Pour montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une solution sur un intervalle $[a, b]$ :

• Vérifier que $f$ est continue sur $[a, b]$.
• Vérifier que $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$. Si ces deux conditions sont remplies, le TVI garantit l'existence d'au moins une solution.

Exemple : Montrer que l'équation $\cos(x) = x$ admet au moins une solution sur $\mathbb{R}$. On pose $f(x) = \cos(x) - x$. On cherche $x$ tel que $f(x)=0$.

1. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (différence de fonctions continues).
2. Cherchons un intervalle $[a, b]$ où $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés.
   • $f(0) = \cos(0) - 0 = 1 - 0 = 1 > 0$.
   • $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} < 0$.
3. Puisque $f(0) > 0$ et $f(\frac{\pi}{2}) < 0$, le corollaire du TVI assure qu'il existe au moins une solution $c \in ]0, \frac{\pi}{2}[$ telle que $f(c) = 0$.

2. Unicité de la solution (via la stricte monotonie) : Pour montrer qu'une équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur un intervalle $[a, b]$ :

• Vérifier que $f$ est continue sur $[a, b]$.
• Vérifier que $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$ (en étudiant le signe de sa dérivée $f'$).
• Vérifier que $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$. Si toutes ces conditions sont remplies, le corollaire du TVI pour les fonctions strictement monotones garantit l'existence et l'unicité d'une solution.

Exemple : Montrer que l'équation $\cos(x) = x$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$. On a déjà montré l'existence d'une solution sur $]0, \frac{\pi}{2}[$.

1. $f(x) = \cos(x) - x$ est continue sur $\mathbb{R}$.
2. Étudions la monotonie sur $\mathbb{R}$ : $f'(x) = -\sin(x) - 1 = -(\sin(x)+1)$. On sait que $-1 \le \sin(x) \le 1$, donc $0 \le \sin(x)+1 \le 2$. Par conséquent, $-( \sin(x)+1 ) \le 0$. Donc $f'(x) \le 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. De plus, $f'(x) = 0$ seulement si $\sin(x) = -1$, c'est-à-dire pour $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Ces points sont isolés. Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
3. Calculons les limites :
   • $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (\cos(x) - x)$. $\cos(x)$ est bornée entre -1 et 1, tandis que $-x \to +\infty$. Donc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
   • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (\cos(x) - x)$. $\cos(x)$ est bornée, tandis que $-x \to -\infty$. Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.
4. Puisque $f$ est continue et strictement décroissante de $+\infty$ à $-\infty$ sur $\mathbb{R}$, et que $0$ est une valeur intermédiaire, le corollaire du TVI assure qu'il existe une unique solution à $f(x)=0$ sur $\mathbb{R}$.

La continuité joue un rôle central dans l'existence d'extremums (maximums et minimums) pour une fonction sur un intervalle fermé.

Théorème des bornes atteintes (ou Théorème de Weierstrass) : Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$, alors $f$ admet un maximum et un minimum sur cet intervalle. Autrement dit, il existe $c_1 \in [a, b]$ tel que $f(c_1) = \min_{x \in [a,b]} f(x)$ et il existe $c_2 \in [a, b]$ tel que $f(c_2) = \max_{x \in [a,b]} f(x)$.

Conditions cruciales :

• Continuité de la fonction.
• L'intervalle doit être fermé (type $[a, b]$).
• L'intervalle doit être borné (il ne s'étend pas à l'infini).

Ce théorème garantit l'existence des extremums, mais ne donne pas leur position. Pour les trouver, on utilise généralement la dérivabilité (points critiques, bornes de l'intervalle).

Exemple : Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$ sur l'intervalle $[0, 3]$.

1. $f$ est une fonction polynomiale, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur l'intervalle fermé et borné $[0, 3]$.
2. D'après le théorème des bornes atteintes, $f$ admet un maximum et un minimum sur $[0, 3]$. Pour les trouver :
   • Dérivée : $f'(x) = 2x - 4$.
   • Point critique : $f'(x) = 0 \implies 2x - 4 = 0 \implies x = 2$. Ce point est dans $[0, 3]$.
   • Valeurs aux bornes et au point critique :
     • $f(0) = 1$
     • $f(2) = 2^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$
     • $f(3) = 3^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$
   • Le minimum de $f$ sur $[0, 3]$ est $-3$ (atteint en $x=2$).
   • Le maximum de $f$ sur $[0, 3]$ est $1$ (atteint en $x=0$).

La continuité est essentielle pour étudier la convergence des suites définies par récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n)$.

Théorème du point fixe (admis en Terminale) : Soit une suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Si :

1. $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$.
2. L'intervalle $I$ est stable par $f$ (c'est-à-dire $f(I) \subseteq I$).
3. La suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $L$. Alors la limite $L$ est un point fixe de $f$, c'est-à-dire $f(L) = L$.

Explication : Si $u_n \to L$, alors $u_{n+1} \to L$. Puisque $f$ est continue en $L$, on a $\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\lim_{n \to +\infty} u_n) = f(L)$. Donc, en passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$, on obtient $L = f(L)$.

Conditions cruciales :

• La fonction $f$ doit être continue.
• La suite doit être convergente. L'étude de la convergence (monotonie et bornitude) est souvent faite avant d'appliquer ce théorème.

Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$. On admet que $(u_n)$ est convergente vers une limite $L$.

1. La fonction $f(x) = \sqrt{2x+3}$ est continue sur son domaine de définition, qui est $[-\frac{3}{2}, +\infty[$. Puisque $u_0 = 1 > -\frac{3}{2}$ et que tous les termes de la suite sont positifs, on peut considérer $f$ comme continue sur un intervalle approprié qui contient $L$.
2. Puisque $(u_n)$ converge vers $L$, et que $f$ est continue, alors $L$ doit être un point fixe de $f$, c'est-à-dire $f(L) = L$. $L = \sqrt{2L+3}$ $L^2 = 2L+3$ (on doit avoir $L \ge 0$ car $\sqrt{\dots}$ est positive). $L^2 - 2L - 3 = 0$ Calcul du discriminant : $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$. Les solutions sont $L = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$.
   • $L_1 = \frac{2-4}{2} = -1$.
   • $L_2 = \frac{2+4}{2} = 3$. Puisque la suite est à termes positifs ($u_0=1$, et si $u_n>0$, alors $2u_n+3 > 3$, donc $\sqrt{2u_n+3} > \sqrt{3} > 0$), sa limite $L$ doit être positive. Donc, $L=3$. La continuité de $f$ est essentielle pour affirmer que la limite de la suite est un point fixe. Sans continuité, cette propriété ne serait pas garantie.