La derivation

Le taux de variation moyen d'une fonction $f$ entre deux points $a$ et $b$ mesure la variation moyenne de $f(x)$ par rapport à la variation de $x$.

Définition du taux de variation Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ (avec $a \neq b$) est donné par la formule : $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ On peut aussi l'écrire en posant $b = a + h$ (avec $h \neq 0$) : $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ Ce taux représente la pente moyenne de la fonction sur l'intervalle $[a, b]$ ou $[b, a]$.

Pente d'une sécante Graphiquement, le taux de variation moyen est la pente de la droite sécante qui passe par les points $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$ de la courbe représentative de $f$. Plus l'intervalle $[a,b]$ est petit, plus la sécante "ressemble" à la courbe en ce point.

Interprétation graphique Imagine que tu traces la courbe d'une fonction. Si tu prends deux points sur cette courbe et que tu les relies par une ligne droite, la pente de cette ligne droite est le taux de variation moyen. C'est une mesure de la "raideur" de la courbe entre ces deux points.

• Si le taux est positif, la fonction monte en moyenne.
• Si le taux est négatif, la fonction descend en moyenne.
• Si le taux est nul, la fonction est constante en moyenne.

Exemple : Soit la fonction $f(x) = x^2$. Le taux de variation entre $x=1$ et $x=3$ est : $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{3^2 - 1^2}{2} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ Cela signifie qu'en moyenne, la fonction $f(x)=x^2$ augmente de 4 unités pour chaque unité d'augmentation de $x$ entre 1 et 3.

Le nombre dérivé est une version "instantanée" du taux de variation. Au lieu de regarder un intervalle, on se concentre sur un seul point.

Limite du taux de variation Le nombre dérivé de $f$ en un point $a$, noté $f'(a)$, est la limite du taux de variation lorsque $h$ tend vers 0 (ou $b$ tend vers $a$). $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ Si cette limite existe et est finie, alors la fonction $f$ est dite dérivable en $a$.

Pente de la tangente Graphiquement, $f'(a)$ représente la pente de la droite tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. La tangente est la droite qui "frôle" la courbe en ce point, et qui a la même direction que la courbe à cet endroit précis. La notion de tangente est cruciale pour comprendre le comportement local d'une fonction.

Interprétation cinématique (vitesse instantanée) En physique, si $f(t)$ représente la position d'un objet en fonction du temps $t$, alors le taux de variation moyen $\frac{f(t + h) - f(t)}{h}$ représente la vitesse moyenne sur l'intervalle de temps $[t, t+h]$. Le nombre dérivé $f'(t)$ représente la vitesse instantanée de l'objet au temps $t$. C'est une application très intuitive de la dérivée : la vitesse à un instant précis.

Exemple : Reprenons $f(x) = x^2$. Calculons $f'(1)$. $f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h}$ $= \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2$ Donc, $f'(1) = 2$. La pente de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2$ au point d'abscisse 1 est 2.

Une fonction est dérivable en un point si son nombre dérivé existe et est fini en ce point.

Condition de dérivabilité Pour qu'une fonction $f$ soit dérivable en un point $a$, il faut que la limite du taux de variation existe et soit finie. Cela implique que la courbe ne doit pas avoir de "cassure", de "coin" ou de tangente verticale en ce point.

Continuité et dérivabilité Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est nécessairement continue en ce point. Attention : la réciproque est fausse ! Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable.

Exemple : La fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en $x=0$, mais n'est pas dérivable en $x=0$. Le taux de variation à gauche de 0 est : $\lim_{h \to 0^-} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$. Le taux de variation à droite de 0 est : $\lim_{h \to 0^+} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$. Comme les limites à gauche et à droite sont différentes, le nombre dérivé n'existe pas en 0. Graphiquement, il y a un "coin" (un point anguleux) à l'origine.

Exemples de non-dérivabilité

• Points anguleux : Comme pour $|x|$ en $x=0$.
• Tangentes verticales : Par exemple, la fonction $f(x) = \sqrt[3]{x}$ en $x=0$. La pente de la tangente serait infinie.
• Discontinuités : Si une fonction n'est pas continue en un point, elle ne peut pas y être dérivable.

Passage du nombre dérivé à la fonction Si une fonction $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$, alors on peut définir la fonction dérivée de $f$, notée $f'$, qui à chaque $x \in I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Notation f'(x) La notation la plus courante est $f'(x)$. On rencontre aussi $\frac{df}{dx}(x)$ ou $\frac{d}{dx}f(x)$.

Domaine de dérivabilité Le domaine de dérivabilité de $f$ est l'ensemble des points où $f$ est dérivable. Il est souvent noté $D_{f'}$. Il est toujours inclus dans le domaine de définition de $f$. Par exemple, pour $f(x) = \sqrt{x}$, $D_f = [0, +\infty[$. Sa dérivée est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, donc $D_{f'} = ]0, +\infty[$. Elle n'est pas dérivable en 0.

Il est essentiel de connaître par cœur les dérivées des fonctions de base.

Exemples :

• Si $f(x) = 5$, alors $f'(x) = 0$.
• Si $f(x) = x^3$, alors $f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$.
• Si $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$, alors $f'(x) = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Ces règles permettent de dériver des fonctions plus complexes à partir des fonctions usuelles.

Dérivée d'une somme et d'un produit par un scalaire Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ un réel.

• $(u + v)' = u' + v'$
• $(ku)' = ku'$
• $(u - v)' = u' - v'$

Exemple : Si $f(x) = 3x^2 + 5e^x$, alors $f'(x) = 3(2x) + 5e^x = 6x + 5e^x$.

Dérivée d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ Cette formule est très importante et souvent mal appliquée. N'oublie pas le "u v prime" !

Exemple : Si $f(x) = x \cdot e^x$. Posons $u(x) = x$ et $v(x) = e^x$. Alors $u'(x) = 1$ et $v'(x) = e^x$. $f'(x) = (1)(e^x) + (x)(e^x) = e^x + xe^x = e^x(1 + x)$.

Dérivée d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $v(x) \neq 0$. Attention à l'ordre des termes au numérateur ($u'v$ avant $uv'$ !) et au carré du dénominateur.

Exemple : Si $f(x) = \frac{e^x}{x}$. Posons $u(x) = e^x$ et $v(x) = x$. Alors $u'(x) = e^x$ et $v'(x) = 1$. $f'(x) = \frac{(e^x)(x) - (e^x)(1)}{x^2} = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$.

Dérivée d'une fonction composée (règle de la chaîne) Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ est une fonction dérivable sur l'image de $I$ par $u$, alors la fonction composée $g \circ u$ (définie par $g(u(x))$) est dérivable et sa dérivée est : $(g \circ u)'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$ Ou, de manière plus simple à retenir : $(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$

Quelques cas particuliers importants :

• $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ (pour $n \in \mathbb{Z}^*$)
• $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ (pour $u(x) > 0$)
• $(e^u)' = u'e^u$
• $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ (pour $u(x) > 0$)
• $(\sin(u))' = u'\cos(u)$
• $(\cos(u))' = -u'\sin(u)$

Exemple : Si $f(x) = (2x + 3)^4$. Posons $u(x) = 2x + 3$. Alors $u'(x) = 2$. En utilisant $(u^n)' = nu^{n-1}u'$, on a : $f'(x) = 4(2x + 3)^{4-1} \cdot (2) = 8(2x + 3)^3$.

C'est l'une des applications les plus fondamentales de la dérivée.

Lien entre signe de f'(x) et variations de f Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Théorème fondamental Ce théorème est la clé pour dresser un tableau de variations. Le signe de la dérivée donne directement le sens de variation de la fonction.

Méthode pour étudier les variations :

1. Calculer la dérivée $f'(x)$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur le domaine de définition de $f$.
3. En déduire les variations de $f$.
4. Calculer les valeurs de $f$ aux points où la dérivée s'annule (extremums) et aux bornes du domaine.
5. Dresser le tableau de variations.

Tableau de variations Un tableau de variations résume le comportement de la fonction.

Exemple : Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$.

1. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.
2. Signe de $f'(x)$ : Les racines sont $x=-1$ et $x=1$. $f'(x)$ est un polynôme de degré 2, positif à l'extérieur des racines.
   • $x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[ \implies f'(x) > 0 \implies f$ est croissante.
   • $x \in ]-1, 1[ \implies f'(x) < 0 \implies f$ est décroissante.
3. Calcul des valeurs :
   • $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$.
   • $f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$.
4. Tableau de variations :

Les extremums locaux (maximums ou minimums locaux) sont les "pics" et les "creux" de la courbe.

Condition nécessaire d'extremum (f'(x)=0) Si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en un point $c \in I$, alors nécessairement $f'(c) = 0$. ==Attention : la réciproque n'est pas toujours vraie ! Si $f'(c) = 0$, $c$ n'est pas forcément un extremum (ex: $f(x)=x^3$ en $x=0$).==

Changement de signe de la dérivée Pour qu'il y ait un extremum local en $c$ où $f'(c) = 0$, il faut que $f'(x)$ change de signe en $c$.

• Si $f'(x)$ passe de $+$ à $-$ en $c$, alors $f(c)$ est un maximum local.
• Si $f'(x)$ passe de $-$ à $+$ en $c$, alors $f(c)$ est un minimum local.

Maximum et minimum locaux Un maximum local est la plus grande valeur de la fonction dans un petit intervalle autour du point. Un minimum local est la plus petite valeur de la fonction dans un petit intervalle autour du point. Les extremums locaux ne sont pas forcément les extremums absolus (globaux) de la fonction.

La dérivée en un point donne la pente de la tangente en ce point.

Équation de la tangente en un point L'équation de la droite tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ Cette formule est à connaître par cœur !

Exemple : Déterminons l'équation de la tangente à $f(x) = x^2$ en $x=1$. On a $f(1) = 1^2 = 1$. On a calculé $f'(1) = 2$. L'équation de la tangente est donc : $y = 2(x - 1) + 1$ $y = 2x - 2 + 1$ $y = 2x - 1$.

Approximation locale d'une fonction La tangente est la meilleure approximation linéaire de la fonction au voisinage du point de tangence. Autrement dit, pour $x$ proche de $a$, $f(x) \approx f'(a)(x - a) + f(a)$. C'est la base de nombreuses méthodes numériques.

Position relative de la courbe et de sa tangente Pour étudier la position relative de la courbe $C_f$ par rapport à sa tangente $T_a$ en $a$, on étudie le signe de la différence $f(x) - (f'(a)(x - a) + f(a))$.

• Si $f(x) - T_a(x) > 0$, la courbe est au-dessus de la tangente.
• Si $f(x) - T_a(x) < 0$, la courbe est en dessous de la tangente. Ce signe est lié à la notion de convexité, que nous verrons ensuite.

Définition de f''(x) La dérivée seconde de $f$, notée $f''(x)$ ou $\frac{d^2f}{dx^2}(x)$, est simplement la dérivée de la fonction dérivée $f'(x)$. $f''(x) = (f'(x))'$ Pour la calculer, il suffit de dériver deux fois de suite.

Calcul de la dérivée seconde Exemple : Si $f(x) = x^3 - 3x + 1$.

1. Première dérivée : $f'(x) = 3x^2 - 3$.
2. Deuxième dérivée : $f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x$.

Interprétation cinématique (accélération) Si $f(t)$ est la position, $f'(t)$ est la vitesse. Alors $f''(t)$ représente l'accélération de l'objet au temps $t$. C'est la vitesse à laquelle la vitesse elle-même change.

• Si $f''(t) > 0$, l'objet accélère.
• Si $f''(t) < 0$, l'objet décélère.

La dérivée seconde est directement liée à la convexité et la concavité d'une fonction.

Lien entre f''(x) et convexité/concavité Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f''(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est convexe sur $I$.
• Si $f''(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est concave sur $I$.
• Si $f''(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est affine sur $I$.

Interprétation graphique (position par rapport aux tangentes)

• Une fonction est convexe si sa courbe est toujours au-dessus de toutes ses tangentes. Graphiquement, elle "sourit" (forme de U).
• Une fonction est concave si sa courbe est toujours en dessous de toutes ses tangentes. Graphiquement, elle "fait la tête" (forme de U inversé). Pense à "convexe comme un œuf" (au-dessus de sa tangente) et "concave comme une caverne" (en dessous de sa tangente).

Fonctions convexes/concaves usuelles

• $f(x) = x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ($f''(x)=2 > 0$).
• $f(x) = e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ($f''(x)=e^x > 0$).
• $f(x) = \ln(x)$ est concave sur $]0, +\infty[$ ($f''(x)=-\frac{1}{x^2} < 0$).
• $f(x) = -x^2$ est concave sur $\mathbb{R}$ ($f''(x)=-2 < 0$).

Les points d'inflexion sont des points où la courbure de la fonction change.

Définition d'un point d'inflexion Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité à concavité, ou de concavité à convexité. C'est là que la tangente "traverse" la courbe.

Condition nécessaire (f''(x)=0) Si $f$ admet un point d'inflexion en $a$, alors nécessairement $f''(a) = 0$. ==Comme pour les extremums, $f''(a)=0$ ne garantit pas un point d'inflexion. Il faut un changement de signe.==

Changement de signe de la dérivée seconde Pour qu'il y ait un point d'inflexion en $a$ où $f''(a) = 0$, il faut que $f''(x)$ change de signe en $a$.

• Si $f''(x)$ passe de $+$ à $-$ en $a$, la fonction passe de convexe à concave.
• Si $f''(x)$ passe de $-$ à $+$ en $a$, la fonction passe de concave à convexe.

Exemple : Reprenons $f(x) = x^3 - 3x + 1$. On a $f''(x) = 6x$. $f''(x) = 0 \implies 6x = 0 \implies x = 0$. Étudions le signe de $f''(x)$ :

• Si $x < 0$, $f''(x) < 0 \implies f$ est concave.
• Si $x > 0$, $f''(x) > 0 \implies f$ est convexe. Comme $f''(x)$ change de signe en $x=0$, il y a un point d'inflexion en $x=0$. Les coordonnées du point d'inflexion sont $(0, f(0)) = (0, 1)$.

La première étape cruciale est de traduire le problème concret en un problème mathématique.

Traduction d'un problème concret en fonction Il s'agit de définir une fonction qui représente la grandeur à optimiser (aire, volume, coût, profit, distance, etc.) en fonction d'une ou plusieurs variables.

Définition du domaine de validité Les variables du problème ont souvent des contraintes physiques. Il est essentiel de définir l'intervalle sur lequel la fonction est pertinente. Par exemple, une longueur doit être positive.

Identification de la grandeur à optimiser Clarifier si l'on cherche un maximum ou un minimum de la fonction.

Exemple : On veut construire une boîte sans couvercle avec une base carrée et un volume de $1000 \text{ cm}^3$. On veut minimiser la surface de carton utilisée.

1. Variables : Soit $x$ le côté de la base carrée et $h$ la hauteur de la boîte.
2. Grandeur à optimiser : La surface $S$ du carton. $S = \text{aire de la base} + \text{aire des 4 faces latérales}$ $S = x^2 + 4xh$.
3. Contrainte : Le volume $V = x^2 h = 1000$.
4. Fonction à optimiser (en une seule variable) : De la contrainte, on tire $h = \frac{1000}{x^2}$. On substitue $h$ dans l'expression de $S$ : $S(x) = x^2 + 4x \left(\frac{1000}{x^2}\right) = x^2 + \frac{4000}{x}$.
5. Domaine de validité : $x$ doit être une longueur, donc $x > 0$. Les dimensions de la boîte doivent être réelles, donc $x \in ]0, +\infty[$.

Une fois la fonction modélisée, on utilise la dérivée pour trouver ses extremums.

Utilisation de la dérivée première

1. Calculer la dérivée première de la fonction à optimiser.
2. Déterminer les points critiques en résolvant l'équation $f'(x) = 0$.
3. Étudier le signe de la dérivée première pour déterminer la nature de ces points (maximum, minimum local) via un tableau de variations.

Vérification des conditions aux bornes Si le domaine de validité est un intervalle fermé $[a, b]$, il faut également comparer les valeurs de la fonction aux points critiques avec les valeurs aux bornes $f(a)$ et $f(b)$ pour trouver l'extremum global.

Interprétation du résultat Une fois l'extremum trouvé, il faut le replacer dans le contexte du problème initial et donner une réponse claire aux questions posées.

Exemple (suite) : $S(x) = x^2 + \frac{4000}{x}$ pour $x \in ]0, +\infty[$.

1. Dérivée : $S'(x) = 2x - \frac{4000}{x^2}$.
2. Points critiques : $S'(x) = 0 \implies 2x - \frac{4000}{x^2} = 0 \implies 2x = \frac{4000}{x^2}$ $\implies 2x^3 = 4000 \implies x^3 = 2000 \implies x = \sqrt[3]{2000} = 10\sqrt[3]{2} \approx 12.6 \text{ cm}$.
3. Signe de $S'(x)$ : $S'(x) = \frac{2x^3 - 4000}{x^2}$. Le dénominateur est positif. Le signe est celui de $2x^3 - 4000$.
   • Si $x < 10\sqrt[3]{2}$, $2x^3 - 4000 < 0 \implies S'(x) < 0 \implies S$ est décroissante.
   • Si $x > 10\sqrt[3]{2}$, $2x^3 - 4000 > 0 \implies S'(x) > 0 \implies S$ est croissante. Il y a donc un minimum en $x = 10\sqrt[3]{2}$.

L'optimisation par la dérivation est utilisée dans de nombreux domaines.

Optimisation de surfaces/volumes

• Trouver les dimensions d'un récipient pour minimiser le matériel utilisé (comme l'exemple de la boîte).
• Maximiser le volume d'une forme donnée avec une surface de matériau fixe.

Minimisation de coûts

• Déterminer la quantité de production qui minimise le coût moyen par unité.
• Optimiser le trajet pour minimiser la consommation de carburant.

Maximisation de profits

• Déterminer le prix de vente ou la quantité de production pour maximiser le profit.

Exemple (suite et fin) : Le côté de la base qui minimise la surface de carton est $x = 10\sqrt[3]{2} \text{ cm}$. La hauteur correspondante est $h = \frac{1000}{(10\sqrt[3]{2})^2} = \frac{1000}{100 \cdot 2^{2/3}} = \frac{10}{2^{2/3}} = 10 \cdot 2^{-2/3} = 5 \cdot 2 \cdot 2^{-2/3} = 5 \cdot 2^{1/3} = 5\sqrt[3]{2} \text{ cm}$. La surface minimale est $S(10\sqrt[3]{2}) = (10\sqrt[3]{2})^2 + \frac{4000}{10\sqrt[3]{2}} = 100 \cdot 2^{2/3} + \frac{400}{\sqrt[3]{2}} = 100 \cdot 2^{2/3} + 400 \cdot 2^{-1/3}$. $S = 100 \cdot 2^{2/3} + 200 \cdot 2 \cdot 2^{-1/3} = 100 \cdot 2^{2/3} + 200 \cdot 2^{2/3} = 300 \cdot 2^{2/3} \approx 476.2 \text{ cm}^2$. Les dimensions sont $x \approx 12.6 \text{ cm}$ et $h \approx 6.3 \text{ cm}$.