La fonction logarithme

La fonction logarithme népérien, notée $\ln(x)$, peut sembler abstraite au premier abord, mais elle est née d'un problème très concret en mathématiques.

Historiquement, les mathématiciens cherchaient à trouver une primitive à la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$. Toutes les autres fonctions puissances $x^n$ (avec $n \neq -1$) ont une primitive simple : $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. Mais pour $n=-1$, cette formule ne fonctionne pas (division par zéro). Le logarithme népérien a été inventé pour résoudre ce problème !

La fonction logarithme est également très utile pour étudier les phénomènes de croissance géométrique ou exponentielle, où les quantités augmentent ou diminuent par un facteur constant sur des intervalles de temps égaux. Par exemple, le calcul d'intérêts composés ou la désintégration radioactive.

La fonction logarithme népérien est définie comme la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$, qui s'annule en $x=1$.

On peut donc écrire : $\ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt$ pour tout $x > 0$.

L'ensemble de définition de la fonction logarithme népérien est $]0;+\infty[$. Cela signifie que l'on ne peut calculer le logarithme que des nombres strictement positifs. On ne peut pas calculer $\ln(0)$ ni $\ln(\text{nombre négatif})$.

La notation usuelle est $\ln(x)$.

La courbe représentative de la fonction logarithme népérien, souvent notée $\mathcal{C}_{\ln}$, possède plusieurs caractéristiques importantes :

• Elle passe par le point $(1;0)$ car $\ln(1) = \int_{1}^{1} \frac{1}{t} dt = 0$. C'est un point clé à retenir.
• L'axe des ordonnées (la droite d'équation $x=0$) est une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_{\ln}$. Cela signifie que lorsque $x$ se rapproche de $0$ par la droite, la valeur de $\ln(x)$ tend vers $-\infty$.
• La fonction est strictement croissante sur son domaine de définition $]0;+\infty[$.

La propriété la plus fondamentale est la suivante : Pour tous nombres réels $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ Cette propriété est cruciale car elle transforme une multiplication en une addition, ce qui simplifie souvent les calculs.

Démonstration (idée) : Soit $x > 0$. On considère la fonction $f(x) = \ln(ax)$. Sa dérivée est $f'(x) = \frac{1}{ax} \times a = \frac{1}{x}$. On considère aussi la fonction $g(x) = \ln(x) + \ln(a)$. Sa dérivée est $g'(x) = \frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x}$. Puisque $f'(x) = g'(x)$, on en déduit que $f(x) = g(x) + C$ où $C$ est une constante. Si on prend $x=1$, on a $f(1) = \ln(a)$ et $g(1) = \ln(1) + \ln(a) = 0 + \ln(a) = \ln(a)$. Donc $C=0$, ce qui prouve que $\ln(ax) = \ln(a) + \ln(x)$.

Conséquences directes :

• $\ln(x^2) = \ln(x \times x) = \ln(x) + \ln(x) = 2\ln(x)$
• $\ln(x^3) = \ln(x^2 \times x) = \ln(x^2) + \ln(x) = 2\ln(x) + \ln(x) = 3\ln(x)$

À partir de la relation fonctionnelle principale, on peut déduire d'autres propriétés essentielles :

1. Inverse multiplicative : Pour tout $a > 0$, $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ Démonstration : On sait que $\ln\left(a \times \frac{1}{a}\right) = \ln(1) = 0$. En utilisant la propriété du produit, $\ln(a) + \ln\left(\frac{1}{a}\right) = 0$. Donc, $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$.

2. Quotient : Pour tous $a > 0$ et $b > 0$, $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ Démonstration : $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln\left(a \times \frac{1}{b}\right) = \ln(a) + \ln\left(\frac{1}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$.

3. Puissance : Pour tout $a > 0$ et tout nombre rationnel $n \in \mathbb{Q}$, $\ln(a^n) = n \ln(a)$ Cette propriété est très utile pour simplifier des expressions contenant des puissances ou des racines (car $\sqrt{a} = a^{1/2}$). Pour $n \in \mathbb{N}$, on l'a vu par récurrence. Pour $n=-1$, c'est la propriété de l'inverse. Pour $n=p/q$, on peut montrer que $\ln(a^{p/q}) = \frac{p}{q}\ln(a)$. Cette propriété est en fait vraie pour tout réel $n$.

Tableau récapitulatif des propriétés :

Grâce à ces propriétés et à la stricte croissance de la fonction $\ln$, on peut résoudre des équations et inéquations.

Principes clés :

• Avant toute résolution, toujours vérifier le domaine de définition des expressions avec $\ln$. L'argument du logarithme doit toujours être strictement positif.
• Si $\ln(A) = \ln(B)$, alors $A=B$ (car $\ln$ est injective).
• Si $\ln(A) < \ln(B)$, alors $A < B$ (car $\ln$ est strictement croissante).

Exemples :

1. Équation de type $\ln(x) = k$ Soit $\ln(x) = 2$. Le domaine de définition est $x > 0$. On sait qu'il existe un nombre $e$ tel que $\ln(e) = 1$. Plus généralement, pour tout réel $k$, il existe un unique $x>0$ tel que $\ln(x)=k$. On utilise la fonction réciproque, l'exponentielle : $x = e^k$. Donc, $\ln(x) = 2 \implies x = e^2$.

2. Inéquation de type $\ln(x) < k$ Soit $\ln(x) < 3$. Domaine de définition : $x > 0$. On utilise la fonction exponentielle qui est strictement croissante : $\ln(x) < 3 \implies e^{\ln(x)} < e^3 \implies x < e^3$. En combinant avec le domaine de définition, la solution est $x \in ]0; e^3[$.

3. Équation de type $\ln(f(x)) = \ln(g(x))$ Soit $\ln(x+1) = \ln(2x-3)$. Domaine de définition : $x+1 > 0 \implies x > -1$ $2x-3 > 0 \implies x > \frac{3}{2}$ Donc, le domaine de validité est $x \in ]\frac{3}{2}; +\infty[$. Puisque $\ln$ est injective : $x+1 = 2x-3$ $1+3 = 2x-x$ $4 = x$ La solution $x=4$ est bien dans l'intervalle $]\frac{3}{2}; +\infty[$. Donc, $\mathcal{S} = \{4\}$.

La fonction $\ln(x)$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Sa dérivée est : $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ Puisque $x \in ]0;+\infty[$, on a toujours $\frac{1}{x} > 0$. Comme la dérivée est strictement positive sur son domaine de définition, la fonction $\ln(x)$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

Tableau de variation :

Les limites aux bornes de l'ensemble de définition $]0;+\infty[$ sont cruciales pour dessiner la courbe.

1. Limite en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ Ceci confirme que l'axe des ordonnées ($x=0$) est une asymptote verticale. Lorsque $x$ s'approche de 0 par des valeurs positives, $\ln(x)$ plonge vers $-\infty$.

2. Limite en $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ La fonction $\ln(x)$ croît indéfiniment lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Pour étudier la convexité, on calcule la dérivée seconde. On a $f'(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$. La dérivée seconde est : $f''(x) = (x^{-1})' = -1 \times x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ Pour tout $x \in ]0;+\infty[$, $x^2 > 0$, donc $-\frac{1}{x^2} < 0$. Puisque la dérivée seconde est strictement négative sur $]0;+\infty[$, la fonction $\ln(x)$ est concave sur cet intervalle.

Cela signifie que la courbe représentative de $\ln(x)$ est toujours "tournée vers le bas". Elle est toujours en dessous de ses tangentes.

Tangente en $x=1$ : L'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{\ln}$ au point d'abscisse $x_0$ est $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$. Pour $x_0 = 1$ : $f(1) = \ln(1) = 0$ $f'(1) = \frac{1}{1} = 1$ L'équation de la tangente en $x=1$ est donc $y = 1(x-1) + 0$, soit $y = x-1$.

Les croissances comparées permettent de déterminer le comportement relatif de $\ln(x)$ par rapport aux fonctions puissances ($x^n$) et exponentielles ($e^x$) lorsque $x$ tend vers l'infini ou vers zéro. Le logarithme népérien croît plus lentement que toute puissance positive de $x$.

Formules à retenir :

1. En $+\infty$ : Pour tout $n > 0$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ Cela signifie que $x^n$ "l'emporte" sur $\ln(x)$ en l'infini. Quelle que soit la puissance $n$ (même très petite comme $x^{0.001}$), $x^n$ croît beaucoup plus vite que $\ln(x)$. On dit que $\ln(x)$ est négligeable devant $x^n$ en $+\infty$.

2. En $0^+$ : Pour tout $n > 0$, $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ Ceci est une forme indéterminée de type "$0 \times (-\infty)$" qui se résout en $0$. Cela signifie que $x^n$ "l'emporte" sur $\ln(x)$ en $0^+$. La puissance $x^n$ fait tendre le produit vers 0 plus rapidement que $\ln(x)$ ne tend vers $-\infty$.

Ces limites sont essentielles pour le calcul de limites plus complexes impliquant des fonctions logarithmiques.

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $f(x) = \ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ Conditions d'application :

• La fonction $u(x)$ doit être dérivable.
• La fonction $u(x)$ doit être strictement positive sur l'intervalle d'étude pour que $\ln(u(x))$ soit définie.

Exemples de calcul :

1. Soit $f(x) = \ln(x^2+1)$. Ici, $u(x) = x^2+1$. $u'(x) = 2x$. $x^2+1$ est toujours strictement positif. Donc, $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

2. Soit $g(x) = \ln(\cos(x))$. Ici, $u(x) = \cos(x)$. $u'(x) = -\sin(x)$. Pour que $\ln(\cos(x))$ soit définie, il faut que $\cos(x) > 0$. Par exemple, sur $]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[$. Donc, $g'(x) = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$.

L'étude de fonctions comprenant le logarithme népérien suit les étapes classiques :

1. Domaine de définition ($D_f$) : Il faut s'assurer que l'argument de chaque $\ln$ est strictement positif.
2. Calcul de la dérivée ($f'(x)$) : Utiliser les règles de dérivation, y compris $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
3. Étude du signe de la dérivée : Pour déterminer le sens de variation de la fonction.
4. Calcul des limites aux bornes de $D_f$ : Utiliser les propriétés des limites de $\ln(x)$ et les croissances comparées si nécessaire.
5. Tableau de variation complet : Récapituler toutes les informations.
6. Points particuliers : Intersections avec les axes, tangentes.

Exemple : Soit $f(x) = x \ln(x) - x$.

1. Domaine de définition : $D_f = ]0;+\infty[$.
2. Dérivée : $f'(x) = (1 \times \ln(x) + x \times \frac{1}{x}) - 1$ $f'(x) = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x)$.
3. Signe de $f'(x)$ : $\ln(x) > 0 \iff x > e^0 \iff x > 1$. $\ln(x) < 0 \iff x < 1$. $\ln(x) = 0 \iff x = 1$.
4. Limites aux bornes :
   • En $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$ (croissances comparées). Donc $\lim_{x \to 0^+} (x \ln(x) - x) = 0 - 0 = 0$.
   • En $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} x \ln(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} -x = -\infty$. C'est une forme indéterminée. On factorise : $f(x) = x(\ln(x) - 1)$. $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$. $\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) - 1) = +\infty$. Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
5. Tableau de variation :

Au point $x=1$, $f(1) = 1 \ln(1) - 1 = 1 \times 0 - 1 = -1$. La fonction admet un minimum en $x=1$.

Le logarithme népérien est utilisé pour modéliser de nombreux phénomènes et résoudre des problèmes d'optimisation, notamment pour des fonctions de coût, de production, ou de croissance.

Exemple en économie : Une entreprise estime que son bénéfice $B(x)$ (en milliers d'euros) en fonction du nombre $x$ d'articles produits (en centaines) est donné par $B(x) = 10 \ln(x+1) - 2x$ pour $x \in [0; 10]$. Pour trouver le nombre d'articles à produire pour maximiser le bénéfice, on étudie la fonction $B(x)$.

1. Dérivée : $B'(x) = 10 \times \frac{1}{x+1} - 2 = \frac{10}{x+1} - 2$.
2. Signe de $B'(x)$ : $B'(x) = 0 \iff \frac{10}{x+1} = 2 \iff 10 = 2(x+1) \iff 5 = x+1 \iff x = 4$. $B'(x) > 0 \iff \frac{10}{x+1} > 2 \iff 10 > 2(x+1) \iff 5 > x+1 \iff x < 4$. $B'(x) < 0 \iff x > 4$.
3. Tableau de variation : $B(0) = 10 \ln(1) - 0 = 0$. $B(4) = 10 \ln(5) - 8 \approx 10 \times 1.609 - 8 \approx 16.09 - 8 = 8.09$. $B(10) = 10 \ln(11) - 20 \approx 10 \times 2.398 - 20 \approx 23.98 - 20 = 3.98$.

Le bénéfice est maximal pour $x=4$ (soit 400 articles produits), et ce bénéfice maximal est d'environ 8090 euros.

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle ($\exp(x)$ ou $e^x$) sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. Cela signifie que :

• Pour tout $x \in ]0;+\infty[$, $e^{\ln(x)} = x$.
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.

Graphiquement, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Ce lien est fondamental car il permet de passer de l'un à l'autre et de résoudre des équations impliquant l'une ou l'autre fonction.

Le nombre $e$ (environ $2,71828$) est une constante mathématique fondamentale. Il est défini de plusieurs manières, notamment comme l'unique nombre réel tel que $\ln(e) = 1$. C'est la base du logarithme népérien et de la fonction exponentielle naturelle. Il joue un rôle crucial dans les modèles de croissance continue (finance, biologie, physique).

Bien que le logarithme népérien (base $e$) soit le plus utilisé en mathématiques de niveau Terminale, il existe d'autres bases de logarithmes. Le logarithme décimal, noté $\log(x)$ (ou $\log_{10}(x)$), est également important, notamment dans des applications scientifiques et techniques.

Définition : Le logarithme décimal de $x$ est le logarithme de base 10 de $x$. $\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$ Il est défini pour $x > 0$.

Propriétés du $\log(x)$ : Elles sont similaires à celles du $\ln(x)$, mais avec la base 10.

• $\log(1) = 0$
• $\log(10) = 1$
• $\log(10^n) = n$
• $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$
• $\log(a^n) = n \log(a)$

Applications : Le logarithme décimal est couramment utilisé pour des échelles logarithmiques, qui permettent de représenter des grandeurs variant sur de très grandes plages de valeurs. Exemples :

• Le pH en chimie : $pH = -\log([H^+])$.
• Le niveau sonore en décibels (dB) : $L_{dB} = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$.
• La magnitude des tremblements de terre (échelle de Richter).

Ces applications montrent la polyvalence des fonctions logarithmiques pour simplifier l'analyse de données et de phénomènes complexes.